導讀
天才的另一個世界
馬自恆
二十世紀初的三十年間，科學界發生了一串驚天動地的發現：愛因斯坦的相對論打破了人類幾千年來對所堅信的時間與空的認知；海森堡的測不準原理與量子力學的發展，粉碎了真實世界的基礎。正當人們將最後希望放在數學與邏輯這個由人類創建出的理性架構上，哥德爾的不完備定理一把火將一切希望燒得一乾二淨。
在這期間，科學家們已手忙腳亂。而身為人類心靈導師的哲學家們，更是因為一切確定性的失落而絞盡腦汁，希望至少能將形而上學的教條和真實世界的一絲連結維繫住。那是個屬於天才的年代，天才們昂首向造物主嗆聲。將祂深藏於平凡面貌之下的祕密一一掘出。
今年是哥德爾百歲冥誕紀念。《時代周刊》在上世紀結束時選出二十世紀最具影響力的科學家與思想家，其中包括書中主角愛因斯坦、哥德爾、涂林與維根斯坦。在本書中，可以看出這些巨人如何碰撞出智慧的火花照亮那個時代（同時也解釋了羅素與馮諾曼等人的光芒為何相對失色）。
哲學家眼中的哲學家
這本書以哥德爾的生平為主軸，詳細地描述了這位巨人的生活經歷與思想。同時也導入了數學、物理與哲學的時代思潮，並分析了不完備定理所造成的影響。但本書與許多有關哥德爾的書籍最大的不同，在於作者以哥爾德提出的宇宙模型為中心，深入探討哥德爾在哲學的嘗試與貢獻。作者尤格拉本身是一位哲學家（或者依他自己的說法，稱他為哲學教授較準確），毫無疑問地也是一位哥德爾的仰慕者。他以為歷史翻案的態度，在書中向「學院派」主流哲學社群提出不平之鳴，主張哥德爾在哲學上的成就被惡意忽視了。正是這充滿使命感的熱情，使本書不僅只是一本傳記，同時也是兩位哲學家情誼超越時空的見證。
許多人（包括我）或許認為作者某些見解不夠客觀，甚至有人會覺得書中對學術界最終的審判過於情緒化。但無可否認地，透過尖銳的質疑，作者讓讀者能夠更深刻地體會哲學價值與標準，以及哲學家對這些價值的熱切與執著。比起類似主題的作品，這本書相當艱深。作者探討了許多相當深入的哲學概念與辯證過程。主要目的在於鋪陳最終章節的論證基礎；讀者或者可以體會他的苦心。 哥德爾的故事往往難免帶些悲劇色彩結束：老友凋凌、缺乏學術成就（哥德爾的問題在於他不願輕易發表）、身體與精神的病態（以相當沒有尊嚴的面貌呈現）。但本書最後卻是由作者捍衛哥德爾的滔滔雄論帶上高潮，這樣的收尾相信可以使讀者感到一絲寬慰。
形式數學與實證主義的時代思潮
書的前半段一方面敘述了實證主義的起源與茁壯，另一方面介紹了數學界經過發覺平行公設獨立於歐氏幾何之外的震撼，以及康托對無限提出的嶄新觀點之後，形式主義與集合論的發展，夾雜著各種企圖重建數學基礎的爭論。正當哲學家與數學家爭論不休的同時，愛因斯坦的相對論與量子力學的快速進展一方面打亂了哲學家的世界觀，另一方面卻以數學為工具發掘出令人驚嘆的物理真理，使得數學家之間雖然意見不一，但對數學的信心大增，因此對數學本質的探討也就愈發迫切。這樣的背景，激發出實證主義的思潮，另一方面，也促使希爾伯特致力推動形式系統，希望將數學以最明確的方式呈現。而弗雷格與羅素企望以集合論將數學和邏輯接軌。
形式主義也好，集合論也罷，它們是數學家試圖建立數學規範所做的努力。它們可被視為「後設數學」 ，但要將其上綱到哲學層次再加以批判就有欠公平。實證論也類似，雖然它毫無疑問地是哲學的一支，但與其說它試圖像其他哲學派別提供一個世界觀，倒不如說它為了防止哲學思想遭濫用而提出嚴謹的科學方法，扮演哲學警察的角色。它提出「可被證偽」的標準至今都還是捍衛科學淨土的利器。前一陣子有人高價販賣「能量水」，宣稱它有神奇功效，但它的「能量」卻無法以現代任何科學儀器測出。在「磁場」、「能量」充斥的台灣社會，實證論有極大的發展空間。
不完備定理的哲學思想
本書後半段大部分是探討在哥德爾的不完備定理發表之後所引發的哲學效應。不像是「相對論」與「測不準原理」時常被不相干的人放在莫名其妙的論證中，「不完備定理」確實有廣泛的哲學意涵。任何系統只要無法確定自我指涉能被排除，就可能不完備。不完備定理推演出的各式各樣解讀方式中，有爭議性低的，如涂林的停機定理，可以讓我們瞭解要保證一個龐大軟體沒有漏洞，幾乎是不可能苛求。這有某些正面的意義，至少對軟體業者而言，他們可以堂而皇之地在使用者協定中加入不為軟體造成損害負責的條款（當使用者選擇回答「我願意」後，就該有自求多福的心理準備）。
哥德爾認為法律系統不可能完備，因為立法規則本身就是法律。他也試圖以人腦與機械計算工具之異同，論證唯物論難以成立。接下來，內格爾（Ernest Nagel）與紐曼（James Newman）、哈夫斯塔德（Douglas Hofstadter）、彭羅斯（Roger Penrose）等人也在這個主題上反覆辯論。可以確定的是，短期內難有共識。霍金也引用不完備定理，論證宇宙可能不存在終極定理（特別指的是弦論）。
不完備定理的證明
書中有關哥德爾不完備定理的證明有些複雜。如果一時看不懂也不必氣餒，畢竟當中國第一位引進西方現代邏輯學的導師金岳霖先生聽到哥德爾大名時表示想買本書看看，「他的學生沈有鼎對金先生說︰『老實說，您看不懂的。』金先生聽了先是『哦哦！』兩聲，然後說：『那就算了。』」 這個七十年前的故事雖然透露一些不完備定理在當時是對智識的嚴格考驗（回頭看來，除了馮諾曼，沒人能第一眼就充分了解定理意涵，即便哥德爾本人也未能完全掌握），但另一方面，經過了學者長期努力將證明簡化，這問題並不那麼高不可攀。我們就先提出個比手劃腳式的證明，試著給讀者墊墊肚子。
考慮兩個問題，第一個是有名的「騙子悖論」，也就是當一個人說「我現在正在說謊」時，這句話是真是假？第二個問題是，假設你弄到一張好玩的光碟，裡頭有個程式，你在電腦中執行它，它會要求你隨便輸入一個句子，然後說出一段有趣的故事。玩著玩著，某一次你輸入了一句話，電腦卻沒反應。到底是該一直等下去，還是可以判定程式永不會終止？這個問題也就是現代電腦創造者涂林所解答的著名的「停機問題」。 第一章 沉默的共謀
「哥德爾是同儕中唯一可以和愛因斯坦平起平坐之人。」——物理學家戴森（Freeman Dyson）
在一九四二年的夏天，當德國潛艇（U-boats）如狼群般在緬因州的海岸潛行時，一個孤獨的身影出現在名為藍丘（Blue Hill）的海邊小鎮。他的手如學究般背在身面，身體像個逗點似地佝僂著，雙眼凝視著地面，在子夜沿著海岸無止境地漫遊著，小鎮的居民因此感到緊張。與這人打過照面的，都被他深鎖的眉頭以及濃重的德國口音所驚嚇，「他是負責打暗號給潛艦的德國間諜」這樣的推測於是開始流傳。這個深膚色的陌生人不是間諜，他是哥德爾，史上最偉大的邏輯學家，也是過去千年來知識領域的明燈。然而，他的獵物並不是航向英國的美國船艦，而是所謂的「連續統假設」（continuum hypothesis），也就是數學家康托（Cantor）對數線上的點的數目所做的猜測。哥德爾與妻子愛黛（Adele）在藍丘旅店度過那個暑假，但幾乎沒有旅客看見過他們兩人。他們為自己準備晚餐，卻從沒有人看見他們到底吃了沒有。對當地居民來說，哥德爾深鎖的眉頭不經意地流露出其深沈的性情，但旅店老闆娘卻有不同看法，她認為他只是失了神。而哥德爾對於藍丘最後的隻字片語也無法解開這個疑問——他寫了封信指控旅店老闆娘偷了他大皮箱的鑰匙。
到了秋天，哥德爾回到距離藍丘相當遙遠、位於新澤西州普林斯頓鎮的高等研究院（Institute for Advanced Study）。在那裡，他不會再因為踽踽獨行而引起側目。他有個散步的同伴，此人是他的同事也是最好的朋友。哥德爾的名聲不會給令他同伴覺得有壓力，因為這個喜歡數學，也同樣是個說德文的難民的好友，就是鼎鼎大名的愛因斯坦，而愛因斯坦本人的沉思踱步，也早就讓普林斯頓的居民感到不耐煩。
愛因斯坦的傳記中寫道：「對於（愛因斯坦）從普林斯頓數學系館法恩大樓（Fine Hall）走路回家時，會在拿索街（Nassau Street）上邊走邊舔冰淇淋的習慣，招致了（普林斯頓的居民）從遠處傳來的竊笑，同時他那行經普林斯頓大街小巷、極度非美國式的長距離步行，也讓人感到驚訝。」的確，當愛因斯坦的事業走到盡頭，幾等於退休的時候，他曾說過工作對他來說已經不再重要，去辦公室的目的「不過是為了能和哥德爾一起走路回家」。諷刺的是，曾經在第一次世界大戰期間為德國潛艇提供間接協助的，並不是眉頭深鎖的哥德爾，而是他那經常掛著微笑的同伴。雖然愛因斯坦是個勇敢、堅定的和平主義者，但他曾幫忙改造德國海軍所用的迴轉儀。哥德爾的研究也跟迴轉儀有關，但他的迴轉儀在宇宙的中心旋轉，而不是在陰暗潮濕的潛艇裡面。
曾經在三○年代肆虐歐洲的納粹主義狂潮，將哥德爾與愛因斯坦沖到太平洋彼岸的美國，他們擱淺在相同的祕密的學術庇護所——普林斯頓高等研究院——一個入會條件嚴格的知識份子俱樂部，其會員唯一的任務就是「思考」。然而，他倆早就屬於另一個更高級的俱樂部：哥德爾、愛因斯坦，加上同樣說德文的理論物理學家海森堡（Werner Heisenberg）他們三人分別是二十世紀最重要最基礎的三項科學成果的作者，他們的發現同時也奠立了影響深遠且令人困擾的「限制」。愛因斯坦的相對論（theory of relativity）限制了光速，也就是對任何傳遞訊息的訊號設限。而藉由量度時間的時鐘來定義時間，他也對時間本身設定了限制；時間再也不是絕對的，並從此受限於或相對於一個度量架構。海森堡在量子力學的測不準原理（uncertainty principle），限制了我們同時對基本粒子的位置與動量所能知道的精準度；這不僅是對我們能知道的事物設限，對海森堡來說，它代表了對「實在界」（reality）的限制。最後，哥德爾的不完備定理（incompleteness theorem）——正如在哈佛大學的慶祝典禮上被譽為「二十世紀最重要的數學真理」——對吾等尋求系統化方式獲取數學基礎真理的知識，設下無法跨越的限制：沒有一組有限或以遞迴方式列出的正規公設，可以完全得到所有的數學真理。因此，沒有任何機械裝置或電腦，可以窮盡所有的數學真理。哥德爾緊接著表示，如果人類可以某種方式掌握該領域的所有真理，則根據不完備定理可以得知，我們，或者說我們的心智，既不是機器，也不是電腦。（人工智慧的擁護者大概不會覺得這很有趣。） 愛因斯坦、哥德爾、海森堡這三個人對於基礎科學的成就，為我們開拓了新的知識疆界。弔詭的是，他們卻是藉由對思想與現實的設限，來體現出時代精神與當代思潮。讓人難以理解的是，他們每個人都運用關於知識（knowledge）的認識論 原則，卻獲得一個關於實在界（reality）的本體學 結論。知識與實在界——有限與無限（limitlessness）——之間的辯證，已然成為二十世紀最主要的課題。然而，與海森堡相比，哥德爾與愛因斯坦和他們身處的時代顯得相當地扞格不入。 當時的思潮大部分都根源於量子力學，而在二次世界大戰期間選錯邊的海森堡，這回在物理學的對抗賽中加入了優勝隊伍，哥德爾與愛因斯坦則孤零零地與之對立。海森堡是實證主義學派的佼佼者，在量子物理學中之體現，則為所謂的「哥本哈根詮釋」（Copenhagen interpretation），之所以用哥本哈根是為了對海森堡的恩師，丹麥科學家波耳（Niels Bohr）表達敬意。在愛因斯坦的相對論中，「藉由對『可知』的限制來推論出實在界的本質」只不過是啟發式的原則，對海森堡來說卻好比一個宗教，一個哥德爾和愛因斯坦不願意加入的宗教。然而，有些人認為哥德爾的不完備定理，其實呼應了海森堡的測不準原理，但哥德爾本人並不認同這種說法。
愛因斯坦是量子力學的先驅，他在德國時就已經認識並啟發了海森堡。在一九一一年的布拉格，也就是海森堡嶄露頭角的前幾年，愛因斯坦曾指著他書房外公園裡的精神病院，對同事法蘭克（Philipp Frank）說：「你在這裡看到的，是一群不在意量子理論的瘋子。」以愛因斯坦的觀點，量子力學加入了海森堡的發現變得更加不堪。在一次早期的接觸中，海森堡曾就愛因斯坦對量子力學的猛烈批判提出反擊：「當我提出抗議，說我（所採取的方法）只不過是應用了他在狹義相對論中作為基礎的相同哲學，愛因斯坦只輕描淡寫地說：『或許我之前確實採用相同的哲學，也寫過它，但胡扯仍然是胡扯。』」
兩人在二戰之前分道揚鑣，愛因斯坦移民到美國，海森堡則留在德國，而且從一而終。在普林斯頓，身為和平主義者、社會主義者、猶太裔且不受羈絆的愛因斯坦形單影隻，雖然他找到了哥德爾作伴，但兩人仍遭到排擠而孤立，因為他們反對海森堡的實證主義世界觀，那是當時知識界的主流，就像海森堡的祖國試圖掌控全世界。哥德爾與愛因斯坦和許多受到實證主義激發的追隨者不一樣，他們不只像工程師般的產出知識，而更是科學哲學家。諷刺的是，雖然他們的光芒已逐漸黯淡，但響亮的名聲卻仍讓其他人望而生畏。不過他們兩人之間並沒有這樣的問題。他們的同事戴森（Freeman Dyson）寫道：「哥德爾是同儕中唯一可以和愛因斯坦平起平坐之人。」
儘管如此，這兩人的品味卻截然不同。愛因斯坦是個小提琴家，卻無法引領他的朋友進入貝多芬或莫札特的世界。說到哥德爾，當然也無法拉著愛因斯坦去看他最喜歡的電影《白雪公主與七矮人》（▲Snow White and the Seven Dwarfs▲）。可惜歷史並沒有記錄哥德爾最喜歡七矮人中的哪一位，但我們確實知道他為什麼喜歡童話故事。他說：「只有童話故事能呈現出世界應該有的樣貌，並賦予其意義。」（當然，這個意義也可能是負面的。我們不知道涂林﹝Alan Turing﹞在一九三○年訪問高等研究院時，是否受了哥德爾的影響而喜歡《白雪公主》，但涂林後來以吃毒蘋果來結束生命，卻傳出說是受到《白雪公主》故事影響的耳語。而他之所以會自殺，是因為在破解了德國海軍的「謎團密碼」﹝Enigma code﹞後，英國政府給他的回報是下令他必須接受荷爾蒙注射來「治療」他的同性戀傾向。） 在逃離德國之前，愛因斯坦就已經是離棄數學的流亡者。他後來說，數學的園地裡有許多小徑，卻找不到一條通往基礎的道路。於是他轉向比較實際的物理學，認為在這裡比較可以清楚看見通往本質之途。他對於數學相當輕蔑不屑，因此他的老師敏考司基（Minkowski）給他取了「懶狗」的綽號（並很快地將懶狗的特殊相對論改寫成特有的四維空間形式）。「你知道，一旦開始計算，」愛因斯坦譏諷地說，「你會把自己搞得一塌糊塗而不自知。」對照之下，哥德爾的探索之旅和愛因斯坦並不同路。交了哥德爾這個朋友後，愛因斯坦說他終於知道，數學也有一條通往基礎本質的道路。而哥德爾早年對物理的興趣，也被愛因斯坦喚醒。在從辦公室步行回家的漫漫長路上，始終樂觀的愛因斯坦會詳述他對廣義相對論的最新洞見，試著讓悲觀沮喪的哥德爾提起精神。遺憾的是，悲觀的態度最後演變成妄想症。經濟學家摩根斯坦（Oskar Morgenstern）是哥德爾的好友，有一次他前去拜訪哥德爾時，驚訝地發現，偉大的哥德爾竟躲在火爐後方的避難室中。 愛因斯坦與哥德爾的長途步行及無止境的討論，孕育出一些充滿無限可能的美麗果實。「時間」，這個讓柏拉圖（Plato）、奧古斯丁（Saint Augustine）到康德（Kant）等代代思想家腸枯思竭的概念，終於棋逢敵手——愛因斯坦。當他祖國的德國潛艇尾隨著盟軍艦隊的時候，這個最不像德國人的德國人正準備獵取最難以捉摸的獵物。數十年前，他獨力以相對論方程式成功地捕獲了時間，讓全世界為之震驚。他的同胞也是數學家的希爾伯特（David Hilbert）就寫道：「哥廷根（Gottingen）街道上的每個小孩都比愛因斯坦還了解四維幾何，儘管如此，得到這個成果的是愛因斯坦，而非數學家。」相對論將時間轉變成第四維空間，或者說是相對時空中的第四維，馴服了這個最令人難以理解的概念。在愛因斯坦與哥德爾分享其對於四維時空宇宙的最新想法時，也將相對論的種子，灑入這位後來被形容為綜合愛因斯坦與卡夫卡的思想家之心田上。
如果愛因斯坦成功地將時間轉換為空間，那麼哥德爾的戲法則更神奇：他把時間變不見了！不完備定理已經動搖了數學世的基礎，哥德爾現在的目標瞄準愛因斯坦和相對論。他很快地宣布發現了廣義相對論之場方程式的宇宙新解，而時間在此將經歷一場驚人的變化。哥德爾在這個新解中所用到的數學、物理以及哲學，全都是新的。在符合這些新解的可能世界——所謂旋轉或哥德爾宇宙（Godel universes），時空結構因為物質分佈的狀況很特別而產生極大的扭曲與彎曲，因為這樣極度的彎曲，因此存在類似時間箭頭指向未來的路徑；雖然是指向未來的路徑，但是如果速度夠快，太空船可以經由這些路徑穿梭過去、現在與未來。哥德爾計算出時光旅行所需要的速度及燃料，除了太空人的午餐菜單外，所有細節他都考慮到了。
哥德爾，這個愛因斯坦和卡夫卡的綜合體，在人類史上首次從相對論的方程式中，證明時光旅行並非哲學家的天馬行空，而是可能實現的科學遠景。他又再一次設法從數學的核心丟出一枚炸彈到哲學家的懷裡，而這數學炸彈的輻射塵，威力遠大於不完備定理。哥德爾很快地指出，如果我們能造訪過去，那麼過去並沒有真的「過去」。然而一個無法超越的時間，根本就不是時間。愛因斯坦立刻看出來，如果哥德爾是對的，那麼時間不只是被征服——同時也被消滅了。「這神祕又似乎自相矛盾的東西，」哥德爾如是描述，「從另一方面似乎也形成了世界與我們本身存在的基礎。」時間最終成為這個世界最巨大的一種幻象。簡單地說，如果愛因斯坦的相對論是真的，那麼時間本身不過只是一個完美的概念。相對論之父愛因斯坦相當震驚，雖然他讚美哥德爾對相對論的重要貢獻，但他也完全明白，時間這難以捉摸的獵物，再次從他的網中逃脫。 但是，接下來發生的事才真正驚人：什麼事都沒發生！哥德爾的發現立即引起少數物理學家的駁斥，當反駁不成而試圖推廣及探索時，這短暫的熱潮很快就銷聲匿跡。在數年之內，哥德爾和愛因斯坦散步回家時所留下深刻的智識足跡已淡去無痕跡，被時潮與哲學偏見沖刷得一乾二淨。這個沉默的共謀（conspiracy of silence），悄悄落在愛因斯坦與哥德爾的友誼，以及因這份友誼而生的科學成果上。一段幾乎和米開朗基羅（Michelangelo）與達文西（Leonardo da Vinci）——如果是真的——之間一樣非凡的友誼，居然就這樣消失了。時至今日，不只一般人不知道這兩位二十世紀的科學巨人有過這樣的交情，即使是最完整的愛因斯坦傳記，若非完全忽略不提，頂多也只以一兩句帶過。當整個世界都在尋找愛因斯坦首次婚姻所生的女兒麗賽兒（Lieserl）的同時，由愛因斯坦與哥德爾的友誼所孕育出、極富創造性的成就卻遭到遺棄。
直到近幾年，這個被遺忘的成就——哥德爾宇宙——終於從德高望重的霍金（Stephen Hawking）那裡得到了一些認可。再訪哥德爾的旋轉宇宙，霍金深受感動並給予最高的評價。對於哥德爾毫無矛盾地呈現出相對論和時光旅行，霍金感到莫大的威脅，因此他進一步提出相當於反哥德爾的假說。如果霍金著名的「時序保護假說」（chronology protection conjecture） 被接受了，正好可以推翻哥德爾對相對論的貢獻。霍金發現，哥德爾的結論在物理學上是無法被接受的，以致於他不得不提出一個看起來像是因人設事的自然律，以便排除哥德爾宇宙在物理學中的可能性。
霍金對於破解哥德爾宇宙的企圖顯示出，要揭開掩蓋了哥德爾與愛因斯坦關係的「沉默的共謀」有多危險。這神祕的沉默不但讓世人無法知道科學史中這份令人動容且影響深遠的友誼，同時也讓世人無法了解愛因斯坦的革命之完整意義。推翻既有理論是一回事，如同愛因斯坦推翻了牛頓有數世紀歷史之久的絕對獨立時空概念。但證明「時間」不但是相對的且只是一種概念，完全是另一回事。不同於總是尋找與過去具有一致性的古典主義者愛因斯坦，哥德爾是一位反諷家，一位貨真價實的思想顛覆家。他用不完備定理動搖了數學的基礎，以致偉大的數學家希爾伯特提出新的邏輯定律，只為了駁倒哥德爾的結論。如果理解正確的話，哥德爾宇宙根本的方法與目的和不完備定理相同，是一枚由宇宙論最珍貴的定律打造、緩緩沉入物理學基礎的炸彈。
跟著哥德爾與愛因斯坦的足跡，我們可以聽見當代思潮的迴響，可以發現足以瞥見這令人又敬又畏的二十世紀祕密的線索。二十世紀就像十七世紀，將是人類歷史中的天才年代。真是太可惜了，藍丘鎮的居民只想到戰爭以及海上的敵人，而無緣看清這位海邊獨行者的全貌。
天才的另一個世界
馬自恆
二十世紀初的三十年間，科學界發生了一串驚天動地的發現：愛因斯坦的相對論打破了人類幾千年來對所堅信的時間與空的認知；海森堡的測不準原理與量子力學的發展，粉碎了真實世界的基礎。正當人們將最後希望放在數學與邏輯這個由人類創建出的理性架構上，哥德爾的不完備定理一把火將一切希望燒得一乾二淨。
在這期間，科學家們已手忙腳亂。而身為人類心靈導師的哲學家們，更是因為一切確定性的失落而絞盡腦汁，希望至少能將形而上學的教條和真實世界的一絲連結維繫住。那是個屬於天才的年代，天才們昂首向造物主嗆聲。將祂深藏於平凡面貌之下的祕密一一掘出。
今年是哥德爾百歲冥誕紀念。《時代周刊》在上世紀結束時選出二十世紀最具影響力的科學家與思想家，其中包括書中主角愛因斯坦、哥德爾、涂林與維根斯坦。在本書中，可以看出這些巨人如何碰撞出智慧的火花照亮那個時代（同時也解釋了羅素與馮諾曼等人的光芒為何相對失色）。
哲學家眼中的哲學家
這本書以哥德爾的生平為主軸，詳細地描述了這位巨人的生活經歷與思想。同時也導入了數學、物理與哲學的時代思潮，並分析了不完備定理所造成的影響。但本書與許多有關哥德爾的書籍最大的不同，在於作者以哥爾德提出的宇宙模型為中心，深入探討哥德爾在哲學的嘗試與貢獻。作者尤格拉本身是一位哲學家（或者依他自己的說法，稱他為哲學教授較準確），毫無疑問地也是一位哥德爾的仰慕者。他以為歷史翻案的態度，在書中向「學院派」主流哲學社群提出不平之鳴，主張哥德爾在哲學上的成就被惡意忽視了。正是這充滿使命感的熱情，使本書不僅只是一本傳記，同時也是兩位哲學家情誼超越時空的見證。
許多人（包括我）或許認為作者某些見解不夠客觀，甚至有人會覺得書中對學術界最終的審判過於情緒化。但無可否認地，透過尖銳的質疑，作者讓讀者能夠更深刻地體會哲學價值與標準，以及哲學家對這些價值的熱切與執著。比起類似主題的作品，這本書相當艱深。作者探討了許多相當深入的哲學概念與辯證過程。主要目的在於鋪陳最終章節的論證基礎；讀者或者可以體會他的苦心。 哥德爾的故事往往難免帶些悲劇色彩結束：老友凋凌、缺乏學術成就（哥德爾的問題在於他不願輕易發表）、身體與精神的病態（以相當沒有尊嚴的面貌呈現）。但本書最後卻是由作者捍衛哥德爾的滔滔雄論帶上高潮，這樣的收尾相信可以使讀者感到一絲寬慰。
形式數學與實證主義的時代思潮
書的前半段一方面敘述了實證主義的起源與茁壯，另一方面介紹了數學界經過發覺平行公設獨立於歐氏幾何之外的震撼，以及康托對無限提出的嶄新觀點之後，形式主義與集合論的發展，夾雜著各種企圖重建數學基礎的爭論。正當哲學家與數學家爭論不休的同時，愛因斯坦的相對論與量子力學的快速進展一方面打亂了哲學家的世界觀，另一方面卻以數學為工具發掘出令人驚嘆的物理真理，使得數學家之間雖然意見不一，但對數學的信心大增，因此對數學本質的探討也就愈發迫切。這樣的背景，激發出實證主義的思潮，另一方面，也促使希爾伯特致力推動形式系統，希望將數學以最明確的方式呈現。而弗雷格與羅素企望以集合論將數學和邏輯接軌。
形式主義也好，集合論也罷，它們是數學家試圖建立數學規範所做的努力。它們可被視為「後設數學」 ，但要將其上綱到哲學層次再加以批判就有欠公平。實證論也類似，雖然它毫無疑問地是哲學的一支，但與其說它試圖像其他哲學派別提供一個世界觀，倒不如說它為了防止哲學思想遭濫用而提出嚴謹的科學方法，扮演哲學警察的角色。它提出「可被證偽」的標準至今都還是捍衛科學淨土的利器。前一陣子有人高價販賣「能量水」，宣稱它有神奇功效，但它的「能量」卻無法以現代任何科學儀器測出。在「磁場」、「能量」充斥的台灣社會，實證論有極大的發展空間。
不完備定理的哲學思想
本書後半段大部分是探討在哥德爾的不完備定理發表之後所引發的哲學效應。不像是「相對論」與「測不準原理」時常被不相干的人放在莫名其妙的論證中，「不完備定理」確實有廣泛的哲學意涵。任何系統只要無法確定自我指涉能被排除，就可能不完備。不完備定理推演出的各式各樣解讀方式中，有爭議性低的，如涂林的停機定理，可以讓我們瞭解要保證一個龐大軟體沒有漏洞，幾乎是不可能苛求。這有某些正面的意義，至少對軟體業者而言，他們可以堂而皇之地在使用者協定中加入不為軟體造成損害負責的條款（當使用者選擇回答「我願意」後，就該有自求多福的心理準備）。
哥德爾認為法律系統不可能完備，因為立法規則本身就是法律。他也試圖以人腦與機械計算工具之異同，論證唯物論難以成立。接下來，內格爾（Ernest Nagel）與紐曼（James Newman）、哈夫斯塔德（Douglas Hofstadter）、彭羅斯（Roger Penrose）等人也在這個主題上反覆辯論。可以確定的是，短期內難有共識。霍金也引用不完備定理，論證宇宙可能不存在終極定理（特別指的是弦論）。
不完備定理的證明
書中有關哥德爾不完備定理的證明有些複雜。如果一時看不懂也不必氣餒，畢竟當中國第一位引進西方現代邏輯學的導師金岳霖先生聽到哥德爾大名時表示想買本書看看，「他的學生沈有鼎對金先生說︰『老實說，您看不懂的。』金先生聽了先是『哦哦！』兩聲，然後說：『那就算了。』」 這個七十年前的故事雖然透露一些不完備定理在當時是對智識的嚴格考驗（回頭看來，除了馮諾曼，沒人能第一眼就充分了解定理意涵，即便哥德爾本人也未能完全掌握），但另一方面，經過了學者長期努力將證明簡化，這問題並不那麼高不可攀。我們就先提出個比手劃腳式的證明，試著給讀者墊墊肚子。
考慮兩個問題，第一個是有名的「騙子悖論」，也就是當一個人說「我現在正在說謊」時，這句話是真是假？第二個問題是，假設你弄到一張好玩的光碟，裡頭有個程式，你在電腦中執行它，它會要求你隨便輸入一個句子，然後說出一段有趣的故事。玩著玩著，某一次你輸入了一句話，電腦卻沒反應。到底是該一直等下去，還是可以判定程式永不會終止？這個問題也就是現代電腦創造者涂林所解答的著名的「停機問題」。 第一章 沉默的共謀
「哥德爾是同儕中唯一可以和愛因斯坦平起平坐之人。」——物理學家戴森（Freeman Dyson）
在一九四二年的夏天，當德國潛艇（U-boats）如狼群般在緬因州的海岸潛行時，一個孤獨的身影出現在名為藍丘（Blue Hill）的海邊小鎮。他的手如學究般背在身面，身體像個逗點似地佝僂著，雙眼凝視著地面，在子夜沿著海岸無止境地漫遊著，小鎮的居民因此感到緊張。與這人打過照面的，都被他深鎖的眉頭以及濃重的德國口音所驚嚇，「他是負責打暗號給潛艦的德國間諜」這樣的推測於是開始流傳。這個深膚色的陌生人不是間諜，他是哥德爾，史上最偉大的邏輯學家，也是過去千年來知識領域的明燈。然而，他的獵物並不是航向英國的美國船艦，而是所謂的「連續統假設」（continuum hypothesis），也就是數學家康托（Cantor）對數線上的點的數目所做的猜測。哥德爾與妻子愛黛（Adele）在藍丘旅店度過那個暑假，但幾乎沒有旅客看見過他們兩人。他們為自己準備晚餐，卻從沒有人看見他們到底吃了沒有。對當地居民來說，哥德爾深鎖的眉頭不經意地流露出其深沈的性情，但旅店老闆娘卻有不同看法，她認為他只是失了神。而哥德爾對於藍丘最後的隻字片語也無法解開這個疑問——他寫了封信指控旅店老闆娘偷了他大皮箱的鑰匙。
到了秋天，哥德爾回到距離藍丘相當遙遠、位於新澤西州普林斯頓鎮的高等研究院（Institute for Advanced Study）。在那裡，他不會再因為踽踽獨行而引起側目。他有個散步的同伴，此人是他的同事也是最好的朋友。哥德爾的名聲不會給令他同伴覺得有壓力，因為這個喜歡數學，也同樣是個說德文的難民的好友，就是鼎鼎大名的愛因斯坦，而愛因斯坦本人的沉思踱步，也早就讓普林斯頓的居民感到不耐煩。
愛因斯坦的傳記中寫道：「對於（愛因斯坦）從普林斯頓數學系館法恩大樓（Fine Hall）走路回家時，會在拿索街（Nassau Street）上邊走邊舔冰淇淋的習慣，招致了（普林斯頓的居民）從遠處傳來的竊笑，同時他那行經普林斯頓大街小巷、極度非美國式的長距離步行，也讓人感到驚訝。」的確，當愛因斯坦的事業走到盡頭，幾等於退休的時候，他曾說過工作對他來說已經不再重要，去辦公室的目的「不過是為了能和哥德爾一起走路回家」。諷刺的是，曾經在第一次世界大戰期間為德國潛艇提供間接協助的，並不是眉頭深鎖的哥德爾，而是他那經常掛著微笑的同伴。雖然愛因斯坦是個勇敢、堅定的和平主義者，但他曾幫忙改造德國海軍所用的迴轉儀。哥德爾的研究也跟迴轉儀有關，但他的迴轉儀在宇宙的中心旋轉，而不是在陰暗潮濕的潛艇裡面。
曾經在三○年代肆虐歐洲的納粹主義狂潮，將哥德爾與愛因斯坦沖到太平洋彼岸的美國，他們擱淺在相同的祕密的學術庇護所——普林斯頓高等研究院——一個入會條件嚴格的知識份子俱樂部，其會員唯一的任務就是「思考」。然而，他倆早就屬於另一個更高級的俱樂部：哥德爾、愛因斯坦，加上同樣說德文的理論物理學家海森堡（Werner Heisenberg）他們三人分別是二十世紀最重要最基礎的三項科學成果的作者，他們的發現同時也奠立了影響深遠且令人困擾的「限制」。愛因斯坦的相對論（theory of relativity）限制了光速，也就是對任何傳遞訊息的訊號設限。而藉由量度時間的時鐘來定義時間，他也對時間本身設定了限制；時間再也不是絕對的，並從此受限於或相對於一個度量架構。海森堡在量子力學的測不準原理（uncertainty principle），限制了我們同時對基本粒子的位置與動量所能知道的精準度；這不僅是對我們能知道的事物設限，對海森堡來說，它代表了對「實在界」（reality）的限制。最後，哥德爾的不完備定理（incompleteness theorem）——正如在哈佛大學的慶祝典禮上被譽為「二十世紀最重要的數學真理」——對吾等尋求系統化方式獲取數學基礎真理的知識，設下無法跨越的限制：沒有一組有限或以遞迴方式列出的正規公設，可以完全得到所有的數學真理。因此，沒有任何機械裝置或電腦，可以窮盡所有的數學真理。哥德爾緊接著表示，如果人類可以某種方式掌握該領域的所有真理，則根據不完備定理可以得知，我們，或者說我們的心智，既不是機器，也不是電腦。（人工智慧的擁護者大概不會覺得這很有趣。） 愛因斯坦、哥德爾、海森堡這三個人對於基礎科學的成就，為我們開拓了新的知識疆界。弔詭的是，他們卻是藉由對思想與現實的設限，來體現出時代精神與當代思潮。讓人難以理解的是，他們每個人都運用關於知識（knowledge）的認識論 原則，卻獲得一個關於實在界（reality）的本體學 結論。知識與實在界——有限與無限（limitlessness）——之間的辯證，已然成為二十世紀最主要的課題。然而，與海森堡相比，哥德爾與愛因斯坦和他們身處的時代顯得相當地扞格不入。 當時的思潮大部分都根源於量子力學，而在二次世界大戰期間選錯邊的海森堡，這回在物理學的對抗賽中加入了優勝隊伍，哥德爾與愛因斯坦則孤零零地與之對立。海森堡是實證主義學派的佼佼者，在量子物理學中之體現，則為所謂的「哥本哈根詮釋」（Copenhagen interpretation），之所以用哥本哈根是為了對海森堡的恩師，丹麥科學家波耳（Niels Bohr）表達敬意。在愛因斯坦的相對論中，「藉由對『可知』的限制來推論出實在界的本質」只不過是啟發式的原則，對海森堡來說卻好比一個宗教，一個哥德爾和愛因斯坦不願意加入的宗教。然而，有些人認為哥德爾的不完備定理，其實呼應了海森堡的測不準原理，但哥德爾本人並不認同這種說法。
愛因斯坦是量子力學的先驅，他在德國時就已經認識並啟發了海森堡。在一九一一年的布拉格，也就是海森堡嶄露頭角的前幾年，愛因斯坦曾指著他書房外公園裡的精神病院，對同事法蘭克（Philipp Frank）說：「你在這裡看到的，是一群不在意量子理論的瘋子。」以愛因斯坦的觀點，量子力學加入了海森堡的發現變得更加不堪。在一次早期的接觸中，海森堡曾就愛因斯坦對量子力學的猛烈批判提出反擊：「當我提出抗議，說我（所採取的方法）只不過是應用了他在狹義相對論中作為基礎的相同哲學，愛因斯坦只輕描淡寫地說：『或許我之前確實採用相同的哲學，也寫過它，但胡扯仍然是胡扯。』」
兩人在二戰之前分道揚鑣，愛因斯坦移民到美國，海森堡則留在德國，而且從一而終。在普林斯頓，身為和平主義者、社會主義者、猶太裔且不受羈絆的愛因斯坦形單影隻，雖然他找到了哥德爾作伴，但兩人仍遭到排擠而孤立，因為他們反對海森堡的實證主義世界觀，那是當時知識界的主流，就像海森堡的祖國試圖掌控全世界。哥德爾與愛因斯坦和許多受到實證主義激發的追隨者不一樣，他們不只像工程師般的產出知識，而更是科學哲學家。諷刺的是，雖然他們的光芒已逐漸黯淡，但響亮的名聲卻仍讓其他人望而生畏。不過他們兩人之間並沒有這樣的問題。他們的同事戴森（Freeman Dyson）寫道：「哥德爾是同儕中唯一可以和愛因斯坦平起平坐之人。」
儘管如此，這兩人的品味卻截然不同。愛因斯坦是個小提琴家，卻無法引領他的朋友進入貝多芬或莫札特的世界。說到哥德爾，當然也無法拉著愛因斯坦去看他最喜歡的電影《白雪公主與七矮人》（▲Snow White and the Seven Dwarfs▲）。可惜歷史並沒有記錄哥德爾最喜歡七矮人中的哪一位，但我們確實知道他為什麼喜歡童話故事。他說：「只有童話故事能呈現出世界應該有的樣貌，並賦予其意義。」（當然，這個意義也可能是負面的。我們不知道涂林﹝Alan Turing﹞在一九三○年訪問高等研究院時，是否受了哥德爾的影響而喜歡《白雪公主》，但涂林後來以吃毒蘋果來結束生命，卻傳出說是受到《白雪公主》故事影響的耳語。而他之所以會自殺，是因為在破解了德國海軍的「謎團密碼」﹝Enigma code﹞後，英國政府給他的回報是下令他必須接受荷爾蒙注射來「治療」他的同性戀傾向。） 在逃離德國之前，愛因斯坦就已經是離棄數學的流亡者。他後來說，數學的園地裡有許多小徑，卻找不到一條通往基礎的道路。於是他轉向比較實際的物理學，認為在這裡比較可以清楚看見通往本質之途。他對於數學相當輕蔑不屑，因此他的老師敏考司基（Minkowski）給他取了「懶狗」的綽號（並很快地將懶狗的特殊相對論改寫成特有的四維空間形式）。「你知道，一旦開始計算，」愛因斯坦譏諷地說，「你會把自己搞得一塌糊塗而不自知。」對照之下，哥德爾的探索之旅和愛因斯坦並不同路。交了哥德爾這個朋友後，愛因斯坦說他終於知道，數學也有一條通往基礎本質的道路。而哥德爾早年對物理的興趣，也被愛因斯坦喚醒。在從辦公室步行回家的漫漫長路上，始終樂觀的愛因斯坦會詳述他對廣義相對論的最新洞見，試著讓悲觀沮喪的哥德爾提起精神。遺憾的是，悲觀的態度最後演變成妄想症。經濟學家摩根斯坦（Oskar Morgenstern）是哥德爾的好友，有一次他前去拜訪哥德爾時，驚訝地發現，偉大的哥德爾竟躲在火爐後方的避難室中。 愛因斯坦與哥德爾的長途步行及無止境的討論，孕育出一些充滿無限可能的美麗果實。「時間」，這個讓柏拉圖（Plato）、奧古斯丁（Saint Augustine）到康德（Kant）等代代思想家腸枯思竭的概念，終於棋逢敵手——愛因斯坦。當他祖國的德國潛艇尾隨著盟軍艦隊的時候，這個最不像德國人的德國人正準備獵取最難以捉摸的獵物。數十年前，他獨力以相對論方程式成功地捕獲了時間，讓全世界為之震驚。他的同胞也是數學家的希爾伯特（David Hilbert）就寫道：「哥廷根（Gottingen）街道上的每個小孩都比愛因斯坦還了解四維幾何，儘管如此，得到這個成果的是愛因斯坦，而非數學家。」相對論將時間轉變成第四維空間，或者說是相對時空中的第四維，馴服了這個最令人難以理解的概念。在愛因斯坦與哥德爾分享其對於四維時空宇宙的最新想法時，也將相對論的種子，灑入這位後來被形容為綜合愛因斯坦與卡夫卡的思想家之心田上。
如果愛因斯坦成功地將時間轉換為空間，那麼哥德爾的戲法則更神奇：他把時間變不見了！不完備定理已經動搖了數學世的基礎，哥德爾現在的目標瞄準愛因斯坦和相對論。他很快地宣布發現了廣義相對論之場方程式的宇宙新解，而時間在此將經歷一場驚人的變化。哥德爾在這個新解中所用到的數學、物理以及哲學，全都是新的。在符合這些新解的可能世界——所謂旋轉或哥德爾宇宙（Godel universes），時空結構因為物質分佈的狀況很特別而產生極大的扭曲與彎曲，因為這樣極度的彎曲，因此存在類似時間箭頭指向未來的路徑；雖然是指向未來的路徑，但是如果速度夠快，太空船可以經由這些路徑穿梭過去、現在與未來。哥德爾計算出時光旅行所需要的速度及燃料，除了太空人的午餐菜單外，所有細節他都考慮到了。
哥德爾，這個愛因斯坦和卡夫卡的綜合體，在人類史上首次從相對論的方程式中，證明時光旅行並非哲學家的天馬行空，而是可能實現的科學遠景。他又再一次設法從數學的核心丟出一枚炸彈到哲學家的懷裡，而這數學炸彈的輻射塵，威力遠大於不完備定理。哥德爾很快地指出，如果我們能造訪過去，那麼過去並沒有真的「過去」。然而一個無法超越的時間，根本就不是時間。愛因斯坦立刻看出來，如果哥德爾是對的，那麼時間不只是被征服——同時也被消滅了。「這神祕又似乎自相矛盾的東西，」哥德爾如是描述，「從另一方面似乎也形成了世界與我們本身存在的基礎。」時間最終成為這個世界最巨大的一種幻象。簡單地說，如果愛因斯坦的相對論是真的，那麼時間本身不過只是一個完美的概念。相對論之父愛因斯坦相當震驚，雖然他讚美哥德爾對相對論的重要貢獻，但他也完全明白，時間這難以捉摸的獵物，再次從他的網中逃脫。 但是，接下來發生的事才真正驚人：什麼事都沒發生！哥德爾的發現立即引起少數物理學家的駁斥，當反駁不成而試圖推廣及探索時，這短暫的熱潮很快就銷聲匿跡。在數年之內，哥德爾和愛因斯坦散步回家時所留下深刻的智識足跡已淡去無痕跡，被時潮與哲學偏見沖刷得一乾二淨。這個沉默的共謀（conspiracy of silence），悄悄落在愛因斯坦與哥德爾的友誼，以及因這份友誼而生的科學成果上。一段幾乎和米開朗基羅（Michelangelo）與達文西（Leonardo da Vinci）——如果是真的——之間一樣非凡的友誼，居然就這樣消失了。時至今日，不只一般人不知道這兩位二十世紀的科學巨人有過這樣的交情，即使是最完整的愛因斯坦傳記，若非完全忽略不提，頂多也只以一兩句帶過。當整個世界都在尋找愛因斯坦首次婚姻所生的女兒麗賽兒（Lieserl）的同時，由愛因斯坦與哥德爾的友誼所孕育出、極富創造性的成就卻遭到遺棄。
直到近幾年，這個被遺忘的成就——哥德爾宇宙——終於從德高望重的霍金（Stephen Hawking）那裡得到了一些認可。再訪哥德爾的旋轉宇宙，霍金深受感動並給予最高的評價。對於哥德爾毫無矛盾地呈現出相對論和時光旅行，霍金感到莫大的威脅，因此他進一步提出相當於反哥德爾的假說。如果霍金著名的「時序保護假說」（chronology protection conjecture） 被接受了，正好可以推翻哥德爾對相對論的貢獻。霍金發現，哥德爾的結論在物理學上是無法被接受的，以致於他不得不提出一個看起來像是因人設事的自然律，以便排除哥德爾宇宙在物理學中的可能性。
霍金對於破解哥德爾宇宙的企圖顯示出，要揭開掩蓋了哥德爾與愛因斯坦關係的「沉默的共謀」有多危險。這神祕的沉默不但讓世人無法知道科學史中這份令人動容且影響深遠的友誼，同時也讓世人無法了解愛因斯坦的革命之完整意義。推翻既有理論是一回事，如同愛因斯坦推翻了牛頓有數世紀歷史之久的絕對獨立時空概念。但證明「時間」不但是相對的且只是一種概念，完全是另一回事。不同於總是尋找與過去具有一致性的古典主義者愛因斯坦，哥德爾是一位反諷家，一位貨真價實的思想顛覆家。他用不完備定理動搖了數學的基礎，以致偉大的數學家希爾伯特提出新的邏輯定律，只為了駁倒哥德爾的結論。如果理解正確的話，哥德爾宇宙根本的方法與目的和不完備定理相同，是一枚由宇宙論最珍貴的定律打造、緩緩沉入物理學基礎的炸彈。
跟著哥德爾與愛因斯坦的足跡，我們可以聽見當代思潮的迴響，可以發現足以瞥見這令人又敬又畏的二十世紀祕密的線索。二十世紀就像十七世紀，將是人類歷史中的天才年代。真是太可惜了，藍丘鎮的居民只想到戰爭以及海上的敵人，而無緣看清這位海邊獨行者的全貌。
