序章 認識基礎的定理和猜想
數學的定理究竟有何意義？
從公理或定義推導出來，並證明為真的陳述，就是「定理」。而定理的特徵，在於可做為證明數學表達式的依據，或做為思考數學問題的基礎根底。因此，容易使用、容易應用，便是定理很重要的條件。
另一方面，「證明定理」這件事本身，有時就是數學家追求的最終結果。
換言之，以數學性的思考來說，定理就是終極目標。因此，定理往往必須是優美的。
當我們在認識定理時，也會看到「○○猜想」這樣的詞彙。這指的是數學領域中存在的幾個「○○猜想」。○○是人名，表示這是由○○提出的猜想，但尚未獲得證明。一旦猜想被證明後，才能稱為定理。
比較知名的猜想，有「哥德巴赫猜想」及「費馬猜想」。代表這是分別由哥德巴赫及費馬所提出的猜想，但尚未被證明（費馬猜想已在１９９５年獲得證明）。
命題本身絕對稱不上困難，但要證明卻極具挑戰，因此全世界的數學家們才會耗費數十年的時間，苦苦思索證明的方法。近來，哥德巴赫猜想終於在電腦的計算下，確認猜想幾乎是正確的，但仍然尚未被證明。
活用在日常生活的數學定理
大眾通常只覺得數學定理很難，卻不太清楚這些困難的定理，是如何被應用在我們的日常生活。其實我們在生活中享受到的、許多看似理所當然的事物，很可能都是定理的功勞喔。
舉例來說，大家比較熟悉的「畢達哥拉斯定理」，就經常用在距離的計算上。進階一點，也能用來計算發射衛星到太空的速度。這時，就要計算衛星要以多快的速度移動，才能在平行於地球表面的軌道上穩定運行，既不會遠離也不會墜落。利用畢達哥拉斯定理，就能算出衛星１秒需要飛行幾km。
測量土地時，可以使用正弦定理；若是２地點之間存在障礙物，則可以使用餘弦定理來測量。當我們想知道Ａ、Ｂ這２個地點之間的距離時，中間可能有建築物或山川等障礙物，因此無法直接測量。此時就可以選擇一個無障礙物的地點Ｃ，畫出三角形，就能利用餘弦定理求出想測量的距離。
手機是現代生活中不可或缺的工具，而手機的通訊系統中，為了不讓頻率相同的電波相互干擾，相鄰地區必須以不同的顏色劃分區隔，以避免設置電波頻率相同的基地台。這樣的區塊配置，便是應用了４色定理。
數學小故事(1)
持續翻倍的結果，最終成為驚人的數字
豐臣秀吉想獎勵有功的家臣曾呂利新左衛門，便向本人詢問：「給你選擇自己的獎賞，想要什麼就說說吧？」
新左衛門沉思一番，回答：「這個大房間裡鋪了100張榻榻米，請您在第一張榻榻米上給我1粒米，下一張給我2粒米，再下一張給我4粒米，如此成倍增加，直到這個房間內的所有榻榻米上都有米粒為止。」
「要把１俵的米放在１張榻榻米上確實是滿難的，不過你只要這些就夠了嗎？」
秀吉笑著問。他的想法是：「100張榻榻米，從１粒米開始算，總數充其量也不過是米俵的10～30俵左右吧。」
然而，他命一位家臣試算後，發現第5張、第6張……到第8張左右時，雖然總計只有一把米（256粒）的量，但超過30張榻榻米後，數量便會急遽增加，換算成米俵就是將近２千俵了。對秀吉來說，這倒還不是多大的數目，但到了一百張榻榻米時，又會變成多麼可怕的數字？實際計算，來到一百張榻榻米時，米的總量會多達525,000,000,000,000,000,000,000,000,000俵，不用說全日本，就算把從古至今全人類種植的米全部收集起來，也達不到這個數字。
無法給出這麼大量的米，秀吉只好跟新左衛門道歉了。從這則軼事中，可以了解翻倍的算法確實非常驚人。另外，在《塵劫記》（1627年由吉田光由著作的數學書）中，也有這樣的故事：「正月時，老鼠夫婦生了12隻幼鼠；2月時，這14隻老鼠又兩兩成對，繼續生下幼鼠。此時，老鼠家庭共有98隻。以這樣的節奏每個月繼續增加子嗣，到了12月時，總共有幾隻老鼠？」答案是276億8257萬4402隻。
專欄(1) 歐幾里得（公元前330年～公元前275年）
我們在學校學到的幾何學，就是「歐幾里得幾何學」。身為一位數學家，歐幾里得堪稱是希臘數學的代名詞。
歐幾里得將數學系統化，整理成著作《幾何原本》。2000多年來，《幾何原本》是繼《聖經》後最暢銷的書籍，被傳承、閱讀至今。不過，對於歐幾里得這個人，我們卻所知甚少。
歐幾里得在柏拉圖開設的學院中建立了數學的基礎，並以其所學為本，撰寫了幾何學的教科書《幾何原本》。《幾何原本》中包括五個公理與五個公設，歐幾里得以此書為古希臘國王托勒密一世（BC367-BC283）教授幾何學時，國王向他詢問：「除了《幾何原本》之外，難道沒有其他學習幾何學的方法嗎？」
對此，歐幾里得這樣回答：「幾何學的路上，不存在王道。」即便是王者之尊，也必須服膺「學問之路無王道」的道理。
據說又有一次，一位青年向歐幾里得學習幾何學時，問道：「學這麼困難的東西，可以得到什麼回報嗎？」歐幾里得隨即將僕人招來，指示他「拿錢給這位青年。因為他似乎認為，學習就是得獲得一些回報才行……」。
第５章 活用數學定理解決問題
用畢達哥拉斯定理解決問題(1)
公園裡有一座半徑20ｍ的池塘，池塘裡有一座小島，島上種了一棵松樹。
某天，１隻翅膀受傷流血的鳥停在松樹下休息，路過的一群學生看到了，便決定要把鳥從島上救出來，以便為牠處理傷口。
附近可取得的物品，只有2片長4.9ｍ的厚木板，而池塘的半徑達20ｍ，無法從池邊把木板架到小島上。
不過一陣子後，鳥還是順利被學生們救了出來。那麼，他們究竟是如何利用這2片木板的呢？即使是距離小島最近的池邊，也有5ｍ遠，該如何解決這個難題？
（方法請見下頁）
休息一下〜超有趣的數學小故事
天才也會掉進陷阱？
泰利斯透過提出「泰利斯定理」和證明圖形的特性，建立了幾何學的基礎，準確預測日食的事蹟也很有名。據說，泰利斯曾經因為太過沉醉於觀察天體的神祕，而不小心失足跌入井裡。一位目擊此景的色雷斯少女，忍不住笑著調侃：「雖然你了解困難的天體問題，卻看不到腳邊的東西呢！」
第6章 日常生活與數學
被偷走的鳥兒有幾隻？
美加是個很喜歡鳥的女孩，經常到山裡賞鳥，不過她最大的樂趣，還是照顧自己飼養的300隻鳥。
某天，專偷鳥的小偷闖了進來，偷走好幾隻特別昂貴的鳥。美加慌忙地向警局報案。
「我的寶貝鳥兒被偷了！」
「請填寫這個受理案件登記表。」
「被偷走的應該有將近200隻。」
「麻煩詳細說明，是哪一種鳥被偷走幾隻？」
「被偷走的鳥中，1/3來自非洲、1/4來自南美、1/5來自澳洲、1/7來自東南亞，還有1/9來自中國。」
由於美加太緊張了，不小心弄錯了其中一項的數字。
被偷走的鳥兒，共有幾隻呢？
（計算方法請見下頁）
數學豆知識
牛頓在數學領域留下了偉大的建樹，但他其實也是一個非常奇妙的人。據說在他擔任造幣局局長的期間，只有笑過2次而已。
數學豆知識
「0（zero）」這個數字，大約1500年前在印度被發現，到了中世紀才流傳到歐洲。「0」的發現導出了10進位制，自然科學也因此獲得快速的進步。
數學的定理究竟有何意義？
從公理或定義推導出來，並證明為真的陳述，就是「定理」。而定理的特徵，在於可做為證明數學表達式的依據，或做為思考數學問題的基礎根底。因此，容易使用、容易應用，便是定理很重要的條件。
另一方面，「證明定理」這件事本身，有時就是數學家追求的最終結果。
換言之，以數學性的思考來說，定理就是終極目標。因此，定理往往必須是優美的。
當我們在認識定理時，也會看到「○○猜想」這樣的詞彙。這指的是數學領域中存在的幾個「○○猜想」。○○是人名，表示這是由○○提出的猜想，但尚未獲得證明。一旦猜想被證明後，才能稱為定理。
比較知名的猜想，有「哥德巴赫猜想」及「費馬猜想」。代表這是分別由哥德巴赫及費馬所提出的猜想，但尚未被證明（費馬猜想已在１９９５年獲得證明）。
命題本身絕對稱不上困難，但要證明卻極具挑戰，因此全世界的數學家們才會耗費數十年的時間，苦苦思索證明的方法。近來，哥德巴赫猜想終於在電腦的計算下，確認猜想幾乎是正確的，但仍然尚未被證明。
活用在日常生活的數學定理
大眾通常只覺得數學定理很難，卻不太清楚這些困難的定理，是如何被應用在我們的日常生活。其實我們在生活中享受到的、許多看似理所當然的事物，很可能都是定理的功勞喔。
舉例來說，大家比較熟悉的「畢達哥拉斯定理」，就經常用在距離的計算上。進階一點，也能用來計算發射衛星到太空的速度。這時，就要計算衛星要以多快的速度移動，才能在平行於地球表面的軌道上穩定運行，既不會遠離也不會墜落。利用畢達哥拉斯定理，就能算出衛星１秒需要飛行幾km。
測量土地時，可以使用正弦定理；若是２地點之間存在障礙物，則可以使用餘弦定理來測量。當我們想知道Ａ、Ｂ這２個地點之間的距離時，中間可能有建築物或山川等障礙物，因此無法直接測量。此時就可以選擇一個無障礙物的地點Ｃ，畫出三角形，就能利用餘弦定理求出想測量的距離。
手機是現代生活中不可或缺的工具，而手機的通訊系統中，為了不讓頻率相同的電波相互干擾，相鄰地區必須以不同的顏色劃分區隔，以避免設置電波頻率相同的基地台。這樣的區塊配置，便是應用了４色定理。
數學小故事(1)
持續翻倍的結果，最終成為驚人的數字
豐臣秀吉想獎勵有功的家臣曾呂利新左衛門，便向本人詢問：「給你選擇自己的獎賞，想要什麼就說說吧？」
新左衛門沉思一番，回答：「這個大房間裡鋪了100張榻榻米，請您在第一張榻榻米上給我1粒米，下一張給我2粒米，再下一張給我4粒米，如此成倍增加，直到這個房間內的所有榻榻米上都有米粒為止。」
「要把１俵的米放在１張榻榻米上確實是滿難的，不過你只要這些就夠了嗎？」
秀吉笑著問。他的想法是：「100張榻榻米，從１粒米開始算，總數充其量也不過是米俵的10～30俵左右吧。」
然而，他命一位家臣試算後，發現第5張、第6張……到第8張左右時，雖然總計只有一把米（256粒）的量，但超過30張榻榻米後，數量便會急遽增加，換算成米俵就是將近２千俵了。對秀吉來說，這倒還不是多大的數目，但到了一百張榻榻米時，又會變成多麼可怕的數字？實際計算，來到一百張榻榻米時，米的總量會多達525,000,000,000,000,000,000,000,000,000俵，不用說全日本，就算把從古至今全人類種植的米全部收集起來，也達不到這個數字。
無法給出這麼大量的米，秀吉只好跟新左衛門道歉了。從這則軼事中，可以了解翻倍的算法確實非常驚人。另外，在《塵劫記》（1627年由吉田光由著作的數學書）中，也有這樣的故事：「正月時，老鼠夫婦生了12隻幼鼠；2月時，這14隻老鼠又兩兩成對，繼續生下幼鼠。此時，老鼠家庭共有98隻。以這樣的節奏每個月繼續增加子嗣，到了12月時，總共有幾隻老鼠？」答案是276億8257萬4402隻。
專欄(1) 歐幾里得（公元前330年～公元前275年）
我們在學校學到的幾何學，就是「歐幾里得幾何學」。身為一位數學家，歐幾里得堪稱是希臘數學的代名詞。
歐幾里得將數學系統化，整理成著作《幾何原本》。2000多年來，《幾何原本》是繼《聖經》後最暢銷的書籍，被傳承、閱讀至今。不過，對於歐幾里得這個人，我們卻所知甚少。
歐幾里得在柏拉圖開設的學院中建立了數學的基礎，並以其所學為本，撰寫了幾何學的教科書《幾何原本》。《幾何原本》中包括五個公理與五個公設，歐幾里得以此書為古希臘國王托勒密一世（BC367-BC283）教授幾何學時，國王向他詢問：「除了《幾何原本》之外，難道沒有其他學習幾何學的方法嗎？」
對此，歐幾里得這樣回答：「幾何學的路上，不存在王道。」即便是王者之尊，也必須服膺「學問之路無王道」的道理。
據說又有一次，一位青年向歐幾里得學習幾何學時，問道：「學這麼困難的東西，可以得到什麼回報嗎？」歐幾里得隨即將僕人招來，指示他「拿錢給這位青年。因為他似乎認為，學習就是得獲得一些回報才行……」。
第５章 活用數學定理解決問題
用畢達哥拉斯定理解決問題(1)
公園裡有一座半徑20ｍ的池塘，池塘裡有一座小島，島上種了一棵松樹。
某天，１隻翅膀受傷流血的鳥停在松樹下休息，路過的一群學生看到了，便決定要把鳥從島上救出來，以便為牠處理傷口。
附近可取得的物品，只有2片長4.9ｍ的厚木板，而池塘的半徑達20ｍ，無法從池邊把木板架到小島上。
不過一陣子後，鳥還是順利被學生們救了出來。那麼，他們究竟是如何利用這2片木板的呢？即使是距離小島最近的池邊，也有5ｍ遠，該如何解決這個難題？
（方法請見下頁）
休息一下〜超有趣的數學小故事
天才也會掉進陷阱？
泰利斯透過提出「泰利斯定理」和證明圖形的特性，建立了幾何學的基礎，準確預測日食的事蹟也很有名。據說，泰利斯曾經因為太過沉醉於觀察天體的神祕，而不小心失足跌入井裡。一位目擊此景的色雷斯少女，忍不住笑著調侃：「雖然你了解困難的天體問題，卻看不到腳邊的東西呢！」
第6章 日常生活與數學
被偷走的鳥兒有幾隻？
美加是個很喜歡鳥的女孩，經常到山裡賞鳥，不過她最大的樂趣，還是照顧自己飼養的300隻鳥。
某天，專偷鳥的小偷闖了進來，偷走好幾隻特別昂貴的鳥。美加慌忙地向警局報案。
「我的寶貝鳥兒被偷了！」
「請填寫這個受理案件登記表。」
「被偷走的應該有將近200隻。」
「麻煩詳細說明，是哪一種鳥被偷走幾隻？」
「被偷走的鳥中，1/3來自非洲、1/4來自南美、1/5來自澳洲、1/7來自東南亞，還有1/9來自中國。」
由於美加太緊張了，不小心弄錯了其中一項的數字。
被偷走的鳥兒，共有幾隻呢？
（計算方法請見下頁）
數學豆知識
牛頓在數學領域留下了偉大的建樹，但他其實也是一個非常奇妙的人。據說在他擔任造幣局局長的期間，只有笑過2次而已。
數學豆知識
「0（zero）」這個數字，大約1500年前在印度被發現，到了中世紀才流傳到歐洲。「0」的發現導出了10進位制，自然科學也因此獲得快速的進步。
