Arithmetic
算術
就我們看來，數學都是從算術開始，本書也是如此。我們都知道，算術處理的是最基本的數量概念──1、2、3……等全數。若說數學帶有任何普適理念，那就是區辨多重性高下程度的觀點，也就是「計數」。
全數必然具備一項固有特點，那就是無從否認的自然性，這就是利奧波德．克羅內克（Leopold Kronecker）那句名言的核心思想：「上帝創造了整數，而其餘的都是人為的成果。」１若我們把數學想像成是一支陣容壯盛的交響樂團，那麼全數系統就可比擬為一面大鼓：簡單、直接、反覆，提供其他所有樂器的根本節奏。此外肯定還有更精妙的概念──數學的雙簧管、法國號和大提琴等，這其中有些部分，在往後章節還會分別檢視。不過，全數始終是最基礎的。
數學家稱1、2、3 ……這種無限群組為正整數，不過，自然數或許是更貼切的用詞。對它們有了初步認識，還取了個名字之後，接下來我們就改換焦點，思考如何以某些重要方式來結合正整數。最基本的是加法。這項運算不只是種基本作法，考量到數字生來都是累加而成，所以加法也是種「自然的」作法，亦即2＝1＋1、3＝2＋1、4＝3＋1等等。我們甚至可以說，若強健的純種馬是「天生跑手」，自然數則是「天生累加手」。
我們在小學階段（幾乎）總是加個不停，接著就反向操作，做逆向的減法運算。接下來，課程進入乘法和除法，還加上似乎永無止境的習題演練。就這樣經過多年教學，孩童就掌握了算術運算作法，不過也多少帶些瑕疵缺點。還有，儘管台幣兩百四十九塊錢的計算機，只需瞬息片刻就能完美無暇算出所有結果，孩子們依然勇往學習。只可惜，在許多年輕人的心目中，算術卻成為演練和沉悶的代名詞。
然而，在不算很久以前，「算術」一詞涵納的意義，還不只是加、減、乘、除基本運算而已，裡頭還包含了全數更深奧的特質。舉例來說，歐洲人從前使用的詞彙是「高等算術」，意思不折不扣就是指「高深的算術」。如今大家偏愛的用詞則是「數論」。
這個題材牽涉廣泛，不過多少都以質數理念做為支軸。凡是大於1的全數，只要無法寫成兩個較小全數的乘積，都為「質數」。因此，前十個質數就是2、3、5、7、11、13、17、19、23和29。這所有數字，除了1和本身之外，就無法再被任一正整數除盡。
好議論的讀者或許會辯稱，17也可以寫成兩數的乘積，比方說17＝2 × 8.5或17＝5 × 3.4。不過，這些例子裡面的因子，本身都不是整數。各位必須記得，在數論登場的角色，都由全數來擔綱演出；至於程度更高深、牽涉範圍也更廣泛的親屬數系（分數、無理數和虛數），都只能待在台下乾著急。
倘若某個大於1的全數並非質數，也就是說，倘若某數除了1和本身之外，還擁有其他整數因子，這時我們就說那個全數是「合成的」。舉例來說，24＝4 × 6和51＝3 × 17都是這種數。全數1並不列入這群質數或合數之林，箇中道理稍後就可以清楚得知。這樣一來，最小的質數就是2。
有種方式可以具體審視這些概念，這種作法很簡單，也經常為人引用，那就是設想以正方形地磚拼出長方形面積。若是有十二塊地磚，這時我們就有幾種選擇來排成不同的矩形，如圖一所示。當然，這是由於12＝1 × 12或12＝2 × 6或12＝3 × 4（我們認為3 × 4和4 × 3並沒有差別，因為這兩種情況，拼出的地板形狀是相同的，只是其中一種得轉個方向）。相同的道理，四十八片地磚能拼出五種平面圖，相當於以下分解方式：48＝1 × 48＝2 × 24＝3 × 16＝4 × 12＝6 × 8。
另一方面，用七片地磚，只能拼出一種平面圖：結果顯而易見，也就是不十分有趣的1 × 7，如圖二所示。若有人必須用整整七片地磚來鋪設矩形房間地面，那麼他心中盤算的房間，最好是非常狹長才行。從這點看來，倘若p數只能規畫出一種平面圖，那麼p就是質數：稀鬆平常的p＝1 × p。若是使用某數可以規畫出不同的平面圖，這個數就是合成的。
質數或許是高等算術的核心，不過，質數也是數學最大亂象的禍首。理由很簡單：既然全數不折不扣就是加法運算的產物，那麼質數和合數的問題，就把「乘法」推上舞台。儘管數論相當迷人，卻也十分艱深，因為數學家總想運用乘法理念，來檢視加法得出的產物。
從這個觀點來看，自然數就像是離水的魚。自然數是藉由加法步驟孕育生成，卻發現自己身處陌生的乘法環境。當然，先別認為這個冒險行為是毫無指望的，想想在三億五千萬年之前，魚類的確是從水中上陸，當年牠們在不完全適合本身構造的世界，費勁喘了幾口氣，接著演化成兩棲類、爬蟲類、鳥類、哺乳類，還演化出數學家。惡劣陌生的環境，有時會醞釀出全然不同的結果。
若是沒有出現算術基本定理這樣的產物，質數在數論當中，肯定會扮演比較偏離核心的地位（請注意，前面「算術」一詞，是採用比較廣義的觀點）。從這個名字來看，算術基本定理是整個數學界，最基本又最重要的命題。命題敘述十分簡潔：
算術基本定理：任意不等於1的正整數，都可以寫成質數的乘積，而且寫法僅得一種。
這裡我們有個兩面刃主張。首先，任意全數都可以寫成質數的「某種」乘積。第二，寫法僅得「一種」。於是我們就必然得出結論，認為質數是乘法的建構砌磚，所有全數都是按照這種步驟組裝成形，質數的重要性就是棲身在這裡。質數扮演的角色，和化學元素可以相提並論。我們知道，任意自然化合物都可以分解成周期表上的九十二種自然元素成分（或者包括在實驗室生成的總計一百多種元素）；相同的道裡，任意全數同樣也可以分解成質數因子。水分子可以寫成H2O，這種化合物可以分解出兩顆氫元素原子，加上一顆氧元素原子。相同道理，化合的（也就是合成的）數45，也可以分解成兩個質因數3和一個質因數5的乘積。我們可以仿效水的化學標記法，寫成45＝325，不過，數學家偏愛採用指數式寫法45＝32 ×5。
不過，除了提出分解成質數的作法之外，算術基本定理還有其他同樣重要的貢獻，那就是這項定理保證，每種分解方式都是獨一無二的。倘若有人做質數因子分解，求得92,365可以分解為5 × 7 × 7 × 13 × 29，那麼，在辦公室或國土另一個角落的人，無論是在今日或距今一千個世紀之後動手運算，求得的質數分解結果，肯定也是完全一模一樣。
這讓數學家非常安心。當然，還有一種情況也同樣令人安心，當化學家把水分子分解成一顆氧原子和兩顆氫原子，另一位化學家也拿水分子來分解，結果並不會分解出一顆鉛原子和兩顆鉬原子。質數就像元素，不只是種建構砌磚，更是獨一無二的砌磚。
這裡有必要指出，為了求得唯一因子分解結果，我們就必須把1排除在質數之外。因為，倘若把1納入質數之列，那麼舉例來說，數14的質數分解，除了14＝2 × 7之外，還會有14＝1 × 2 × 7和14＝1 × 1 × 1 × 2 × 7等等「不同的」質數分解結果。如此則質因數分解就不再是獨一無二的。數學家說，讓1扮演特殊角色，結果就好得多了。數字1不是質數，也不是合數，它叫做「單元數」。
數學家面對一個正整數時，偶爾會希望判定這是個質數或合數，若是合數，他們還會想找出所含的質數因子。這有時很容易解決。任意偶全數（2除外）都有個因數2，因此顯然都非質數；同時，最後一位等於5或0的任意全數，同樣也都是合成的。就其他情況來看，這道質數性的問題，難度就遠高於此。例如，誰願意費心斷定4,294,967,297和4,827,507,229哪個是質數，哪個不是？*
* 信不信由你，641可以把4,294,967,297除盡；另一個數4,827,507,229則是質數。見大衛．韋爾斯（David Wells）《有趣怪數企鵝大辭典》（The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, Penguin, New York, p.192）一書。
算術
就我們看來，數學都是從算術開始，本書也是如此。我們都知道，算術處理的是最基本的數量概念──1、2、3……等全數。若說數學帶有任何普適理念，那就是區辨多重性高下程度的觀點，也就是「計數」。
全數必然具備一項固有特點，那就是無從否認的自然性，這就是利奧波德．克羅內克（Leopold Kronecker）那句名言的核心思想：「上帝創造了整數，而其餘的都是人為的成果。」１若我們把數學想像成是一支陣容壯盛的交響樂團，那麼全數系統就可比擬為一面大鼓：簡單、直接、反覆，提供其他所有樂器的根本節奏。此外肯定還有更精妙的概念──數學的雙簧管、法國號和大提琴等，這其中有些部分，在往後章節還會分別檢視。不過，全數始終是最基礎的。
數學家稱1、2、3 ……這種無限群組為正整數，不過，自然數或許是更貼切的用詞。對它們有了初步認識，還取了個名字之後，接下來我們就改換焦點，思考如何以某些重要方式來結合正整數。最基本的是加法。這項運算不只是種基本作法，考量到數字生來都是累加而成，所以加法也是種「自然的」作法，亦即2＝1＋1、3＝2＋1、4＝3＋1等等。我們甚至可以說，若強健的純種馬是「天生跑手」，自然數則是「天生累加手」。
我們在小學階段（幾乎）總是加個不停，接著就反向操作，做逆向的減法運算。接下來，課程進入乘法和除法，還加上似乎永無止境的習題演練。就這樣經過多年教學，孩童就掌握了算術運算作法，不過也多少帶些瑕疵缺點。還有，儘管台幣兩百四十九塊錢的計算機，只需瞬息片刻就能完美無暇算出所有結果，孩子們依然勇往學習。只可惜，在許多年輕人的心目中，算術卻成為演練和沉悶的代名詞。
然而，在不算很久以前，「算術」一詞涵納的意義，還不只是加、減、乘、除基本運算而已，裡頭還包含了全數更深奧的特質。舉例來說，歐洲人從前使用的詞彙是「高等算術」，意思不折不扣就是指「高深的算術」。如今大家偏愛的用詞則是「數論」。
這個題材牽涉廣泛，不過多少都以質數理念做為支軸。凡是大於1的全數，只要無法寫成兩個較小全數的乘積，都為「質數」。因此，前十個質數就是2、3、5、7、11、13、17、19、23和29。這所有數字，除了1和本身之外，就無法再被任一正整數除盡。
好議論的讀者或許會辯稱，17也可以寫成兩數的乘積，比方說17＝2 × 8.5或17＝5 × 3.4。不過，這些例子裡面的因子，本身都不是整數。各位必須記得，在數論登場的角色，都由全數來擔綱演出；至於程度更高深、牽涉範圍也更廣泛的親屬數系（分數、無理數和虛數），都只能待在台下乾著急。
倘若某個大於1的全數並非質數，也就是說，倘若某數除了1和本身之外，還擁有其他整數因子，這時我們就說那個全數是「合成的」。舉例來說，24＝4 × 6和51＝3 × 17都是這種數。全數1並不列入這群質數或合數之林，箇中道理稍後就可以清楚得知。這樣一來，最小的質數就是2。
有種方式可以具體審視這些概念，這種作法很簡單，也經常為人引用，那就是設想以正方形地磚拼出長方形面積。若是有十二塊地磚，這時我們就有幾種選擇來排成不同的矩形，如圖一所示。當然，這是由於12＝1 × 12或12＝2 × 6或12＝3 × 4（我們認為3 × 4和4 × 3並沒有差別，因為這兩種情況，拼出的地板形狀是相同的，只是其中一種得轉個方向）。相同的道理，四十八片地磚能拼出五種平面圖，相當於以下分解方式：48＝1 × 48＝2 × 24＝3 × 16＝4 × 12＝6 × 8。
另一方面，用七片地磚，只能拼出一種平面圖：結果顯而易見，也就是不十分有趣的1 × 7，如圖二所示。若有人必須用整整七片地磚來鋪設矩形房間地面，那麼他心中盤算的房間，最好是非常狹長才行。從這點看來，倘若p數只能規畫出一種平面圖，那麼p就是質數：稀鬆平常的p＝1 × p。若是使用某數可以規畫出不同的平面圖，這個數就是合成的。
質數或許是高等算術的核心，不過，質數也是數學最大亂象的禍首。理由很簡單：既然全數不折不扣就是加法運算的產物，那麼質數和合數的問題，就把「乘法」推上舞台。儘管數論相當迷人，卻也十分艱深，因為數學家總想運用乘法理念，來檢視加法得出的產物。
從這個觀點來看，自然數就像是離水的魚。自然數是藉由加法步驟孕育生成，卻發現自己身處陌生的乘法環境。當然，先別認為這個冒險行為是毫無指望的，想想在三億五千萬年之前，魚類的確是從水中上陸，當年牠們在不完全適合本身構造的世界，費勁喘了幾口氣，接著演化成兩棲類、爬蟲類、鳥類、哺乳類，還演化出數學家。惡劣陌生的環境，有時會醞釀出全然不同的結果。
若是沒有出現算術基本定理這樣的產物，質數在數論當中，肯定會扮演比較偏離核心的地位（請注意，前面「算術」一詞，是採用比較廣義的觀點）。從這個名字來看，算術基本定理是整個數學界，最基本又最重要的命題。命題敘述十分簡潔：
算術基本定理：任意不等於1的正整數，都可以寫成質數的乘積，而且寫法僅得一種。
這裡我們有個兩面刃主張。首先，任意全數都可以寫成質數的「某種」乘積。第二，寫法僅得「一種」。於是我們就必然得出結論，認為質數是乘法的建構砌磚，所有全數都是按照這種步驟組裝成形，質數的重要性就是棲身在這裡。質數扮演的角色，和化學元素可以相提並論。我們知道，任意自然化合物都可以分解成周期表上的九十二種自然元素成分（或者包括在實驗室生成的總計一百多種元素）；相同的道裡，任意全數同樣也可以分解成質數因子。水分子可以寫成H2O，這種化合物可以分解出兩顆氫元素原子，加上一顆氧元素原子。相同道理，化合的（也就是合成的）數45，也可以分解成兩個質因數3和一個質因數5的乘積。我們可以仿效水的化學標記法，寫成45＝325，不過，數學家偏愛採用指數式寫法45＝32 ×5。
不過，除了提出分解成質數的作法之外，算術基本定理還有其他同樣重要的貢獻，那就是這項定理保證，每種分解方式都是獨一無二的。倘若有人做質數因子分解，求得92,365可以分解為5 × 7 × 7 × 13 × 29，那麼，在辦公室或國土另一個角落的人，無論是在今日或距今一千個世紀之後動手運算，求得的質數分解結果，肯定也是完全一模一樣。
這讓數學家非常安心。當然，還有一種情況也同樣令人安心，當化學家把水分子分解成一顆氧原子和兩顆氫原子，另一位化學家也拿水分子來分解，結果並不會分解出一顆鉛原子和兩顆鉬原子。質數就像元素，不只是種建構砌磚，更是獨一無二的砌磚。
這裡有必要指出，為了求得唯一因子分解結果，我們就必須把1排除在質數之外。因為，倘若把1納入質數之列，那麼舉例來說，數14的質數分解，除了14＝2 × 7之外，還會有14＝1 × 2 × 7和14＝1 × 1 × 1 × 2 × 7等等「不同的」質數分解結果。如此則質因數分解就不再是獨一無二的。數學家說，讓1扮演特殊角色，結果就好得多了。數字1不是質數，也不是合數，它叫做「單元數」。
數學家面對一個正整數時，偶爾會希望判定這是個質數或合數，若是合數，他們還會想找出所含的質數因子。這有時很容易解決。任意偶全數（2除外）都有個因數2，因此顯然都非質數；同時，最後一位等於5或0的任意全數，同樣也都是合成的。就其他情況來看，這道質數性的問題，難度就遠高於此。例如，誰願意費心斷定4,294,967,297和4,827,507,229哪個是質數，哪個不是？*
* 信不信由你，641可以把4,294,967,297除盡；另一個數4,827,507,229則是質數。見大衛．韋爾斯（David Wells）《有趣怪數企鵝大辭典》（The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, Penguin, New York, p.192）一書。
