複變函數導論與物理學

序文
希臘字母讀音表
1 複 變
(I) 複數的誕生與其重要性
(A) 複數的誕生簡史
(B) 複數在物理學的重要性
(II) 複數的基本運算
(A) 複數的代數運算
(1) 複數的定義與其特性，幺元和倒複數，以及複數共軛數和模數
(i) 定義
(ii) 特性
(iii) 複數幺元是什麼數
(iv) 倒複數(逆複數)是什麼數？
(v) 複數共軛數？
(vi) 複數的絕對值 或複數的模數？
(2) 複數的代數運算加、減、乘和除
(i) 演算法
(ii) 加法與乘法性質
(B) 複數的幾何學表象與其演算
(1) 複數的幾何表象
(i) 複數的極座標表象與其專用名詞
(ii) 複數n 次方根與Riemann 面
(iii) 導入無限遠點，複數球？
(2) 複變數的標量積與向量積？
習題和解
摘要
參考文獻和註解
2 初級複變函數，複變函數微分
(I) 複變函數，初級複變函數
(A) 複變數與複變函數
(B) 變換與其功能和幾何表象
(1) 一次複變變換函數
(i) 平動變換？
(ii) 轉動變換？
(iii) 伸縮轉動變換？
(iv) 反演變換？
(2) 一般與特殊一次複變變換函數
(i) 一般一次複變變換函數
(ii) 特殊一次複變變換函數
(a) 映射z平面的實軸到ω 平面的實軸的變換函數f(z)
(b) 映射z平面實軸到ω 平面原點為圓心的單位圓變換函數f(z)
(c) 全單映射z平面單位圓周到ω 平面單位圓周的變換函數f(z)
(C) 初級複變函數
(1) 多項式函數
(2) 有理代數函數
(3) 指數函數
(i) 定義複變數指數函數
(ii) 複變數指數函數ez之性質
(4) 對數函數
(i) 實變數x的實對數函數ln x
(ii) 複變數z與複變對數函數ln z
(5) 冪函數
(i) 定義複變冪函數
(ii) 探討複變冪函數(2-68) 式的內涵
(a) β = 非零正整數m時
(b) β = 分數，n = 1, 2, 3, ⋯，時
(c) β = 分數m/n，m和n都是非零正整數時
(d) β = 負數(–b)，b = 正實數時
(e) β = 0 時
(6) 三角函數
(i) 定義複變三角函數
(ii) 複變三角函數的性質
(7) 雙曲線函數
(i) 定義複變雙曲線函數
(ii) 複變雙曲線函數的性質
(8) 反三角函數
(i) 實變數與實反三角函數
(ii) 定義複變數反三角函數
(9) 反雙曲線函數
(i) 實變數與實反雙曲線函數
(ii) 定義複變反雙曲線函數與其性質
(10) 代數函數與超越函數
(II) 複變函數微分
(A) 函數的連續性？
(1) 極限是什麼？
(i) 極限的定義
(ii) 複變函數的極限值性質
(2) 連續是什麼？
(i) 連續的定義
(ii) 均勻連續是什麼？
(iii) 非連續與可去非連續？
(iv) 複變函數的連續性質
(B) 導函數？
(1) 可微分？微分？導數和導函數與其幾何圖像？
(2) 微分？微分規則？
(i) 微分？
(ii) 微分規則？
(3) Cauchy-Riemann 關係式(又叫方程式) ？
(i) 取Δy = 0，Δx → 0 之路徑
(ii) 取Δx = 0，Δy → 0 之路徑
(iii) 極座標之Cauchy-Riemann 關係式？
(iv) 高階導函數？
(4) 解析函數？
(i) 複變解析函數或解析函數的定義
(ii) 解析函數的性質
(iii) 以解析(正則)函數的映射
(iv) 奇異點或奇點？
(a) 奇異點的定義：單值函數時
(b) 孤立奇異點？
(c) 聚奇異點？
(d) 可去奇異點(或可去奇點removable singular point) ？
(e) 極(或極點)？
(f) 本質奇異點(essential singular point)？
(5) L’Hospitals 規則？
(6) 複變數的微分算符？
(i) 為何需要複變數的微分算符？
(ii) 定義複變數的微分算符
(a) 定義複變數的梯(陡)度算符
(b) 定義複變數的散度算符
(c) 定義複變數的旋度算符 ×
(d) Laplacian 算符 ？
習題和解
摘要
參考文獻和註解
3 複變函數積分、留數與實函數定積分
(I) 微分與積分關係
(A) 複習
(B) 複數微分與積分關係
(II) 複變函數積分
(A) 複數線積分？複數定與不定積分？
(1) 說明線積分
(2) 複數線積分的定義
(3) 定義複數線積分的封閉積分路方向
(4) 用實數積分表示的複數積分？
(5) 什麼叫單連通和複連通區域？
(6) 複變函數積分之基本性質
(B) Cauchy 定理？
(1) Green 定理？
(2) Green 定理之複變數形式？
(3) Cauchy 定理？
(4) Cauchy 定理的歸結性質
(C) Cauchy 積分公式與相關定理
(1) Cauchy 積分公式
(2) Cauchy 積分公式之性質
(3) Cauchy 積分公式之相關定理
(i) Cauchy 不等式？
(ii) Gauss 平均值定理？
(iii) 最大模定理？
(iv) 最小模定理？
(iv) 輻角定理？
(III) 留數與實函數定積分
(A) 冪級數展開？
(1) 展開？
(2) Taylor 和Laurent 展開？
(i) Taylor 級數？ Taylor 展開？
(ii) Laurent 級數？ Laurent 展開？
(B) 什麼叫留數？
(1) 說明
(2) 留數之定義
(3) 高階(階數≥2)極點與無限遠點的單值解析函數f(z) 之留數？
(4) 留數定理
(i) 性質1
(ii) 性質2
(iii) 性質3
(iv) 性質4(複連通區域時)
(5) 積分之Cauchy 主值？
(C) 實變數定積分之計算
(1) 實數定積分型
(2) 實數定積分型
(3) 實數定積分型
(4) 含多值函數之實數定積分
習題和解
摘要
參考文獻和註解