形狀
數學家通常都想很多，這是我們的習性。我們會分析對稱或相等這類大家都知道的基本概念，試圖找出更深層的意義。
形狀就是一個例子。我們多少都知道形狀是什麼。我們看到一個物體時，很容易就看得出它是圓形、方形還是其他形狀。但數學家會問：形狀是什麼？構成形狀的要素是什麼？我們以形狀分辨物體時，會忽略它的大小、色彩、用途、年代、重量、誰把它拿來的，以及最後誰要負責歸位。我們沒有忽略的是什麼？當我們說某樣東西是圓形時，看到的是什麼呢？
當然，這些問題沒什麼意義。就實際用途而言，我們對形狀的直覺理解就已經夠了─生活中沒有什麼重大決定是需要仰賴我們對於「形狀」的確切定義。但如果你有空又願意花時間來想一想，形狀倒是個很有趣的主題。
假設我們現在要思考了，我們或許會問自己這個問題：
世界上有幾種形狀？
這個問題很簡單，但不容易回答。這個問題有個比較精確和有限的說法，稱為廣義龐卡赫猜想（generalized Poincaré conjecture，或譯龐加萊猜想）。這個猜想提出至今已經超過一百年，目前還沒有人解答出來。嘗試過的人相當多，有一位數學家解出這個問題的大部分，因此獲得了100萬美元獎金，但還有許多種形狀沒有找到，所以目前我們還不知道世界上一共有幾種形狀。
我們來試著解答這個問題。世界上有幾種形狀？如果沒有更好的點子，有個不錯的方法是畫出一些形狀，看看會有什麼結果。
看來這個問題的答案取決於我們區分形狀的方式。大圓和小圓是相同的形狀嗎？波浪線（squiggle）應該全部算成一大類，還是應該依彎曲的方式細分？我們需要一種通用規則來解決這類爭議，才不用每次都需要停下來爭論。
可用於決定兩個形狀是否相同的規則相當多。如果是木匠或工程師，通常會希望規則既嚴謹又精確：必須長度、角度和曲線都完全相等，兩個形狀才算相同。這樣的規則屬於幾何學（geometry）這個數學領域。在這個領域裡，形狀嚴格又精確，經常做的事情是畫垂直線和計算面積等等。
但我們的要求比較寬鬆一點。我們想要找出所有可能的形狀，但沒時間慢慢區分幾千種不同的波浪線。我們想要的是在比較兩個形狀是否相同時比較寬鬆的規則，它能夠把所有的形狀分成若干類別，但類別的數量又不至於太多。
新規則
如果一個形狀不需要剪剪貼貼，只要拉伸或擠壓就能變成另一個形狀，則這兩個形狀相同。
這個規則是拓樸學（topology）的核心概念，拓樸學就像是比較寬鬆模糊的幾何學。在拓樸學中，形狀以極薄且可無限延展的材料形成，像橡皮或麵團一樣，可以任意拉扯、扭轉和改變。在拓樸學中，形狀的大小並不重要。
此外，正方形和矩形相同，圓形也和橢圓形相同。
現在奇怪的事情來了！如果用這個「拉伸或擠壓」規則來思考，圓形和正方形也是相同的形狀！
先別急著告訴朋友，我們看到有一本書上說正方形是圓形！別忘了：背景前提很重要。在拓樸學中，正方形確實是圓形，但在藝術或建築、日常對話，甚至幾何學中，正方形當然不可能是圓形。如果有一輛自行車的輪子是正方形，這輛自行車一定騎不遠。
但現在我們研究的是拓樸學，研究拓樸學時，我們不用理會揉一揉就會消失的尖角這類小細節。我們會忽視長度和角度、直線邊或曲線邊或波浪邊等外表的差異，只看形狀的核心，也就是構成這個形狀的基本特徵。拓樸學家觀察正方形或圓形時，看到的是一個封閉迴圈，其他的都只是我們拉伸或擠壓它所形成的特徵。
這就像問：「項鍊是什麼形狀？」項鍊用某種方式拿著就是正方形，換一種方式又變成圓形。但不管我們怎麼改變，項鍊都有個不會改變的基本形狀，無論是正方形、圓形、八角形、心形、新月形、水滴形，或是七百一十六邊形。
這個形狀有許多不同的形式，所以不能稱為圓形或正方形。我們有時稱它為圓形，但在拓樸學說法中，這種形狀的正式名稱是S1。S1是項鍊、手鐲或橡皮筋、跑道或賽車場、護城河或國家邊界（假設沒有阿拉斯加）、字母O和大寫D的形狀，或是任何形狀的封閉迴圈。如同正方形是一種特定的矩形，這些形狀也都是特定的S1。
還有其他形狀嗎？如果這個拉伸和擠壓規則太過寬鬆，結果把許多不同的形狀通通歸成一個大類，這樣也不行。還好這個規則不會這樣，還是有其他種形狀和圓形不同。
例如線：
一條線可以彎成接近圓形，但是要變成真正的圓形，線的兩頭必須接在一起，但這樣不行。無論我們如何彎轉一條線，線的兩端一定各有一個點，形狀就到此為止，這兩個端點不能去除。我們可以任意移動和拉遠端點，但端點是這個形狀不變的特徵。
同樣地，「8」也是另一個不同的形狀。8沒有端點，但中間有個特殊的交叉點，這個點有四條線向外延伸，而其他點則只有兩條線往外。無論怎麼拉伸和擠壓，都不可能使這個交叉點消失。
仔細想想，這個資訊已經足以讓我們回答「世界上有幾種形狀？」這個問題。答案是無限多種，以下是我的證明：
證明
我們觀察一下這組形狀。如果在原本的形狀上畫一筆，就會生成新的形狀。
每個新形狀都比前一個形狀有更多的交叉點和端點，所以一定是不同的新形狀。如果一直添加下去，將會得到無限多個不同的形狀，因此形狀有無限多種。
故得證
這樣可以接受嗎？我們要做的只是找出這樣一組無限多種形狀，而且它顯然能永遠不停地生成新形狀。
數學家通常都想很多，這是我們的習性。我們會分析對稱或相等這類大家都知道的基本概念，試圖找出更深層的意義。
形狀就是一個例子。我們多少都知道形狀是什麼。我們看到一個物體時，很容易就看得出它是圓形、方形還是其他形狀。但數學家會問：形狀是什麼？構成形狀的要素是什麼？我們以形狀分辨物體時，會忽略它的大小、色彩、用途、年代、重量、誰把它拿來的，以及最後誰要負責歸位。我們沒有忽略的是什麼？當我們說某樣東西是圓形時，看到的是什麼呢？
當然，這些問題沒什麼意義。就實際用途而言，我們對形狀的直覺理解就已經夠了─生活中沒有什麼重大決定是需要仰賴我們對於「形狀」的確切定義。但如果你有空又願意花時間來想一想，形狀倒是個很有趣的主題。
假設我們現在要思考了，我們或許會問自己這個問題：
世界上有幾種形狀？
這個問題很簡單，但不容易回答。這個問題有個比較精確和有限的說法，稱為廣義龐卡赫猜想（generalized Poincaré conjecture，或譯龐加萊猜想）。這個猜想提出至今已經超過一百年，目前還沒有人解答出來。嘗試過的人相當多，有一位數學家解出這個問題的大部分，因此獲得了100萬美元獎金，但還有許多種形狀沒有找到，所以目前我們還不知道世界上一共有幾種形狀。
我們來試著解答這個問題。世界上有幾種形狀？如果沒有更好的點子，有個不錯的方法是畫出一些形狀，看看會有什麼結果。
看來這個問題的答案取決於我們區分形狀的方式。大圓和小圓是相同的形狀嗎？波浪線（squiggle）應該全部算成一大類，還是應該依彎曲的方式細分？我們需要一種通用規則來解決這類爭議，才不用每次都需要停下來爭論。
可用於決定兩個形狀是否相同的規則相當多。如果是木匠或工程師，通常會希望規則既嚴謹又精確：必須長度、角度和曲線都完全相等，兩個形狀才算相同。這樣的規則屬於幾何學（geometry）這個數學領域。在這個領域裡，形狀嚴格又精確，經常做的事情是畫垂直線和計算面積等等。
但我們的要求比較寬鬆一點。我們想要找出所有可能的形狀，但沒時間慢慢區分幾千種不同的波浪線。我們想要的是在比較兩個形狀是否相同時比較寬鬆的規則，它能夠把所有的形狀分成若干類別，但類別的數量又不至於太多。
新規則
如果一個形狀不需要剪剪貼貼，只要拉伸或擠壓就能變成另一個形狀，則這兩個形狀相同。
這個規則是拓樸學（topology）的核心概念，拓樸學就像是比較寬鬆模糊的幾何學。在拓樸學中，形狀以極薄且可無限延展的材料形成，像橡皮或麵團一樣，可以任意拉扯、扭轉和改變。在拓樸學中，形狀的大小並不重要。
此外，正方形和矩形相同，圓形也和橢圓形相同。
現在奇怪的事情來了！如果用這個「拉伸或擠壓」規則來思考，圓形和正方形也是相同的形狀！
先別急著告訴朋友，我們看到有一本書上說正方形是圓形！別忘了：背景前提很重要。在拓樸學中，正方形確實是圓形，但在藝術或建築、日常對話，甚至幾何學中，正方形當然不可能是圓形。如果有一輛自行車的輪子是正方形，這輛自行車一定騎不遠。
但現在我們研究的是拓樸學，研究拓樸學時，我們不用理會揉一揉就會消失的尖角這類小細節。我們會忽視長度和角度、直線邊或曲線邊或波浪邊等外表的差異，只看形狀的核心，也就是構成這個形狀的基本特徵。拓樸學家觀察正方形或圓形時，看到的是一個封閉迴圈，其他的都只是我們拉伸或擠壓它所形成的特徵。
這就像問：「項鍊是什麼形狀？」項鍊用某種方式拿著就是正方形，換一種方式又變成圓形。但不管我們怎麼改變，項鍊都有個不會改變的基本形狀，無論是正方形、圓形、八角形、心形、新月形、水滴形，或是七百一十六邊形。
這個形狀有許多不同的形式，所以不能稱為圓形或正方形。我們有時稱它為圓形，但在拓樸學說法中，這種形狀的正式名稱是S1。S1是項鍊、手鐲或橡皮筋、跑道或賽車場、護城河或國家邊界（假設沒有阿拉斯加）、字母O和大寫D的形狀，或是任何形狀的封閉迴圈。如同正方形是一種特定的矩形，這些形狀也都是特定的S1。
還有其他形狀嗎？如果這個拉伸和擠壓規則太過寬鬆，結果把許多不同的形狀通通歸成一個大類，這樣也不行。還好這個規則不會這樣，還是有其他種形狀和圓形不同。
例如線：
一條線可以彎成接近圓形，但是要變成真正的圓形，線的兩頭必須接在一起，但這樣不行。無論我們如何彎轉一條線，線的兩端一定各有一個點，形狀就到此為止，這兩個端點不能去除。我們可以任意移動和拉遠端點，但端點是這個形狀不變的特徵。
同樣地，「8」也是另一個不同的形狀。8沒有端點，但中間有個特殊的交叉點，這個點有四條線向外延伸，而其他點則只有兩條線往外。無論怎麼拉伸和擠壓，都不可能使這個交叉點消失。
仔細想想，這個資訊已經足以讓我們回答「世界上有幾種形狀？」這個問題。答案是無限多種，以下是我的證明：
證明
我們觀察一下這組形狀。如果在原本的形狀上畫一筆，就會生成新的形狀。
每個新形狀都比前一個形狀有更多的交叉點和端點，所以一定是不同的新形狀。如果一直添加下去，將會得到無限多個不同的形狀，因此形狀有無限多種。
故得證
這樣可以接受嗎？我們要做的只是找出這樣一組無限多種形狀，而且它顯然能永遠不停地生成新形狀。
