怎樣解題

《怎樣解題》是很棒的書！早在多年前，當我還是個學生，第一次讀這本書的時候，我就已經知道它是本好書了，但是，我卻花了很久的時間，才真正體會這本書有多麼棒！為什麼會這樣？部分的理由，是因為這本書很特別。在我做學生與當老師的這些年裡，我從來沒有讀過另外一本書，像波利亞這本書的書名所說的，教你怎麼樣解題。荀菲爾德（A. H. Schoenfeld）1987年在美國數學協會（MAA）的期刊發表的文章〈波利亞、解題與教育〉中，正確地描述出這本書的重要性：「在數學教育以及解題的世界裡，本書為兩個時期清楚地畫下了一條界線：波利亞之前的解題活動，與波利亞之後的解題活動。」

《怎樣解題》是有史以來最成功的數學書。從1945年首次出版以來，銷售已經超過百萬冊，並譯成十七種語言（編注：根據英文版出版社的資料，已經不只十七種了）。波利亞稍後還寫了兩本關於做數學研究這門藝術的書：《數學與猜想》（Mathematics and Plausible Reasoning）（1954）與《數學的發現》（Mathematical Discovery）（共兩卷，1962與1965）。

這本書的書名，讓它看起來好像只是一本為學生所寫的書，但是事實上，它寫給老師的內容，並沒有比較少。誠如波利亞自己在「前言」裡所說的，本書的第一部，大部分是站在老師的觀點來寫的。

不過，每個人都因此而獲益。如果是學生來讀這本書，將會「偷聽到」波利亞對書中那位事實上並不存在的老師所給的一些建議，彷彿身旁好像真的有這麼位好老師一樣。這就是我自己讀這本書的感覺，而且很自然地，在我幾年後開始教書時，我發現自己也不斷使用那些我認為重要的建議或意見。

然而一直到不久前，我有機會重讀此書，而且在讀完之後，我忽然了解到，這本書的價值比我以前所想像的還高！我自己是學生時，波利亞所給的許多意見，感覺並不太有幫助，然而，這些意見現在卻讓我變成一位比較好的老師，知道怎麼去幫助和我遭遇不一樣問題的人。

顯然，波利亞教過的學生比我多，而他也一直很努力地在思考，在數學的學習上，怎麼樣才能對學生最有幫助。也許，他最重要的觀點是：學習必須是「主動的」。誠如他在某一堂課裡提到的：「數學，不是一門讓人用來觀賞的活動。所謂的『了解』數學，意思是要有能力去『做』數學。什麼叫作（有能力）『做』數學呢？它的第一個意義就是：有能力去解決一個數學問題。」

我們常說，若要教好某個科目，教的人懂得的「至少得跟他的學生一樣多」。對教數學來說，有一個很弔詭的事實就是：老師還得知道學生可能會產生什麼樣的誤解！如果老師講述的內容，可以用兩種以上的方式來解讀，那麼必然會導致有些學生理解到其中一種，另外的學生各有體會，極好或極糟的情形皆有。

李特伍德（J. E. Littlewood）舉了兩個有趣的例子，說明我們可能不自覺地就對假設產生誤解。首先，他提到在藍姆（Lamb）的《力學》這本書裡，對座標軸的描述（「因為Ox與Oy是二維平面，所以Oz是垂直的」）是錯誤的，因為藍姆總是蹺著腳坐在椅子上工作！其次，藍姆要求他的讀者畫一條封閉曲線，讓它完全位於某條切線的一側，然後他說，總共只有四種主要不同的可能性（垂直切線的左方或右方，水平切線的上方或下方），而且在沒有圖形解說的情形下，他假定這條封閉曲線位於它的垂直切線的右方，而不知不覺地忽略了另外三種可能性。

因應這類假定的方法，我想不出有什麼建議比波利亞的更好：在試著解題之前，學生應該要能清楚、明確地展示出自己對問題的理解；最好是有位真實的老師在眼前，否則，也要自己想像有位老師在身旁。有經驗的數學家多半知道，數學研究最難的部分，往往就是不容易很明確地了解問題究竟在說些什麼。碰到這種狀況，他們通常也都遵循波利亞的建議：「如果你不能解決眼前的問題，試著從簡單一點的問題著手：把這個問題找出來。」

各位除了可以從這本書的內容學到東西之外，應該也會從作者波利亞的生平事蹟，得到很多啟示。

喬治‧波利亞（George Polya）於1887年12月13日生於匈牙利的布達佩斯。他出生時所取的名字是György Pólya，稍後才略去這些抑音符號。父親是Jakab Pólya，母親是Anna Deutsch。由於Jakab、Anna和他們的三個小孩（Jenő、Ilona和Flóra）於前一年放棄猶太教而改信天主教，所以喬治一出生就受洗為天主教徒。他們家的第五個小孩（László）則在四年後出生。

父親Jakab在喬治出生的五年前，把姓氏從Pollák改成聽起來比較像匈牙利文的Pólya，因為他認為，這樣有助於他在大學裡找到工作。他也的確謀得大學裡的教職，但他不幸於1897年突然逝世，所以只在大學裡服務了一段很短的時間。
小波利亞在中學時期，除了匈牙利文之外，還選讀了希臘文、拉丁文與德文。有點意外的是，他當時對數學並不特別感興趣，與他在文學、地理與其他科目的「傑出」表現相比，他在幾何學方面的表現只能算是「及格」而已。在文學之外，生物學則是他最喜歡的科目。

他於1905年就讀於布達佩斯大學（University of Budapest）法律系，不過，因為覺得很無聊，所以他很快就轉系了。之後，他取得了教師證書，可以在高中教授拉丁文與匈牙利文；雖然他從來沒有使用過這張教師證書，但這卻是他一直引以為傲的一件事。他之所以最後會學習數學，是因為他的指導教授亞歷桑德（Bernát Alexander）建議他，他應該選讀一些數學與物理的課程，以幫助他在哲學上的學習。後來他曾自嘲說：「我的物理不行，哲學又太好──數學剛好在它們中間。」

波利亞在布達佩斯大學的物理老師是厄特沃什（Eötvös），數學老師是費耶（Fejér）。1910至1911學年度，他前往維也納大學，受沃廷格（Wirtinger）和梅藤斯（Mertens）兩位老師指導，隨後回到布達佩斯，取得博士學位。隨後的兩年，他大都留在哥廷根；在那裡，他結識了許多數學家，例如：克萊因（Klein）、卡拉泰奧多里（Caratheodory）、希爾伯特（Hilbert）、龍格（Runge）、蘭道（Landau）、魏爾（Weyl）、庫朗（Courant）和托普利茨（Toeplitz）。

接下來的1914年，他到巴黎訪問研究，並與皮卡（Picard）與阿達瑪（Hadamard）逐漸熟識，並得悉胡維茲（Adolf Hurwitz）幫他在蘇黎士安排了一個工作機會。他接受了這個工作機會，並在稍後寫到：「我之所以會到蘇黎士，是為了能與胡維茲就近一起工作。從我於1914年抵達蘇黎士，一直到他辭世〔1919年〕之前，有六年的時間，我們有緊密的合作關係。我對他印象非常深刻，並編輯他的許多作品。」

當然，就在此時發生了第一次世界大戰。起初，這對波利亞沒有很大的影響，因為早期的足球運動傷害，他已經申請免除從軍，但是後來戰情吃緊，需要更多的新兵加入戰場，匈牙利政府曾要求他回國從軍，為國而戰。由於他強烈的和平主義觀點，因此拒絕了政府的要求，結果導致他有一段很長的時間被禁止回國；事實上，他一直到1976年才再次回到匈牙利，距離他離開祖國，已經54年了。

在這段期間，他入了瑞士國籍，並在1918年和瑞士女孩韋伯（Stella Vera Weber）小姐結婚。在1918和1919這兩年裡，他發表了許多篇的數學論文，涵蓋了許多不同的領域，例如：級數、數論、組合數學、投票表決系統、天文學，以及機率學等。他於1920年，升等為蘇黎士的瑞士聯邦理工學院（ETH）副教授。稍後幾年，他與澤果（Gábor Szegó）共同出版了《分析中的問題與定理》（Problems and Theorems in Analysis），在亞歷山德森（G. L. Alexanderson）和藍格（L. H. Lange）悼念波利亞而寫的傳記中，把此書描述為「確立他們大師級地位的數學傑作」。

這本書於1925年問世。之後，波利亞得到洛克斐勒獎學金（Rockefeller Fellowship）並轉往英國工作，在那裡，他與哈地（G. H. Hardy）和李特伍德（J. E. Littlewood）共同合作，成果就是稍後出版的《不等式》（Inequalities，劍橋大學出版社1936年出版）。他利用第二次的洛克斐勒獎學金，於1933年前往普林斯頓大學訪問，當他還在美國的時候，應布利區費爾德（H. F. Blichfeldt）之邀，也到史丹福大學訪問；他非常喜愛史丹福，而史丹福最後也成了他的家。從1943年起，他獲聘為史丹福大學的教授，一直到1953年退休為止，但他繼續授課到1978年，開的最後一門課是組合數學。他於1985年9月7日逝世，享年97歲。

有些讀者可能會希望知道波利亞在數學上的貢獻。他大部分的貢獻都與分析學有關，但都是非常專門的數學研究，不在數學領域裡的社會大眾，可能難以理解，不過，有些貢獻還是值得在此一提。

在機率理論裡，現在已經是公定用語的「中央極限定理」（Central Limit Theorem），就是波利亞的貢獻。此外，他也證明出機率測度的傅立葉變換是一個特徵函數，以及證明了在整數晶格中隨機漫步（random walk）的機率接近1，若且唯若其維度的最大值為2。

在幾何學上，波利亞獨立地再次列舉出17個平面結晶體群（crystallographic groups）；首次完成這項工作的人是費多羅夫（E. S. Fedorov），但他的研究工作已經失傳。波利亞還與尼格利（P. Niggli）合作，發展出這些結晶體群的記法。

在組合數學裡，波利亞的計數定理（Enumeration Theorem）現在已經成為根據對稱性來計數構形的標準方法。里德（R. C. Read）曾把這個方法描述成「一篇非凡論文中的一個非凡定理，也是組合分析（combinatorial analysis）歷史上的重要里程碑」。

《怎樣解題》是波利亞還在蘇黎士的最後一年（1940年），以德文寫成的。稍後，由於歐洲的情況，他被迫遷往美國。雖然事後證明這本書非常成功，但是在普林斯頓大學出版社於1945年出版它的英文版之前，曾遭到四家出版社的拒絕。透過普林斯頓大學出版社，《怎樣解題》迅速且持續地成為有史以來最成功的數學書籍。
 

（本文作者為康威（John H. Conway），
英國數學家，美國普林斯頓大學馮諾伊曼數學講座教授，生命遊戲（game of life）發明人）

英文版初版序

大發現解決大問題，然而，並不是只有大發現才有存在的價值；每一個問題的解答，都需要有某個「發現」才行。你所面臨的也許只是個小問題，但是如果它能引起你的好奇心，引發你的創造力，而且，如果你是用自己的方法來解決這個問題的，那麼，你一樣會經歷到發現過程中的緊張情緒，以及享受到最後那份「勝利」的喜悅與興奮。這一類的經驗，也許會讓年輕人培養出智性上的品味，甚至烙印在心裡，成為陪伴終生的一種性格。

因此，數學老師也就掌握了大好良機。如果他（她）在教學過程中總是讓學生不斷做些機械性的計算，那無異於扼殺了學生的興趣，阻礙了學生的智能發展，同時浪費了大好良機。但是，如果他（她）能夠掌握良機，刺激學生的好奇心，能夠因材「出題」，刺激學生思考，協助他們解決問題，如此一來，也許就能夠讓學生培養出獨立思考的愛好，也學會獨立思考的方法。

如果大專院校的學生選修的學科還包括數學的話，可以說他們掌握了一個獨特的機會。然而，學生如果將數學單純視為修滿畢業學分所需的一門學科，只要通過期末測驗就可以立刻把所學拋到腦後、忘得乾乾淨淨的話，那當然可說是坐失良機了。就算學生在數理上頗具天分，機會還是可能從指尖溜走，因為這些天賦異稟的學生也跟其他人一樣，必須花點功夫探索自己的天分，培養自己的興趣。想想看，如果沒嚐過覆盆子派，哪裡會知道自己喜不喜歡呢？

然而，學生最後可能還是會發現，數學問題也許就像填字遊戲一樣好玩，他們還可能發現解數學題時的心智活動，也可以像一場勢均力敵的網球賽一樣讓人嚮往。學生一旦嚐過了數學的愉悅之處，就很難再忘記，而這樣一來，數學就有機會在他們的生命中占有一席之地，成為他們的嗜好、未來從事專業工作時必需的工具、成為他們的專業，或幻化成他們的抱負。

筆者還記得自己的學生時代稱得上是一個有理想、有抱負的有為青年，對於數學與物理相關知識，有強烈的求知慾。他上課聽講、也多方閱讀，試圖廣納老師所教以及書本上的知識，但是有個問題卻一再困擾著他。「嗯，沒錯，這樣解題似乎行得通，看起來是正確的答案，看起來也像是事實；但是這樣的解或事實是怎麼發現的？我要怎麼樣才能夠創造這些？就算不能創造，至少能夠自己發現這些解法？」

多年後的今天，筆者於大學任教，專門教授數學；他也希望自己的眾多學生中，能有一些積極進取的學生提出雷同的問題，而他則盡量滿足他們的好奇心。他不僅試圖了解各種各樣問題的解答，還希望能了解這些解答背後的動機和過程；他還試著解釋這些動機和過程讓他人了解，而這也是促成他完成這本書的原因。他希望本書能夠為每一位想要培養學生自行解決問題能力的老師，提供一些實用的知識，也為那些想要發展自我解題能力的學生，提供實際的幫助。

儘管筆者主要是以數學系師生的需求為本書的關注點，但實際上對於每一個關心發明及發現方法的人，這本書應該都能挑起大家閱讀的興趣。而這樣的人數量之多，可能完全出乎我們的意料，我們實在不應該未經思索就草率假設。填字遊戲和各種猜謎遊戲常見於報紙或雜誌上，這情形似乎顯示了人們也挺喜愛解答一些與日常生活不直接相關、不能帶來任何物質利益的問題。如果深究這種解題的欲望，我們也許能夠推測：人們內心深處應該是有更深切的好奇心，也急於了解問題解答的方法、動機及解題過程。

後面各章節可說刻意寫得十分精確，但是盡量用淺顯易懂的方式來寫，儘管寫得簡單，仍然根據了長期而嚴謹的解題方法研究為基礎。有些作者把這樣的研究稱為「啟發法」（heuristic），這種研究現今已經不再流行，但是由來已久，也許未來還會再領風騷呢。

在研究解題方法的過程中，我們察覺到數學的另一面。是的，數學有兩面，它不僅是嚴謹的歐幾里得學，還具有其他面向。以歐幾里得的方式所呈現的數學，看起來像是一門有系統的演繹科學；然而，發展中的數學，又像是一門實驗的歸納科學。這兩個觀點，其實都跟數學本身的歷史一樣久遠，不過，從某個角度來說，第二個觀點顯得比較新鮮一些，因為這種「創造數學的過程」，從來沒有這樣子呈現給學生、老師或社會大眾。

「啟發法」所涵蓋的範圍，可說是五花八門；數學家、邏輯學家、心理學家、教育學家，甚至哲學家，都能在其中找到屬於他們的專精領域。筆者相當了解可能來自相反立場的批評，也很願意承認自己所知有限，在此只想說明一件事：他自己有一些解題的經驗，也有許多不同程度的數學授課經驗。

筆者也正致力於另外一本書，希望能對啟發法這門學問，作更進一步的探討。

寫於史丹福大學，1944年8月1日

第二版序

除了一些小修正之外，這一版主要新增了第四部「問題、提示與解答」。

就在本版即將付梓之際，一份由美國教育測驗服務社（ETS）所做的研究適切地指出一些現象（參考1956年6月18日的《時代》雜誌）：「……數學很『光榮地』成為學校課程中，最不受歡迎的一個科目……未來的老師在小學裡，學會怎麼討厭數學……長大之後，他們回到學校去，教導下一代該怎麼討厭數學。」對圈內人來說，這也許不是什麼新鮮事，但的確是該讓社會大眾知道的時候了。

我希望本書的這一版，能夠更為普及，也可以讓某些讀者了解到，學習數學，除了是為將來從事工程工作或學習科學知識預作準備之外，也可以是有趣的，還可以開啟高階心智活動的大門。
 

寫於蘇黎士，1956年6月30日