玻爾和海森堡分別被叫來寫一個關於車費的說明貼在車子裡讓人參考。玻爾欣然同意了，他說：這個問題很簡單，車費問題實際上就是兩個站之間的距離問題，我們只要把每一個站的位置狀況寫出來，那麼乘客們就能夠一目了然了。於是他就假設，A站的座標是0，從而推出：B站的座標是1，C站的座標是1.5，D站的座標是2.5，而E站的座標是4.5。這就行了，玻爾說，車費就是起點站的座標減掉終點站的座標的絕對值，我們的「座標」，實際上可以看成一種「車費能級」，所有的情況都完全可以包含在下面這個表格裡：
這便是一種經典的解法，每一個車站都被假設具有某種絕對的「車費能級」，就像原子中電子的每個軌道都被假設具有某種特定的能級一樣。所有的車費，不管是從哪個站到哪個站，都可以用這個單一的變數來解決，這是一個一維的傳統表格，完全可以表達為一個普通的公式。這也是所有物理問題的傳統解法。
現在，海森堡說話了。不對，海森堡爭辯說，這個思路有一個根本性的錯誤，那就是，作為一個乘客來說，他完全無法意識，也根本不可能觀察到某個車站的「絕對座標」是什麼。比如我從C站乘車到D站，無論怎麼樣我也無法觀察到「C站的座標是1.5」，或者「D站的座標是2.5」這個結論。作為我 乘客來說，我所能唯一觀察和體會到的，就是「從C站到達D站要花1塊錢」，這才是最確鑿，最堅實的東西。我們的車費規則，只能以這樣的事實為基礎，而不該用不可觀察的所謂「座標」，或者「能級」。
這裡面，橫坐標是起點站，縱坐標是終點站。現在這張表格裡的每一個數位都是實實在在可以觀測和檢驗的了。比如第一行第三列的那個1.5，它的橫坐標是A，表明從A站出發。它的縱坐標是C，表明到C站下車。那麼，只要某個乘客真正從A站坐到了C站，他就可以證實這個數字是正確的：這個旅途的確需要1.5塊車費。
海森堡的表格和玻爾的不同，它沒有做任何假設和推論，不包含任何不可觀察的資料。但作為代價，它採納了一種二維的龐大結構，每個資料都要用橫坐標和縱坐標兩個變數來表示。正如我們不能用 ，而必須用來表示電子頻率一樣。更關鍵的是，海森堡爭辯說，所有的物理規則，也要按照這種表格的方式來改寫。
我們已經有了經典的動力學方程，現在，我們必須全部把它們按照量子的方式改寫成某種表格方程。許多傳統的物理變數，現在都要看成是一些獨立的矩陣來處理。在玻爾和索末菲的舊原子模型裡，用傅裡葉級數展開的電子運動方程，也必須用矩陣重新加工，把不可觀察的泥沙剔除出去，注入混凝土的堅實基礎 可實際檢驗的物理量。
但是難題來了，我們現在有一個變數p，代表電子的動量；還有一個變數q，代表電子的位置。本來，這是兩個經典變數，我們應該把它們相乘，大家都沒有對此表示任何疑問。可現在，海森堡把它們改成了矩陣的表格形式，這就給我們的運算帶來了麻煩。p和q變成了兩個「表格」！請問，你如何把兩個「表格」乘起來呢？
或者我們不妨先問自己這樣一個問題：把兩個表格乘起來，這代表了什麼意義呢？
為了容易理解，我想讓大家做一道小學生水準的數學練習：乘法運算。只不過這次乘的不是普通的數位，而是兩張表格：I和II。它們的內容如下：
那麼，各位同學，I×II等於幾？這道題就當是今天的回家作業，現在我們暫時下課。
飯後閒話：男孩物理學
1925年，當海森堡做出他那突破性的貢獻的時候，他剛剛24歲。儘管在物理上有著極為驚人的天才，但海森堡在別的方面無疑還只是一個稚氣未脫的大孩子。他興致勃勃地跟著青年團去各地旅行，在哥本哈根逗留期間，他抽空去巴伐利亞滑雪，結果摔傷了膝蓋，躺了好幾個禮拜。在山谷田野間暢遊的時候，他高興得不能自己，「甚至說我連一秒種的物理都不願想了」。這種政治和為人處世上的天真在後來的歲月裡也一再地顯露出來。
量子論的發展幾乎就是年輕人的天下。愛因斯坦1905年提出光量子假說的時候，也才26歲。玻爾1913年提出他的原子結構的時候，28歲。德布羅意1923年提出相波的時候，31歲（還應該考慮到他並非科班出身）。而1925年，當量子力學在海森堡的手裡得到突破的時候，後來在歷史上閃閃發光的那些主要人物也幾乎都和海森堡一樣年輕：泡利25歲，狄拉克23歲，烏侖貝克25歲，古茲密特23歲，約爾當23歲。和他們比起來，36歲的薛定諤和43歲的波恩簡直算是老爺爺了。量子力學被人們戲稱為「男孩物理學」，波恩在哥廷根的理論班，也被人叫做「波恩幼稚園」。
不過，這只說明量子論的銳氣和朝氣。在那個神話般的年代，象徵了科學永遠不知畏懼的前進步伐，開創出一個前所未有的大時代來。「男孩物理學」這個帶有傳奇色彩的名詞，也將成為科學史上一段永遠惹人遐想的佳話吧？
三
好了各位同學，我們又見面了。上次我們佈置了一道練習題，不知大家有沒有按時交作業呢？不管怎樣都好，現在我們一起來把它的答案求出來。
出於寓教於樂的目的，我們還是承接上一節，用比喻的方式來解答這個問題。大家還記得，每張表格代表了一種海森堡式的車費表，那麼現在我們的I和II就分別成了兩條路線的旅遊巴士，在兩個城市之間來往，只不過收費有所不同而已。我們把它們稱為巴士I號線和巴士II號線。為了再形象化一點，我們假設這兩個城市是隔著羅湖橋比鄰的深圳和香港。
這樣的話，我們的表格就有了具體的現實意義。如前面已經說明的那樣，表的橫坐標是出發站，縱坐標是終點站。所以對於巴士I號線來說，在深圳市內遊玩需要1塊車費，從深圳出發到香港則要7塊錢。反過來，從香港出發回深圳要8塊錢，而在香港市內觀光則需3塊。II號表格裡的數位與此類似。
好吧，到目前為止一切都不錯，可是，這到底有什麼意思呢？I×II到底是多少呢？這種運算代表什麼意義呢？和我們的巴士旅遊線又有什麼關係呢？暫且不急，讓我們一步一步地來解決這個問題。
首先要把握大方向。I是一個2×2的表格，II也是一個2×2的表格。那麼，我們有理由去猜測，它們的乘積應該也是一個2×2的表格。
位於左上角的a是多少呢？是不是簡單地把I號表左上角的1乘以II號表左上角的2，1×2＝2就行了呢？我們要時時牢記車費表的現實意義：左上角代表了從深圳出發，還在深圳下車的總車費。1×2的確符合要求：先乘I號線在深圳遊玩一陣，隨後原地下車再搭II號線再次市內遊！總的路線是：深圳→深圳→深圳。起點和終點都在深圳，座標在左上角，沒錯！
但是，我們忽略了另一條路線！左上角的a要求從深圳出發，最後在深圳下車，卻沒有規定整個過程全都在深圳市內！實際上，很容易想像另一條路線：深圳→香港→深圳，它依然符合起點和終點都在深圳的要求。這樣一來，我們必須先搭I號線去香港（收費7元），在香港轉搭II號線回深圳（收費6元），它們的乘積是7×6＝42！
a最終的數值，應該是所有可能路線的疊加（深圳→？→深圳）。在本例中，只有上述兩條路線，沒有第三種可能了。所以a＝1×2＋7×6＝44。
很奇妙，是不是？我們再來看右上角的b。深圳出發香港下車，同樣也有兩種可能的路線：深圳→深圳→香港，或者深圳→香港→香港。要麼先乘I號線深圳市內遊再搭II號線到香港（1×5），要麼先乘I號線到香港然後轉II號線香港市內遊（7×4）。所以綜合來說，b＝1×5＋7×4＝33。
很抱歉，我們處在一個非常奇幻的世界裡，雖然只是小學水準的數字運算，可能也已經讓有些人痛苦不堪。不過大家必須承認，我們的確學到了一些新的事物，如果你覺得這種乘法十分陌生的話，那麼我們很快就要給你更大的驚奇，但首先我們還是要熟悉這種新的運算規則才是。聖人說，溫故而知新，我們不必為了自己新學到的東西而沾沾自喜，還是鞏固鞏固我們的基礎吧，讓我們把上面這道題目驗算一遍。哦，不要昏倒，不要昏倒，其實沒有那麼乏味，我們可以把乘法的次序倒一倒，現在驗算一遍II×I：
我知道大家都在唉聲歎氣，不過我還是堅持，複習功課是有益無害的。我們來看看a是什麼，現在我們是先乘搭II號線，然後轉I號線了。我們可以先搭II號線在深圳市內轉搭I號線再次市內遊（深圳→深圳→深圳），對應的是2×1。另外，還有一條路線：深圳→香港→深圳，所以是先搭II號線去香港，在那裡轉搭I號線回深圳，所以是5×8＝40。所以總的來說，a＝2×1＋5×8＝42。
喂，打瞌睡的各位，快醒醒，我們遇到問題了。在我們的驗算裡，a＝42，不過我還記得，剛才我們的答案說a＝44。各位把筆記本往回翻幾頁，看看我有沒有記錯？嗯，雖然大家都沒有抄筆記，但我還是沒有記錯，剛才我們的a＝1×2＋7×6＝44。
看來是我算錯了，我們再算一遍，這次可要打起精神了：a代表深圳上車深圳下車。所以兩種可能的情況是：深圳→深圳→深圳，II號線市內遊收2塊，I號線1塊，所以2×1＝2。另外還有深圳→香港→深圳的路線。II號線由深圳去香港5塊，I號線由香港回深圳8塊，所以5×8＝40。加在一起：2＋40＝42！
嗯，奇怪，沒錯啊。那麼難道前面算錯了？我們再算一遍，好像也沒錯，前面a＝2＋42＝44。那麼，那麼……誰錯了？哈哈，難道是海森堡錯了？他這次可丟臉了，他發明了一種什麼樣的表格乘法啊，居然導致如此荒唐的結果：I×II ≠ II×I。
哇，真的非常不同，每個數字都不一樣，I×II ≠ II×I！唉，這可真讓人惋惜，原來我們還以為這種表格式的運算至少有點創意的，現在看來浪費了大家不少時間，只好說聲抱歉。但是，慢著，海森堡還有話要說，先別為我們死去的腦細胞默哀，它們的死也許不是完全沒有意義的。
大家冷靜點，大家冷靜點，海森堡搖晃著他那漂亮的頭髮說，我們必須學會面對現實。我們已經說過了，物理學，必須從唯一可以被實踐的資料出發，而不是靠想像和常識習慣。我們要學會依賴於數學，而不是日常語言，因為只有數學才具有惟一的意義，才能告訴我們惟一的真實。我們必須認識到這一點：數學怎麼說，我們就得接受什麼。如果數學說I×II ≠ II×I，那麼我們就得這麼認為，哪怕世人用再嘲諷的口氣來譏笑我們，我們也不能改變這一立場。何況，如果仔細審查這裡面的意義，也並沒有太大的荒謬：先搭乘I號線，再轉II號線，這和先搭乘II號線，再轉I號線，導致的結果可能是不同的，有什麼問題嗎？
好吧，有人諷刺地說，那麼牛頓第二定律究竟是F＝ma，還是F＝am呢？
海森堡冷冷地說，牛頓力學是經典體系，我們討論的是量子體系。永遠不要對量子世界的任何奇特性質過分大驚小怪，那會讓你發瘋的。量子的規則，並不一定要受到乘法交換率的束縛。
他無法做更多的口舌之爭了，1925年夏天，海森堡被一場熱病所感染，不得不離開哥廷根，到北海的一個小島赫爾格蘭（Helgoland）去休養。但是他的大腦沒有停滯，在遠離喧囂的小島上，海森堡堅定地沿著這條奇特的表格式道路去探索物理學的未來。
而且，他很快就獲得了成功：事實上，只要把矩陣的規則運用到經典的動力學公式裡去，把玻爾和索末菲舊的量子條件改造成新的由堅實的矩陣磚塊構造起來的方程，海森堡可以自然而然地推導出量子化的原子能級和輻射頻率。而且這一切都可以順理成章從方程本身解出，不再需要像玻爾的舊模型那樣，強行附加一個不自然的量子條件。海森堡的表格的確管用！數學解釋一切，我們的想像是靠不住的。
雖然，這種古怪的不遵守交換率的矩陣乘法到底意味著什麼，無論對於海森堡，還是當時的所有人來說，都還仍然是一個謎題，但量子力學的基本形式卻已經得到了突破進展。從這時候起，量子論將以一種氣勢磅?的姿態向前邁進，每一步都那樣雄偉壯麗。接下來的3年是夢幻般的3年，是物理史上難以想像的3年，理論物理的黃金年代，終於要放射出它最耀眼的光輝，把整個20世紀都裝點得神聖起來。
海森堡後來在寫給荷蘭學者范德沃登（Van der Waerden）的信中回憶道，當他在那個石頭小島上的時候，有一晚忽然想到體系的總能量應該是一個常數。於是他試著用他那規則來解這個方程以求得振子能量。求解並不容易，他做了一個通宵，但求出來的結果和實驗符合得非常好。於是他爬上一個山崖去看日出，同時感到自己非常幸運。
是的，曙光已經出現，太陽正從海平線上冉冉升起，萬道霞光染紅了海面和空中的雲彩，在天地間流動著奇幻的輝光。在高高的石崖頂上，海森堡面對著壯觀的日出景象，他腳下碧海潮生，一直延伸到無窮無盡的遠方。是的，他知道，這是屬於自己的時刻，他已經做出了生命中最重要的突破，而物理學的黎明也終於到來。
這便是一種經典的解法，每一個車站都被假設具有某種絕對的「車費能級」，就像原子中電子的每個軌道都被假設具有某種特定的能級一樣。所有的車費，不管是從哪個站到哪個站，都可以用這個單一的變數來解決，這是一個一維的傳統表格，完全可以表達為一個普通的公式。這也是所有物理問題的傳統解法。
現在，海森堡說話了。不對，海森堡爭辯說，這個思路有一個根本性的錯誤，那就是，作為一個乘客來說，他完全無法意識，也根本不可能觀察到某個車站的「絕對座標」是什麼。比如我從C站乘車到D站，無論怎麼樣我也無法觀察到「C站的座標是1.5」，或者「D站的座標是2.5」這個結論。作為我 乘客來說，我所能唯一觀察和體會到的，就是「從C站到達D站要花1塊錢」，這才是最確鑿，最堅實的東西。我們的車費規則，只能以這樣的事實為基礎，而不該用不可觀察的所謂「座標」，或者「能級」。
這裡面，橫坐標是起點站，縱坐標是終點站。現在這張表格裡的每一個數位都是實實在在可以觀測和檢驗的了。比如第一行第三列的那個1.5，它的橫坐標是A，表明從A站出發。它的縱坐標是C，表明到C站下車。那麼，只要某個乘客真正從A站坐到了C站，他就可以證實這個數字是正確的：這個旅途的確需要1.5塊車費。
海森堡的表格和玻爾的不同，它沒有做任何假設和推論，不包含任何不可觀察的資料。但作為代價，它採納了一種二維的龐大結構，每個資料都要用橫坐標和縱坐標兩個變數來表示。正如我們不能用 ，而必須用來表示電子頻率一樣。更關鍵的是，海森堡爭辯說，所有的物理規則，也要按照這種表格的方式來改寫。
我們已經有了經典的動力學方程，現在，我們必須全部把它們按照量子的方式改寫成某種表格方程。許多傳統的物理變數，現在都要看成是一些獨立的矩陣來處理。在玻爾和索末菲的舊原子模型裡，用傅裡葉級數展開的電子運動方程，也必須用矩陣重新加工，把不可觀察的泥沙剔除出去，注入混凝土的堅實基礎 可實際檢驗的物理量。
但是難題來了，我們現在有一個變數p，代表電子的動量；還有一個變數q，代表電子的位置。本來，這是兩個經典變數，我們應該把它們相乘，大家都沒有對此表示任何疑問。可現在，海森堡把它們改成了矩陣的表格形式，這就給我們的運算帶來了麻煩。p和q變成了兩個「表格」！請問，你如何把兩個「表格」乘起來呢？
或者我們不妨先問自己這樣一個問題：把兩個表格乘起來，這代表了什麼意義呢？
為了容易理解，我想讓大家做一道小學生水準的數學練習：乘法運算。只不過這次乘的不是普通的數位，而是兩張表格：I和II。它們的內容如下：
那麼，各位同學，I×II等於幾？這道題就當是今天的回家作業，現在我們暫時下課。
飯後閒話：男孩物理學
1925年，當海森堡做出他那突破性的貢獻的時候，他剛剛24歲。儘管在物理上有著極為驚人的天才，但海森堡在別的方面無疑還只是一個稚氣未脫的大孩子。他興致勃勃地跟著青年團去各地旅行，在哥本哈根逗留期間，他抽空去巴伐利亞滑雪，結果摔傷了膝蓋，躺了好幾個禮拜。在山谷田野間暢遊的時候，他高興得不能自己，「甚至說我連一秒種的物理都不願想了」。這種政治和為人處世上的天真在後來的歲月裡也一再地顯露出來。
量子論的發展幾乎就是年輕人的天下。愛因斯坦1905年提出光量子假說的時候，也才26歲。玻爾1913年提出他的原子結構的時候，28歲。德布羅意1923年提出相波的時候，31歲（還應該考慮到他並非科班出身）。而1925年，當量子力學在海森堡的手裡得到突破的時候，後來在歷史上閃閃發光的那些主要人物也幾乎都和海森堡一樣年輕：泡利25歲，狄拉克23歲，烏侖貝克25歲，古茲密特23歲，約爾當23歲。和他們比起來，36歲的薛定諤和43歲的波恩簡直算是老爺爺了。量子力學被人們戲稱為「男孩物理學」，波恩在哥廷根的理論班，也被人叫做「波恩幼稚園」。
不過，這只說明量子論的銳氣和朝氣。在那個神話般的年代，象徵了科學永遠不知畏懼的前進步伐，開創出一個前所未有的大時代來。「男孩物理學」這個帶有傳奇色彩的名詞，也將成為科學史上一段永遠惹人遐想的佳話吧？
三
好了各位同學，我們又見面了。上次我們佈置了一道練習題，不知大家有沒有按時交作業呢？不管怎樣都好，現在我們一起來把它的答案求出來。
出於寓教於樂的目的，我們還是承接上一節，用比喻的方式來解答這個問題。大家還記得，每張表格代表了一種海森堡式的車費表，那麼現在我們的I和II就分別成了兩條路線的旅遊巴士，在兩個城市之間來往，只不過收費有所不同而已。我們把它們稱為巴士I號線和巴士II號線。為了再形象化一點，我們假設這兩個城市是隔著羅湖橋比鄰的深圳和香港。
這樣的話，我們的表格就有了具體的現實意義。如前面已經說明的那樣，表的橫坐標是出發站，縱坐標是終點站。所以對於巴士I號線來說，在深圳市內遊玩需要1塊車費，從深圳出發到香港則要7塊錢。反過來，從香港出發回深圳要8塊錢，而在香港市內觀光則需3塊。II號表格裡的數位與此類似。
好吧，到目前為止一切都不錯，可是，這到底有什麼意思呢？I×II到底是多少呢？這種運算代表什麼意義呢？和我們的巴士旅遊線又有什麼關係呢？暫且不急，讓我們一步一步地來解決這個問題。
首先要把握大方向。I是一個2×2的表格，II也是一個2×2的表格。那麼，我們有理由去猜測，它們的乘積應該也是一個2×2的表格。
位於左上角的a是多少呢？是不是簡單地把I號表左上角的1乘以II號表左上角的2，1×2＝2就行了呢？我們要時時牢記車費表的現實意義：左上角代表了從深圳出發，還在深圳下車的總車費。1×2的確符合要求：先乘I號線在深圳遊玩一陣，隨後原地下車再搭II號線再次市內遊！總的路線是：深圳→深圳→深圳。起點和終點都在深圳，座標在左上角，沒錯！
但是，我們忽略了另一條路線！左上角的a要求從深圳出發，最後在深圳下車，卻沒有規定整個過程全都在深圳市內！實際上，很容易想像另一條路線：深圳→香港→深圳，它依然符合起點和終點都在深圳的要求。這樣一來，我們必須先搭I號線去香港（收費7元），在香港轉搭II號線回深圳（收費6元），它們的乘積是7×6＝42！
a最終的數值，應該是所有可能路線的疊加（深圳→？→深圳）。在本例中，只有上述兩條路線，沒有第三種可能了。所以a＝1×2＋7×6＝44。
很奇妙，是不是？我們再來看右上角的b。深圳出發香港下車，同樣也有兩種可能的路線：深圳→深圳→香港，或者深圳→香港→香港。要麼先乘I號線深圳市內遊再搭II號線到香港（1×5），要麼先乘I號線到香港然後轉II號線香港市內遊（7×4）。所以綜合來說，b＝1×5＋7×4＝33。
很抱歉，我們處在一個非常奇幻的世界裡，雖然只是小學水準的數字運算，可能也已經讓有些人痛苦不堪。不過大家必須承認，我們的確學到了一些新的事物，如果你覺得這種乘法十分陌生的話，那麼我們很快就要給你更大的驚奇，但首先我們還是要熟悉這種新的運算規則才是。聖人說，溫故而知新，我們不必為了自己新學到的東西而沾沾自喜，還是鞏固鞏固我們的基礎吧，讓我們把上面這道題目驗算一遍。哦，不要昏倒，不要昏倒，其實沒有那麼乏味，我們可以把乘法的次序倒一倒，現在驗算一遍II×I：
我知道大家都在唉聲歎氣，不過我還是堅持，複習功課是有益無害的。我們來看看a是什麼，現在我們是先乘搭II號線，然後轉I號線了。我們可以先搭II號線在深圳市內轉搭I號線再次市內遊（深圳→深圳→深圳），對應的是2×1。另外，還有一條路線：深圳→香港→深圳，所以是先搭II號線去香港，在那裡轉搭I號線回深圳，所以是5×8＝40。所以總的來說，a＝2×1＋5×8＝42。
喂，打瞌睡的各位，快醒醒，我們遇到問題了。在我們的驗算裡，a＝42，不過我還記得，剛才我們的答案說a＝44。各位把筆記本往回翻幾頁，看看我有沒有記錯？嗯，雖然大家都沒有抄筆記，但我還是沒有記錯，剛才我們的a＝1×2＋7×6＝44。
看來是我算錯了，我們再算一遍，這次可要打起精神了：a代表深圳上車深圳下車。所以兩種可能的情況是：深圳→深圳→深圳，II號線市內遊收2塊，I號線1塊，所以2×1＝2。另外還有深圳→香港→深圳的路線。II號線由深圳去香港5塊，I號線由香港回深圳8塊，所以5×8＝40。加在一起：2＋40＝42！
嗯，奇怪，沒錯啊。那麼難道前面算錯了？我們再算一遍，好像也沒錯，前面a＝2＋42＝44。那麼，那麼……誰錯了？哈哈，難道是海森堡錯了？他這次可丟臉了，他發明了一種什麼樣的表格乘法啊，居然導致如此荒唐的結果：I×II ≠ II×I。
哇，真的非常不同，每個數字都不一樣，I×II ≠ II×I！唉，這可真讓人惋惜，原來我們還以為這種表格式的運算至少有點創意的，現在看來浪費了大家不少時間，只好說聲抱歉。但是，慢著，海森堡還有話要說，先別為我們死去的腦細胞默哀，它們的死也許不是完全沒有意義的。
大家冷靜點，大家冷靜點，海森堡搖晃著他那漂亮的頭髮說，我們必須學會面對現實。我們已經說過了，物理學，必須從唯一可以被實踐的資料出發，而不是靠想像和常識習慣。我們要學會依賴於數學，而不是日常語言，因為只有數學才具有惟一的意義，才能告訴我們惟一的真實。我們必須認識到這一點：數學怎麼說，我們就得接受什麼。如果數學說I×II ≠ II×I，那麼我們就得這麼認為，哪怕世人用再嘲諷的口氣來譏笑我們，我們也不能改變這一立場。何況，如果仔細審查這裡面的意義，也並沒有太大的荒謬：先搭乘I號線，再轉II號線，這和先搭乘II號線，再轉I號線，導致的結果可能是不同的，有什麼問題嗎？
好吧，有人諷刺地說，那麼牛頓第二定律究竟是F＝ma，還是F＝am呢？
海森堡冷冷地說，牛頓力學是經典體系，我們討論的是量子體系。永遠不要對量子世界的任何奇特性質過分大驚小怪，那會讓你發瘋的。量子的規則，並不一定要受到乘法交換率的束縛。
他無法做更多的口舌之爭了，1925年夏天，海森堡被一場熱病所感染，不得不離開哥廷根，到北海的一個小島赫爾格蘭（Helgoland）去休養。但是他的大腦沒有停滯，在遠離喧囂的小島上，海森堡堅定地沿著這條奇特的表格式道路去探索物理學的未來。
而且，他很快就獲得了成功：事實上，只要把矩陣的規則運用到經典的動力學公式裡去，把玻爾和索末菲舊的量子條件改造成新的由堅實的矩陣磚塊構造起來的方程，海森堡可以自然而然地推導出量子化的原子能級和輻射頻率。而且這一切都可以順理成章從方程本身解出，不再需要像玻爾的舊模型那樣，強行附加一個不自然的量子條件。海森堡的表格的確管用！數學解釋一切，我們的想像是靠不住的。
雖然，這種古怪的不遵守交換率的矩陣乘法到底意味著什麼，無論對於海森堡，還是當時的所有人來說，都還仍然是一個謎題，但量子力學的基本形式卻已經得到了突破進展。從這時候起，量子論將以一種氣勢磅?的姿態向前邁進，每一步都那樣雄偉壯麗。接下來的3年是夢幻般的3年，是物理史上難以想像的3年，理論物理的黃金年代，終於要放射出它最耀眼的光輝，把整個20世紀都裝點得神聖起來。
海森堡後來在寫給荷蘭學者范德沃登（Van der Waerden）的信中回憶道，當他在那個石頭小島上的時候，有一晚忽然想到體系的總能量應該是一個常數。於是他試著用他那規則來解這個方程以求得振子能量。求解並不容易，他做了一個通宵，但求出來的結果和實驗符合得非常好。於是他爬上一個山崖去看日出，同時感到自己非常幸運。
是的，曙光已經出現，太陽正從海平線上冉冉升起，萬道霞光染紅了海面和空中的雲彩，在天地間流動著奇幻的輝光。在高高的石崖頂上，海森堡面對著壯觀的日出景象，他腳下碧海潮生，一直延伸到無窮無盡的遠方。是的，他知道，這是屬於自己的時刻，他已經做出了生命中最重要的突破，而物理學的黎明也終於到來。
