CHAPTER 32
打敗賭場的超完美計畫
（※以下部分節錄）
在這一章裡，我們將試著從賭場手中把錢贏回來（又來了）。別再說我都沒幫你了！
請思考一個遊戲：我要擲硬幣。若出現正面，我什麼都沒贏；若出現反面，我會贏得3美元。
因此，在這場遊戲中，期望值為1.5美元，因為其中一種結果（一半的機率）會讓我空手而歸；還有另一種結果（一半的機率）能讓我贏得3美元。因此，將0乘以1／2再加上3乘以1／2後，就能得知我平均能贏一塊半。假如參加這個遊戲的費用為1美元，那麼理性如我，自然願意付費參加（當然，即便預期獲利高於成本，總會有些風險仇視者死都不願意掏自己的錢去賭）。
但是，先等一下，1.5的期望值到底意味著什麼？我永遠都不可能在一場遊戲中贏到1.5美元，因為我不是贏到3元，就是一無所獲。因此，期望值代表了我們打算進行多次實驗，或進行多次下注。
假如我擲硬幣一百次，預期得到正面與反面各50次的結果。50次的正面不會讓我贏到錢，而50次的反面則會讓我贏到3×50美元。因此，在100次的遊戲中，我有望贏得150美元。那麼，每一場比賽的平均收益是多少呢？
將150美元除以一百場遊戲，就會得到一模一樣的答案：1.5美元。這就是期望值！再說一次，期望值指的永遠是多次嘗試，否則就沒有任何意義。
由於這個問題極為重要，因此請容我再呈現一個例子，儘管這個例子略為複雜：
蘇西被邀請加入一個遊戲：她要擲一顆公正的骰子，若結果為6，她就能贏10美元，若結果為其他，則她必須付5美元。她應該加入這個遊戲嗎？
你不需要懂得機率，就知道應該拒絕，但我打算更深入地探討這個問題，讓我們更加理解「期望值」的概念。
讓我們用X來表示蘇西在這個遊戲中的收益，然後將X的值與對應機率輸入在表格中：
----------------------------------------------
X 10 −5
----------------------------------------------
P 1/6 5/6
----------------------------------------------
假如我們想知道這個遊戲究竟公不公平，機率對我們有利還是不利，我們就必須計算贏錢的「期望值」。若答案為0，就代表這場遊戲很公平。若答案為負，蘇西最好趕快開溜；若答案為正，她就可以考慮賭一把（注意：只是考慮）。
在這個練習中，贏錢的期望值是：E（X）＝−2.5（請驗算）。負號暗示了蘇西最好不要加入，因為這個遊戲受到操控，除非擲骰子這件事本身就能讓她快樂。
但是，−2.5實際上意味著什麼？
假設蘇西打算玩六百次。在做出如此不明智的舉動後，她的經濟狀況會變得怎麼樣？
依照骰子的機率，她應該能擲出約一百次的6，每次可贏得10美元；因此她或多或少能贏得1,000美元。與此同時，她會出現約五百次不是6的結果，每次需支付5美元，合計約2,500美元。進行600次遊戲後，最終將讓她損失1,500美元。因此，每場遊戲的平均損失為：
E（X）＝−1,500／600＝−2.5
換言之，只要蘇西玩得夠多次，我們就能輕易預測她的虧損總額：只需將−2.5乘以遊戲次數即可；例如，若她玩了一千次，便可預期她會損失約2,500美元。
顯然，在單一場遊戲的脈絡下，−2.5並沒有實質意義，也不可能成為實際的輸贏金額，因為她不是贏10美元，就是輸5美元。但若重複進行多次，我們便能相當準確地預測最終結果。（記住：若只擲一次或極少次硬幣，我們無法預測結果；但若重複進行許多次，便能合理描述其整體走向。）
整體而言，我們可以總結如下：若某一遊戲的期望值為正，長期來看便值得參與；若期望值為零，則只是浪費時間；而期望值為負的遊戲，則不應參與。這些建議自然是建立在「人類為理性行動者」的假設之上。然而，這項假設本身並不穩固，也不夠精確。為了說明理性與期望值計算之間錯綜複雜的關係，接下來我將再舉兩個例子。
在第一個例子中，遊戲參與者面臨兩個選擇：其一，直接獲得100萬美元；其二，擲一次硬幣—得到正面什麼也得不到，得到反面則可贏得1,000萬美元。從期望值的角度來看，顯然應選第二個方案，因為其期望值更高，為500萬美元。
其機率函數如下：
----------------------------------------------
X 0 10,000,000
----------------------------------------------
P 1/2 1/2
----------------------------------------------
因此，期望值如下：
（1/2×0）+（1/2×10,000,000）
答案是500萬。
如果擲硬幣的期望值為500萬，那麼人們究竟該選擇擲硬幣，還是保守一點，只拿走100萬就好呢？我想，只要不是超級有錢的人，應該都會選擇保守的路，因為即便這100萬遠比潛在的1,000萬或預期的500萬少，但至少它是確定可以拿到的。這個金額足以讓許多人溫飽。
另一方面，對那些瞧不上100萬的大富豪來說，他們自然會選擇賭一把，因為他們可能會因此贏得更多—第二個選擇的期望值比100萬高出了五倍。
現在，我們來認識「不確定決策理論」中的另一個重要概念：「效用函數」（utility function）。沒錯，金錢的價值不該僅以數字來衡量。在分析1,000美元的價值時，我們也應該問：對誰而言？對縮在街角、無家可歸的流浪漢來說，1,000美元足以讓他吃上好幾個月；但若我們將這筆錢匯到伊隆．馬斯克或英皇查理斯三世的戶頭裡，他們不僅根本不會注意到，就算是蘇格蘭場（倫敦警務處總部）最優秀的警探鍥而不捨地追查，恐怕也找不到這筆錢的流向。當然，1,000美元對富人的價值，自然不如對資源較為匱乏者來得大（儘管也有某些富豪連一塊錢都不肯輕易放過）。
總而言之，在決策理論中，多數問題都會透過某種效用函數來分析，而計算過程自然也包含期望值。價值的判斷，從來不只是建立在數字大小之上。
該怎麼做，才能把把都贏？
尼諾帶著一份「天才」計畫，打算到賭場贏得1美元：他走到輪盤賭桌旁，然後把1美元押在紅色上（如果你需要複習一下規則，請翻到第十九章）。
如果輪盤的圓球停在紅色上，他就能贏得1美元，任務也圓滿成功。倘若沒有，他會再下注一次紅色，但這一次，他會押2美元。假如這一次開出紅色，他會贏得2美元，整體收支將是贏得1美元（2−1）。但如果又輸了怎麼辦？那麼他此刻將輸掉3美元，因此按照計畫他會下注4美元在—你說呢？—紅色上。贏了，他就會賺到1美元；輸了，尼諾會下注8美元在紅色上，如此反覆進行著，直到球停在紅色上，讓他贏得夢寐以求的1美元。
這種下注方式，稱為「翻倍法」（the doubling method）。儘管有別的名字，但數學家們偏愛稱此為「馬丁格爾」（mar-tingale）。馬丁格爾是一種投注策略，而尼諾使用的正是其中最簡單的一種……
（精彩待續）
打敗賭場的超完美計畫
（※以下部分節錄）
在這一章裡，我們將試著從賭場手中把錢贏回來（又來了）。別再說我都沒幫你了！
請思考一個遊戲：我要擲硬幣。若出現正面，我什麼都沒贏；若出現反面，我會贏得3美元。
因此，在這場遊戲中，期望值為1.5美元，因為其中一種結果（一半的機率）會讓我空手而歸；還有另一種結果（一半的機率）能讓我贏得3美元。因此，將0乘以1／2再加上3乘以1／2後，就能得知我平均能贏一塊半。假如參加這個遊戲的費用為1美元，那麼理性如我，自然願意付費參加（當然，即便預期獲利高於成本，總會有些風險仇視者死都不願意掏自己的錢去賭）。
但是，先等一下，1.5的期望值到底意味著什麼？我永遠都不可能在一場遊戲中贏到1.5美元，因為我不是贏到3元，就是一無所獲。因此，期望值代表了我們打算進行多次實驗，或進行多次下注。
假如我擲硬幣一百次，預期得到正面與反面各50次的結果。50次的正面不會讓我贏到錢，而50次的反面則會讓我贏到3×50美元。因此，在100次的遊戲中，我有望贏得150美元。那麼，每一場比賽的平均收益是多少呢？
將150美元除以一百場遊戲，就會得到一模一樣的答案：1.5美元。這就是期望值！再說一次，期望值指的永遠是多次嘗試，否則就沒有任何意義。
由於這個問題極為重要，因此請容我再呈現一個例子，儘管這個例子略為複雜：
蘇西被邀請加入一個遊戲：她要擲一顆公正的骰子，若結果為6，她就能贏10美元，若結果為其他，則她必須付5美元。她應該加入這個遊戲嗎？
你不需要懂得機率，就知道應該拒絕，但我打算更深入地探討這個問題，讓我們更加理解「期望值」的概念。
讓我們用X來表示蘇西在這個遊戲中的收益，然後將X的值與對應機率輸入在表格中：
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X 10 −5
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P 1/6 5/6
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假如我們想知道這個遊戲究竟公不公平，機率對我們有利還是不利，我們就必須計算贏錢的「期望值」。若答案為0，就代表這場遊戲很公平。若答案為負，蘇西最好趕快開溜；若答案為正，她就可以考慮賭一把（注意：只是考慮）。
在這個練習中，贏錢的期望值是：E（X）＝−2.5（請驗算）。負號暗示了蘇西最好不要加入，因為這個遊戲受到操控，除非擲骰子這件事本身就能讓她快樂。
但是，−2.5實際上意味著什麼？
假設蘇西打算玩六百次。在做出如此不明智的舉動後，她的經濟狀況會變得怎麼樣？
依照骰子的機率，她應該能擲出約一百次的6，每次可贏得10美元；因此她或多或少能贏得1,000美元。與此同時，她會出現約五百次不是6的結果，每次需支付5美元，合計約2,500美元。進行600次遊戲後，最終將讓她損失1,500美元。因此，每場遊戲的平均損失為：
E（X）＝−1,500／600＝−2.5
換言之，只要蘇西玩得夠多次，我們就能輕易預測她的虧損總額：只需將−2.5乘以遊戲次數即可；例如，若她玩了一千次，便可預期她會損失約2,500美元。
顯然，在單一場遊戲的脈絡下，−2.5並沒有實質意義，也不可能成為實際的輸贏金額，因為她不是贏10美元，就是輸5美元。但若重複進行多次，我們便能相當準確地預測最終結果。（記住：若只擲一次或極少次硬幣，我們無法預測結果；但若重複進行許多次，便能合理描述其整體走向。）
整體而言，我們可以總結如下：若某一遊戲的期望值為正，長期來看便值得參與；若期望值為零，則只是浪費時間；而期望值為負的遊戲，則不應參與。這些建議自然是建立在「人類為理性行動者」的假設之上。然而，這項假設本身並不穩固，也不夠精確。為了說明理性與期望值計算之間錯綜複雜的關係，接下來我將再舉兩個例子。
在第一個例子中，遊戲參與者面臨兩個選擇：其一，直接獲得100萬美元；其二，擲一次硬幣—得到正面什麼也得不到，得到反面則可贏得1,000萬美元。從期望值的角度來看，顯然應選第二個方案，因為其期望值更高，為500萬美元。
其機率函數如下：
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X 0 10,000,000
----------------------------------------------
P 1/2 1/2
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因此，期望值如下：
（1/2×0）+（1/2×10,000,000）
答案是500萬。
如果擲硬幣的期望值為500萬，那麼人們究竟該選擇擲硬幣，還是保守一點，只拿走100萬就好呢？我想，只要不是超級有錢的人，應該都會選擇保守的路，因為即便這100萬遠比潛在的1,000萬或預期的500萬少，但至少它是確定可以拿到的。這個金額足以讓許多人溫飽。
另一方面，對那些瞧不上100萬的大富豪來說，他們自然會選擇賭一把，因為他們可能會因此贏得更多—第二個選擇的期望值比100萬高出了五倍。
現在，我們來認識「不確定決策理論」中的另一個重要概念：「效用函數」（utility function）。沒錯，金錢的價值不該僅以數字來衡量。在分析1,000美元的價值時，我們也應該問：對誰而言？對縮在街角、無家可歸的流浪漢來說，1,000美元足以讓他吃上好幾個月；但若我們將這筆錢匯到伊隆．馬斯克或英皇查理斯三世的戶頭裡，他們不僅根本不會注意到，就算是蘇格蘭場（倫敦警務處總部）最優秀的警探鍥而不捨地追查，恐怕也找不到這筆錢的流向。當然，1,000美元對富人的價值，自然不如對資源較為匱乏者來得大（儘管也有某些富豪連一塊錢都不肯輕易放過）。
總而言之，在決策理論中，多數問題都會透過某種效用函數來分析，而計算過程自然也包含期望值。價值的判斷，從來不只是建立在數字大小之上。
該怎麼做，才能把把都贏？
尼諾帶著一份「天才」計畫，打算到賭場贏得1美元：他走到輪盤賭桌旁，然後把1美元押在紅色上（如果你需要複習一下規則，請翻到第十九章）。
如果輪盤的圓球停在紅色上，他就能贏得1美元，任務也圓滿成功。倘若沒有，他會再下注一次紅色，但這一次，他會押2美元。假如這一次開出紅色，他會贏得2美元，整體收支將是贏得1美元（2−1）。但如果又輸了怎麼辦？那麼他此刻將輸掉3美元，因此按照計畫他會下注4美元在—你說呢？—紅色上。贏了，他就會賺到1美元；輸了，尼諾會下注8美元在紅色上，如此反覆進行著，直到球停在紅色上，讓他贏得夢寐以求的1美元。
這種下注方式，稱為「翻倍法」（the doubling method）。儘管有別的名字，但數學家們偏愛稱此為「馬丁格爾」（mar-tingale）。馬丁格爾是一種投注策略，而尼諾使用的正是其中最簡單的一種……
（精彩待續）
