1-1 史前數學
埃及第一個法老王曼尼斯（Menes）的儀式權杖頂端上，刻著現存最早的數學文獻。他大約生活於西元前3000年，他的權杖上用象形文字記載著征戰的事蹟。那銘文記錄著搶奪來的400,000頭公牛、1,422,000頭羊以及120,000個俘虜。如圖1-1上所示，圖片裡有公牛、羊還有雙手反綁的俘虜。曼尼斯是否浮誇他的戰功，是很有趣的歷史問題，但從數學來看，卻不是什麼特別重要的事。這件事的重點是，遠在很久很久以前，人們就能記錄下很大的數目。這也暗示著在西元前3000年之前的幾個世紀，也就是書寫被發明之前（史前時期），有些數學符號就已經被使用（來記數）了。
目前已知有兩個方法可以認識史前人類的想法和文化。首先，我們可以透過考古學家發現和詮釋下的古代工藝品而得知，另一方面，也可以經由觀察現代世界中的原始文化（部落），從而推論史前思想和習俗如何發展，來了解史前文明。這兩種不同的進路，對於我們研究理念與知識的發展而言，都是很有用的。
在考古學上最令人興奮的發現之一，便是1937年，由阿伯索洛姆（Karl Absolom）所帶領的團隊，在捷克中部挖掘出來的物品。阿伯索洛姆發現距今30,000年前的狼骨，在圖1-2裡可以看到其中一部分，5個刻痕一組，在狼骨上總共有55個刻痕。前25個刻痕被兩條一樣長的刻痕分開。雖然我們不知道他們怎麼將這些刻痕刻在骨頭上，但比較合理的解釋是，史前人類非常慎重地刻上這樣的記號，或許他記錄的是某些收集的數量，也許是毛皮，也可能是有多少位親戚，或可能是記錄某個事件發生之後所經歷的天數。我們可以合理地假設他是為了計算每一樣收集來的東西所作的刻痕。如果這樣的詮釋是正確的，那麼，我們可以從中確認史前人類已經對兩個很重要的數學概念有了初步的認識。一個是兩個不同集合的一對一對應（one-to-one correspondence），也就是狼骨上的刻痕和他所計算的事物之間的對應。另一個則是計數系統的基底（base）概念。刻痕上25個刻痕以5個一組的方式安排，顯示出一個以5為基底的計數系統的雛型。
人類學的研究更加鞏固了我們有關史前已有數目概念存在的信念。1889年，哈頓（A. C. Haddon）發表了一篇關於托里斯海峽（Torres Straits）西方部落的研究報告。在沒有書寫文字的情況之下，那些部落人的數數方式如下：1，urapun；2，okosa；3，okasa-urapun； 4，okosa-okosa； 5，okosa-okosa-urapun；6，okosa-okosa-okosa。6以上則稱之為ras。現今精熟數學的學生們可以輕易了解這是以2為基底的計數系統。如果托里斯海峽部落的人們能了解這樣的概念，或許他就會用使用不同的字來表示4，而且，也不會將比6大的數字以ras表示。
賽登柏格（A. Seidenberg）最近發表了一篇有關於計數起源的論文（參考本章末的第12篇參考文獻），他認為計數是為了從前的宗教儀式而創造。其中，他引述原始部落以及古巴比倫人早期宗教文獻的許多研究成果，顯示參與宗教儀式的人必須按照一定的順序，這同時也說明計數的發展與確定儀式順序這個目的息息相關。從上述兩個研究來看，2進位是他最早可追溯並查驗的計數方式，這似乎暗指托里斯海峽的原住民和幾千年前祖先所用的計數方法是一樣的。
史前時代的這兩個數學概念「配對和計數」，剛好對應到現代生活與現代教育之中，有關數目的兩種不同的進路。其中一個是19世紀後半葉由康托爾（Georg Cantor, 1845-1932）提出的集合概念，以及兩個集合之間的一對一概念。有時候，吾人也稱此為數目的基數進路（cardinal approach）。大約在康托爾開始發展現代集合論的時代，皮亞諾（Giuseppe Peano）也企圖將自然數和其相關之算術公理化。所以，他設立了五個公理，其中之一便是每個自然數都會有後繼元素。而我們把這稱作數目的序數進路（ordinal approach）。對比於前述的基數進路所提到的配對概念，序數進路強調的是計數的概念。這兩個進路其實相互等價，但我們在此只是想強調，這些底蘊基本概念的「古代性」（antiquity）已經被數學家加以推陳出新，而成為現代數學系統重要的一部分。
其他有關於數學概念的史前證據並不難找到，吾人可以看到洞窟壁畫裡一些比例和對稱概念，就像技巧熟練的藝術家一樣，畫出非常寫實的動物和獵人。從畫中顯現出打獵的人和四隻腳的動物，則與數目及一對一概念有關。陶器上亦可發現精巧的幾何設計。在歐洲，經由考察史前畫作也發現他們對於馬車和馬的不同觀點。古巴比倫時代，可能是用以建築寺廟的概略圖，也已經在巴基斯坦的古城Mohenjo-Daro被挖掘出土，其中出現一把十進位的直尺。雖然考古學上的發現很有趣，但若我們從數學的觀點來探討，對於歷史時期（historic period）的研究則更顯價值。接下來，我們把注意力轉移到古埃及與古巴比倫的早期書寫系統上。
1-2 最早的數學文獻
雖然歷史遺跡、銘文、曼尼斯的權杖上都記載著最早的書寫數目，不過大部分我們所知關於埃及人的數學活動，主要還是從紙莎草紙上面的文字得知。紙莎草紙類似我們現今所用的紙，它是利用生長在尼羅河邊的紙莎草製成的。從這些文獻，我們可以研究西元前兩千年前的埃及數學，但為什麼起源於埃及呢？
希羅多德（Herodotus，約西元前450年）察覺到埃及人每年被迫在尼羅河氾濫之後重新劃分土地界線，為此目的，測量員就必須擁有簡單算術與幾何的實用知識，於是，很多當時的計算過程被留下來。不過，典型的埃及數學是描述算術過程和幾何關係，但未提及其底蘊的通則。所以，我們只能知道埃及人如何計算，並猜測他們如何發展這些方法。我們解讀和研究這許多問題的詳細解答，以尋找他們計算方法背後的原因。
希臘數學家德謨克利特斯（Democritus，大約西元前460 - 370年）欣賞埃及人的數學，並將之和自己的研究成果相媲美，他寫道：「在說到以證明來建構直線時，沒有人，甚至連所謂埃及的拉繩索的人 （rope stretcher） 都無法勝過我。」他所指的埃及的拉繩索的人，可能是測量員（surveyor）的意思，而他最主要的工具就是那綑繩索。如圖1-3所示，是一個抱著自己那捆繩索的拉繩索的人之雕像。
圖1-3 測量員抱著捆好的準繩。哈特薛普斯特女王（Queen Hatshepsut）時期雕塑的塞尼姆特（Senemut）像，今收藏於羅浮宮。
現今所知道的最古老的埃及數學文本之中，包含了很多日常生活中的實際問題，像是計算穀倉的容量、商店建築物所需的磚塊數量，或者是做麵包、啤酒所需儲存的穀物總量。
《萊因德紙草書》（Rhind papyrus）是我們獲得埃及人算術知識的最好來源，它是以於1858年從路克索（Luxor）購買此紙草書的英國人萊因德（A. Henry Rhind）命名的。後來，他又賣給了現在陳列展示的博物館。西元前1650年，抄寫者阿姆斯（Ahmes）複製了這本紙草書，有時候我們也以他的名字稱呼這本書，儘管根據作者自述，本書事實上取材自西元前2000年到1800年之間更古老的作品。書中總共包含了80個問題，除了包含許多實用問題的解答之外，有些問題也涵蓋了幾何概念，但也包含很多沒有實用價值的問題。從書中可以窺見作者以解決他自己提出的問題為樂。
其他四本規模小一點的重要埃及數學文獻，分別是《莫斯科紙草書》 （Moscow papyrus）、《卡夫紙草書》（Kahun papyrus）、《柏林紙草書》（Berlin papyrus）和《皮革卷》（leather roll）。還有很多因為貿易而散落世界各地的紙草書，但那些書的內容只包含少許的埃及數學。
我們無法得知《莫斯科紙草書》明確的發現地點，因此，它是以保存這本書的城市命名。本書在1920年開始被學者解讀，直到1930年文本才被完全公開。這本紙草書包含了30個範例問題，從本章的圖1-9之中（見第46頁）可看到本書的一部分內容。
大約在1900年左右，英國人在卡夫（Kahun）發現了一本紙莎草書，因而為之命名。這本書包含了算術方法的應用，但相對地沒有那麼重要。
歷經漫長的時間之後，《皮革書》已經完全乾燥而且變硬，很難在不被破壞的情況下完整打開，但現在的化學方法已經可以使它軟化並且保存。現在，這本《皮革書》正陳列在大英博物館，我們將在1-9節再繼續探討。
埃及第一個法老王曼尼斯（Menes）的儀式權杖頂端上，刻著現存最早的數學文獻。他大約生活於西元前3000年，他的權杖上用象形文字記載著征戰的事蹟。那銘文記錄著搶奪來的400,000頭公牛、1,422,000頭羊以及120,000個俘虜。如圖1-1上所示，圖片裡有公牛、羊還有雙手反綁的俘虜。曼尼斯是否浮誇他的戰功，是很有趣的歷史問題，但從數學來看，卻不是什麼特別重要的事。這件事的重點是，遠在很久很久以前，人們就能記錄下很大的數目。這也暗示著在西元前3000年之前的幾個世紀，也就是書寫被發明之前（史前時期），有些數學符號就已經被使用（來記數）了。
目前已知有兩個方法可以認識史前人類的想法和文化。首先，我們可以透過考古學家發現和詮釋下的古代工藝品而得知，另一方面，也可以經由觀察現代世界中的原始文化（部落），從而推論史前思想和習俗如何發展，來了解史前文明。這兩種不同的進路，對於我們研究理念與知識的發展而言，都是很有用的。
在考古學上最令人興奮的發現之一，便是1937年，由阿伯索洛姆（Karl Absolom）所帶領的團隊，在捷克中部挖掘出來的物品。阿伯索洛姆發現距今30,000年前的狼骨，在圖1-2裡可以看到其中一部分，5個刻痕一組，在狼骨上總共有55個刻痕。前25個刻痕被兩條一樣長的刻痕分開。雖然我們不知道他們怎麼將這些刻痕刻在骨頭上，但比較合理的解釋是，史前人類非常慎重地刻上這樣的記號，或許他記錄的是某些收集的數量，也許是毛皮，也可能是有多少位親戚，或可能是記錄某個事件發生之後所經歷的天數。我們可以合理地假設他是為了計算每一樣收集來的東西所作的刻痕。如果這樣的詮釋是正確的，那麼，我們可以從中確認史前人類已經對兩個很重要的數學概念有了初步的認識。一個是兩個不同集合的一對一對應（one-to-one correspondence），也就是狼骨上的刻痕和他所計算的事物之間的對應。另一個則是計數系統的基底（base）概念。刻痕上25個刻痕以5個一組的方式安排，顯示出一個以5為基底的計數系統的雛型。
人類學的研究更加鞏固了我們有關史前已有數目概念存在的信念。1889年，哈頓（A. C. Haddon）發表了一篇關於托里斯海峽（Torres Straits）西方部落的研究報告。在沒有書寫文字的情況之下，那些部落人的數數方式如下：1，urapun；2，okosa；3，okasa-urapun； 4，okosa-okosa； 5，okosa-okosa-urapun；6，okosa-okosa-okosa。6以上則稱之為ras。現今精熟數學的學生們可以輕易了解這是以2為基底的計數系統。如果托里斯海峽部落的人們能了解這樣的概念，或許他就會用使用不同的字來表示4，而且，也不會將比6大的數字以ras表示。
賽登柏格（A. Seidenberg）最近發表了一篇有關於計數起源的論文（參考本章末的第12篇參考文獻），他認為計數是為了從前的宗教儀式而創造。其中，他引述原始部落以及古巴比倫人早期宗教文獻的許多研究成果，顯示參與宗教儀式的人必須按照一定的順序，這同時也說明計數的發展與確定儀式順序這個目的息息相關。從上述兩個研究來看，2進位是他最早可追溯並查驗的計數方式，這似乎暗指托里斯海峽的原住民和幾千年前祖先所用的計數方法是一樣的。
史前時代的這兩個數學概念「配對和計數」，剛好對應到現代生活與現代教育之中，有關數目的兩種不同的進路。其中一個是19世紀後半葉由康托爾（Georg Cantor, 1845-1932）提出的集合概念，以及兩個集合之間的一對一概念。有時候，吾人也稱此為數目的基數進路（cardinal approach）。大約在康托爾開始發展現代集合論的時代，皮亞諾（Giuseppe Peano）也企圖將自然數和其相關之算術公理化。所以，他設立了五個公理，其中之一便是每個自然數都會有後繼元素。而我們把這稱作數目的序數進路（ordinal approach）。對比於前述的基數進路所提到的配對概念，序數進路強調的是計數的概念。這兩個進路其實相互等價，但我們在此只是想強調，這些底蘊基本概念的「古代性」（antiquity）已經被數學家加以推陳出新，而成為現代數學系統重要的一部分。
其他有關於數學概念的史前證據並不難找到，吾人可以看到洞窟壁畫裡一些比例和對稱概念，就像技巧熟練的藝術家一樣，畫出非常寫實的動物和獵人。從畫中顯現出打獵的人和四隻腳的動物，則與數目及一對一概念有關。陶器上亦可發現精巧的幾何設計。在歐洲，經由考察史前畫作也發現他們對於馬車和馬的不同觀點。古巴比倫時代，可能是用以建築寺廟的概略圖，也已經在巴基斯坦的古城Mohenjo-Daro被挖掘出土，其中出現一把十進位的直尺。雖然考古學上的發現很有趣，但若我們從數學的觀點來探討，對於歷史時期（historic period）的研究則更顯價值。接下來，我們把注意力轉移到古埃及與古巴比倫的早期書寫系統上。
1-2 最早的數學文獻
雖然歷史遺跡、銘文、曼尼斯的權杖上都記載著最早的書寫數目，不過大部分我們所知關於埃及人的數學活動，主要還是從紙莎草紙上面的文字得知。紙莎草紙類似我們現今所用的紙，它是利用生長在尼羅河邊的紙莎草製成的。從這些文獻，我們可以研究西元前兩千年前的埃及數學，但為什麼起源於埃及呢？
希羅多德（Herodotus，約西元前450年）察覺到埃及人每年被迫在尼羅河氾濫之後重新劃分土地界線，為此目的，測量員就必須擁有簡單算術與幾何的實用知識，於是，很多當時的計算過程被留下來。不過，典型的埃及數學是描述算術過程和幾何關係，但未提及其底蘊的通則。所以，我們只能知道埃及人如何計算，並猜測他們如何發展這些方法。我們解讀和研究這許多問題的詳細解答，以尋找他們計算方法背後的原因。
希臘數學家德謨克利特斯（Democritus，大約西元前460 - 370年）欣賞埃及人的數學，並將之和自己的研究成果相媲美，他寫道：「在說到以證明來建構直線時，沒有人，甚至連所謂埃及的拉繩索的人 （rope stretcher） 都無法勝過我。」他所指的埃及的拉繩索的人，可能是測量員（surveyor）的意思，而他最主要的工具就是那綑繩索。如圖1-3所示，是一個抱著自己那捆繩索的拉繩索的人之雕像。
圖1-3 測量員抱著捆好的準繩。哈特薛普斯特女王（Queen Hatshepsut）時期雕塑的塞尼姆特（Senemut）像，今收藏於羅浮宮。
現今所知道的最古老的埃及數學文本之中，包含了很多日常生活中的實際問題，像是計算穀倉的容量、商店建築物所需的磚塊數量，或者是做麵包、啤酒所需儲存的穀物總量。
《萊因德紙草書》（Rhind papyrus）是我們獲得埃及人算術知識的最好來源，它是以於1858年從路克索（Luxor）購買此紙草書的英國人萊因德（A. Henry Rhind）命名的。後來，他又賣給了現在陳列展示的博物館。西元前1650年，抄寫者阿姆斯（Ahmes）複製了這本紙草書，有時候我們也以他的名字稱呼這本書，儘管根據作者自述，本書事實上取材自西元前2000年到1800年之間更古老的作品。書中總共包含了80個問題，除了包含許多實用問題的解答之外，有些問題也涵蓋了幾何概念，但也包含很多沒有實用價值的問題。從書中可以窺見作者以解決他自己提出的問題為樂。
其他四本規模小一點的重要埃及數學文獻，分別是《莫斯科紙草書》 （Moscow papyrus）、《卡夫紙草書》（Kahun papyrus）、《柏林紙草書》（Berlin papyrus）和《皮革卷》（leather roll）。還有很多因為貿易而散落世界各地的紙草書，但那些書的內容只包含少許的埃及數學。
我們無法得知《莫斯科紙草書》明確的發現地點，因此，它是以保存這本書的城市命名。本書在1920年開始被學者解讀，直到1930年文本才被完全公開。這本紙草書包含了30個範例問題，從本章的圖1-9之中（見第46頁）可看到本書的一部分內容。
大約在1900年左右，英國人在卡夫（Kahun）發現了一本紙莎草書，因而為之命名。這本書包含了算術方法的應用，但相對地沒有那麼重要。
歷經漫長的時間之後，《皮革書》已經完全乾燥而且變硬，很難在不被破壞的情況下完整打開，但現在的化學方法已經可以使它軟化並且保存。現在，這本《皮革書》正陳列在大英博物館，我們將在1-9節再繼續探討。
