數學分析初步
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內容簡介
《數學分析初步》是一本介紹微積分理論的入門書籍。從戴德金切割原理建構實數完備性，再證明更實用的實數完備性之等價敘述，並利用近代數學分析使用的語言詳盡探討單變數函數的微積分理論，最後一章也介紹初等的隱函數定理。
對於想要探索高等數學的人，這將是一本優質的入門書。書中的數學內容皆完整說明，文字旁邊的二維碼有影片解說，第零章也從開設高等微積分課程的經驗介紹數學分析的特色以及如何學習數學分析，此外還找修過課程的學生分享學習心得，所以它是非常適合自學的教材。
目錄
目錄i
圖目錄v
推薦序vii
自序xv
本書使用手冊xx
0 高等微積分(數學分析) 簡介. . . .1
0.1 什麼是高等微積分? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 高等微積分是有多困難? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.3 高等微積分的數學屬性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.4 學高等微積分時需要注意哪些事情? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
0.5 如何學好高等微積分? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
0.6 課堂上該如何學習? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
0.7 關於寫作業的默契. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
0.7.1 作業設計原理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
0.7.2 學生如何看待作業? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
0.8 從修課學生的觀點看高等微積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
0.8.1 數學系二年級學生修完高等微積分課的心得— 顏伯霖. . . . . . . . . . . 21
0.8.2 數學系二年級學生從寫作業的過程體會高等微積分— 邱烱南. . . . . . . . 22
0.8.3 外系同學對於高等微積分的看法— 游崇祐. . . . . . . . . . . . . . . . . 23
0.8.4 高年級同學對於高等微積分課採取的讀書策略— 李秉軒. . . . . . . . . . 24
0.9 結語. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1 實數系的建構與性質. . . .27
1.1 有理數的基本性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2 戴德金切割與實數的完備性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3 可數集與不可數集. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2 數列的極限理論. . . .55
2.1 數列極限的精確定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2 收斂數列的性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.3 單調數列理論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4 子數列理論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.5 無窮小與無窮大. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3 實數的完備性. . . .83
3.1 單調有界定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2 區間套定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3 有限覆蓋定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4 數列緊緻性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.5 柯西收斂準則. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.6 由柯西收斂準則證明戴德金切割原理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.7 與柯西數列相關的討論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.8 理論的推廣與抽象化. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4 函數的極限與連續函數. . . .95
4.1 函數的極限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2 函數極限的性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3 連續函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.4 均勻連續. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.5 有界閉區間上連續函數的性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.6 中間值定理的應用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.7 附錄. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5 導數與微分. . . .137
5.1 導數的定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.2 導數的性質與求導法則. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.3 均值定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.4 羅必達法則. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.5 幾個導數理論的重要結果. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.5.1 對數函數的等級. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.5.2 反導函數的起源. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.5.3 導函數的一些限制. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.5.4 函數的遞增遞減與凹口. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.6 微分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.7 附錄. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6 黎曼積分理論. . . .175
6.1 定積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.2 黎曼可積的充要條件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.3 可積分的函數與黎曼可積的性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.4 微積分基本定理與積分技巧的證明. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.5 定積分的應用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7 瑕積分理論. . . .207
7.1 瑕積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.2 第一類瑕積分的收斂理論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.3 第二類瑕積分的收斂理論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.4 伽瑪函數與高斯積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
7.4.1 伽瑪函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
7.4.2 高斯積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8 無窮級數理論. . . .233
8.1 無窮級數的基本性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.2 正項級數的收斂判別法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.3 一般級數的收斂判別法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
8.4 無窮級數的加法交換律與乘法分配律. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
9 函數項級數. . . .263
9.1 均勻收斂. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
9.2 均勻收斂的性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
9.3 函數項級數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
9.4 冪級數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
9.5 泰勒級數理論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
10 多變數微分理論. . . .305
10.1 隱函數定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
10.2 反函數定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
10.3 函數獨立與函數相依. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
參考文獻. . . .325
索引. . . .327
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