悖論:破解科學史上最複雜的9大謎團 Paradox: The Nine Greatest Enigmas in Science

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第一章 綜藝秀裡的悖論
簡單的機率,顛覆你的思考邏輯

  在深入物理世界之前,我想先用幾個簡單有趣卻又令人挫折的腦力激盪遊戲暖個身,慢慢帶領讀者入門。以下的例子與本書其餘章節的共同之處在於,它們都不是真正的悖論,只要細心思考即可破解。然而,不同於往後各章的悖論需要相關的物理基本知識,本章所探討的只是一些邏輯方面的益智遊戲而已,不需任何科學背景即可解答。其中最後一個也是最有趣的一個,稱為蒙提霍爾悖論(Monty Hall Paradox),由於它特別令人困惑,因此我將使用較多的篇幅以數種不同方法來分析這個問題,讓讀者自行選擇最容易接受的答案。
  本章所有悖論都屬於聽起來有點饒舌的「似非而是的悖論」與「似是而非的悖論」其中一種。「似非而是的悖論」所帶來的結論因為有違常理而與直覺相牴觸,不過透過看似簡單(其實卻不然)的仔細邏輯推理,就能證明其結論為真。事實上,整個過程的樂趣就在於,試圖找出最能令人信服的證明方法──儘管令人感覺其中有詐的不自在感一直揮之不去。稍後將討論到的生日悖論(Birthday Paradox)以及蒙提霍爾悖論都屬於此類。
  「似是而非的悖論」則是從完全合理的陳述出發,卻峰迴路轉得出離譜的結論。與「似非而是的悖論」不同之處在於,由於推理過程中某些步驟無形中產生誤導或謬誤,這些荒謬結論確實為偽。
  透過幾個演算步驟而得證諸如「2=1」這類的數學把戲,正是「似是而非的悖論」的範例──沒有任何邏輯推理或哲學辯證能夠令人相信這個結論為真。有鑑於各位讀者不見得像我這麼熱愛數學,我也不願意用數學計算來打擊大家,本書將不會深入這些細節。一言以蔽之,這些運算過程通常牽涉到將某個數字除以零的步驟,而這正是任何自重的數學家都知道要不計代價去避免的。相反地,我將專注於幾個只需基本數學能力就能鑑賞玩味的問題。首先登場的是兩個著名的「似是而非的悖論」:「消失的一塊錢之謎」(The Riddle of the Missing Dollar)與「伯特蘭箱子悖論」(Bertrand’s Box Paradox)

消失的一塊錢之謎

  這是我幾年前在名為《心靈遊戲》(Mind Games)的電視猜謎節目中擔任來賓時,用過的一個精采難題──當然,我並不是說自己是第一個想出這個問題的人。這個節目的內容是,每週來賓們彼此競賽解答數學家主持人馬可斯‧杜‧索托伊(Marcus du Sautoy)教授提出的問題。除此之外,來賓也會各自帶來最喜歡的難題來挑戰對手。
  問題如下:
  三位旅客到某家旅館投宿。年輕的櫃檯接待員給他們一間有三張床的房間,收費三十元。他們協議平分住宿費用,每人支付十元之後,便拿了鑰匙進房間安置行李。幾分鐘之後,櫃台接待員發現自己弄錯了,旅館這一個禮拜正好有特價促銷活動,他應該只收他們二十五元。為了避免被旅館經理找麻煩,他立刻從收銀機中取出五塊錢,並且趕緊上樓去彌補他所犯的過錯。在前往旅客房間的路上,他想到五元無法由三個人平分,於是決定退給每位旅客一元,自己留下兩塊錢。他自認為這是個讓每個人都滿意的好辦法。以下是我們要解決的問題:每位旅客為他們的住宿各付出九元,總計佔了原本旅館收費三十元當中的二十七元,另外二元被接待員拿走,那麼三十元裡的最後一元哪裡去了呢?
  也許聰明的讀者一眼就看出這個問題的解答。不過當我第一次碰到這個問題時,當然沒這麼厲害囉!所以在繼續讀下去之前,我願意讓你花點時間想想看。
  想出來了沒?你瞧,是因為敘述上的誤導才使得這個問題聽起來自相矛盾。推理過程出錯之處在於:將客人付的二十七元與服務生拿走的二元加總在一起──這樣算根本毫無道理,因為總金額已經不再是三十元。服務生拿走的二元要從旅客支付的二十七元當中扣掉,所以收銀機裡的總金額應該是二十五元才對。
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