【電子書】翻轉你的數學腦

導引

讓我們回到從前吧。我目光呆滯地望著我的數學老師，數位黑板上有一串的公式，還有一條彎彎曲曲的線和幾條直線交在一起，就像每一個高中畢業班必修數學的學生，我得弄清楚這些公式和圖形的意思。為什麼？我的狀況是，我想念天文專業，那時候我並不知道自己太缺乏耐性，沒法子做好這件事。但是，如果我那時候就知道了，而且還知道最終我從事的工作幾乎完全用不上任何計算，又會如何呢？我在谷哥(Google)上鍵入下面的問題：數學有什麼用處？

谷哥給出的搜尋結果中第一個是一篇荷蘭日報上關於畢氏定理的文章，還有關於如何切割披薩的文章。有夠具體了，但這只顯示了數學的一個小小用途。沒有數學，我根本沒辦法用谷哥來找尋我那個問題的答案，也可能找到的答案根本和我的問題無關。像谷哥這樣的搜尋引擎，只有仰賴數學，才能發生作用。我的意思並不是指電腦靠0與1來運行，谷哥用了巧妙的數學來尋找與我的問題相關的答案。在1998年谷哥創始人謝爾蓋‧布林(Sergey Brin)和賴利‧佩吉(Larry Page)設計了這個方法之前，任何人在搜尋欄鍵入例如比爾‧柯林頓(Bill Clinton)時，得到的第一個結果會是一張他的相片和一則當日笑話。就算你在雅虎(Yahoo)上搜尋“Yahoo”，這個搜尋引擎本身不會出現在前面十個結果當中。好在這樣的事情不會再發生，我們得好好感謝數學。

然而今日很多人仍然有著和我高中時一樣的感覺；對他們而言，數學就是滿黑板難以理解的公式，離開學校後再也用不上。難怪很多人覺得數學根本不知所云，又毫無用處。事實卻非如此，數學在現代社會扮演很重要的角色，任何人的眼光如果能夠超越公式，數學要比我們認為的容易理解。谷哥選擇搜尋結果的方式正顯示出數學在我們日常生活中的影響力有多大，不管是正面還是負面的。像谷哥、臉書(Facebook)、推特(Twitter)一類的數位平台是可以強化現有的意見和觀點的。今日我們經常無可避免地要面對假新聞。所以會如此，一部分是由於這些平台運作的方式。如果我們了解這些網路平台如何強化我們的觀點，以及為什麼很難改變這些平台的運作模式，我們就能更好的打擊假新聞。

本書中，我想讓大家看看數學多麼有用。某種意義下，現在的我對數學已有更好的了解，我想針對的是年輕時的我，還有那些和我年輕時一樣，認為數學的計算困難，與生活無關，以及為了無須再碰數學而暗樂的人們。由於我已從事數學哲學的專業工作，常常思考數學如何發生作用以及我們如何學習相關知識，深知不管我們工作中是否用得上，它和我們的關聯深遠。數學不僅僅是公式而已，因此本書中甚少這類題材。如果你想解決某個特定的問題，公式是很有用的，但通常會分散我們對其背後數學想法的關注。

本書中，為了表明數學要比許多人認為的更加相關，而且更加易於理解，我探索了不同領域的數學及其背後的想法。這些數學領域的應用出奇的多，每個人都能明白，尤其當我們不需要考慮數學公式時。以圖論為例：如谷哥之類的搜索引擎，利用圖論來為搜尋的結果排序，它也可用來預測癌症病人對某種治療方式的反應，還可用來研究大城市中的交通流量。

我在本書中探討的其他現代數學領域：統計學和微積分，也是如此。這些課題背後的想法往往出乎意料的簡單，而且比你在學校學習時對它的認知，更加有用得多。幾乎每天在新聞中，我們都可見到統計以犯罪、經濟，政治方面的數據呈現。通常，我們並不很清楚這些數據的實際意義，它們又來自何處。一個世紀前人們已經有充分的理由，對統計數據誤導的危險發出警告。這些警告在今日尤為重要。

和圖論一樣，微積分用處極大，在我們不曾注意時，它已發展出各式各樣的應用。自從工業革命以來，它被用來改善蒸汽機的效率，讓汽車得以自動駕駛，建造高樓大廈等等。如果說有哪個數學領域改變了歷史，那就是微積分。

不過，在我詳細討論數學在現代社會的應用之前，我們先得回到太初之時。這不是說要找尋什麼歷史上複雜的結果，還是古老的數學家，而是探索人類歷史本身。我們每個人生下來就具備一定的數學技巧，就算沒有數學課程，我們也能存活下去。然而，歷史告訴我們，這些與生具備的技巧，在人類聚集而形成的群體變大時，就不夠用了。社會愈變愈大，終會變得不靠數學就無法運作的程度，於是我們得將注意力轉向算術和幾何。有一些文明仍然能夠不靠任何形式的數學而生存，但這些社會必須很小，例如他們沒有村落或城市。數學的抽象化對於很多事情都是必要的，例如社區組織、安全性、建造房舍及其他建築物、調節食物的供應等等。數學使得實際問題簡單化，讓我們更容易管理周遭的世界。

關於數學有什麼用處的問題不是只與數學相關的問題，而是哲學上的問題。這也是為什麼我在本書開始與結束的章節繞了個彎，談一下哲學。一直以來，數學哲學家並不在意什麼公式之類的，他們問的是數學是什麼，如何運作。這類問題有些還沒有答案，但是數學哲學的進展，已經足夠讓我們知道正確的答案會是什麼模樣。

然而，就像大多數的哲學問題一樣，你必須自行決定你對數學的看法，以及哪一個答案最適合你。還有你是否滿意目前對數學的使用方式。例如臉書的優點是否超越它的缺點？這個問題我留給你自己回答。與此同時，我會解釋，哪些數學會用在臉書之類的應用上，為什麼它們會造成我們現在所熟知的那些缺點，而那些缺點又為什麼無法只經由改變其背後的數學想法而解決。