基礎篇
著名哲學家康德曾說：「我斷言，在任何一門自然科學中，只有數學是完全由純粹真理構成的。」當然構建在純粹理性之上的知識體系非常困難，因為它和我們憑藉直覺的主觀思維方式相違背。
根據《新時間簡史》（A Briefer History of Time）和《大設計》（The Grand Design）的共同作者雷納．曼羅迪諾（Leonard Mlodinow）在《科學大歷史》（The Upright Thinkers）一書中的講法，人類自文明誕生之初（從美索不達米亞〔Mesopotamia〕的蘇美文明算起），發展了幾千年，形成的所有知識體系都只能算是「前科學」。「前科學」是一種好聽的說法，難聽的說法叫作「巫術式」的知識體系，因為它充滿了主觀色彩和神秘性。在所有早期文明中，唯一的例外是古希臘。但即使是在古希臘，許多做出重大科學貢獻的知名大學問家們，例如泰利斯（Thales）、赫拉克利特（Heraclitus）、亞里斯多德（Aristotle），他們的思維依然是前科學的，而不是科學的。因為他們對客觀世界的解釋，雖然有基於客觀現實的成分，但依然加入了太多主觀的想像。讓古希臘文明在科學方面和其他早期文明有了真正不同的是一位劃時代的人物——畢達哥拉斯。
畢達哥拉斯確立了數學的起點，也就是必須遵循嚴格的邏輯證明才能得到結論的研究方法，這讓數學從早期必須依靠測量和觀測的學科——諸如天文學、地理學和物理學中，脫離出來，成為為所有基礎學科服務、帶有方法論性質的特殊學科。因此，畢達哥拉斯是將數學從經驗提升至系統性學科的第一人。到了近代，大數學家和哲學家笛卡兒（René Descartes）倡導理性思維，反對經驗主義，就是在畢達哥拉斯方法的基礎上的進一步系統性拓展。這就是本書要從畢達哥拉斯講起的原因。
第1章╱理解數學的線索：從畢達哥拉斯講起
大家都熟知提出並證明了勾股定理的人就是畢達哥拉斯，因此這個定理在西方被稱為「畢氏定理」，滿足這個定理條件的任何一組整數也被稱為「畢氏數」。本章我們就從這個大家熟悉的定理出發，了解數學的特點和研究方法，特別是數學的證明定理和物理學的證實定律這兩個概念的區別。
1.1勾股定理：為什麼在西方叫畢氏定理？
勾股定理講的是直角三角形兩條直角邊a和b邊長的平方和等於斜邊c邊長的平方，即：a2+b2=c2。
這個定理在中國之所以被稱為勾股定理，是因為勾和股是中國古代對直角三角形兩條直角邊的叫法。不過在國外，這個定理卻被稱為畢氏定理。這兩種命名哪一種更符合數學的習慣呢？這就涉及在數學領域什麼才算是定理這樣一個非常基本的問題了。
我們的中學老師通常這樣講：勾股定理是中國人最先發現，因為據西漢《周髀算經》記載，早在西元前一○○○年時，周公和商高兩人就談到了「勾三股四弦五」。周公和商高生活的年代比畢達哥拉斯（約西元前五八○～前五○○年）早了五百年左右。根據榮譽屬於最早發現者的慣例，這個定理被稱為勾股定理或商高定理是合理的。
但是這樣的說法有意無意地迴避了一個疑點：在比周公和商高更早的時候，是否就有人知道了類似「3，4，5」這樣的勾股數？
這個問題的答案其實相當明確。比周公和商高早一五○○年，古埃及人建造大金字塔時，就已經按照勾股數在設計墓室的尺寸了。此外，早在西元前十八世紀左右，美索不達米亞人就知道很多組勾股數（包括勾三股四弦五），而且留下了不少實物證據——耶魯大學的博物館裡就保存了一塊記滿勾股數的泥板。他們所獲知的一組最大的勾股數是（18,541，12,709，13,500），能發現這麼大的一組勾股數非常不容易。
既然如此，為什麼數學界並沒有將此定理命名為埃及定理或美索不達米亞定理呢？
這個問題的答案也很簡單，所有古代文明不過是舉出了一些特例而已，甚至都沒有提出關於勾股定理的假說，更不要說證明定理了。
上述兩個問題在教學中通常不會被提及，這使學生們忽略了特例和數學定理其實完全不同，也無法知道數學的定理和自然科學——比如與物理領域的定律的根本不同。而明白了這其中的區別，是中學生和大學生學好數學和科學的前提。
關於數學上的定理，首先，我要說明的是，找到一個特例和提出一種具有普遍意義的陳述，是完全不同的兩件事。「勾三股四弦五」的說法和「兩條直角邊的平方之和等於斜邊的平方」這種陳述是兩回事。前者只是一個特例，再多特例所描述的規律，可能只適用於特例，而沒有普遍性。雖然美索不達米亞人舉了很多特例，而且沒有發現例外，但是他們並沒有做出明確的陳述，非常肯定地講清楚勾股定理適用於所有的直角三角形。一種具有普遍意義的陳述，其意義大得多了。它一旦被說出，就意味著任何情況都適用，不能有例外，非常絕對。在數學中，我們通常也把這種陳述稱為命題（proposition）。在古代中國，最早將勾股定理以命題方式總結出來（但是依然沒有證明），是在西漢人所寫的《九章算術》中，那已經比畢達哥拉斯晚了四○○年左右了。
其次，命題還不等於定理。絕大部分命題都沒有太大的意義。例如我們說「如果三角形的某個角是100°，它一定大於其他兩個角之和」，這就是一個命題，而且是一個正確的命題，但是它沒有什麼意義。只有極少數一些描述數學本質規律的命題才是有意義的，因為從它們出發可以推導出很多有意義的結論。這樣的命題會被人們總結出來使用，但是它們在沒有被證明之前，只能算是猜想（conjecture）。而猜想和被證明了的定理依然是兩回事。例如我們聽說過的哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）與龐加萊猜想（Poincaré conjecture）等。儘管猜想和定理的差距很大，但猜想已經比舉幾個特例前進了一大步。
最後，有用的猜想從邏輯上被證明了，才能成為定理。比如龐加萊猜想在被佩雷爾曼（Grigorg Perelman）證明之後，有時也被稱為龐加萊定理。至於定理是用提出猜想之人的名字命名，還是用證明者的名字命名，在數學上都有先例。費馬最後定理（Fermat's Last Theorem）最終是用提出猜想之人費馬的名字命名；而希爾伯特第十問題（Hilbert's 10th problems），則是用證明者的名字命名，今天被稱為馬季亞榭維奇定理（Matiyasevich's theorem）。但是，從沒有用發現簡單現象之人的名字命名的先例。
講到這裡，大家可能已經體會出數學和自然科學（物理學、化學、生物學等）的不同之處了。雖然我們習慣上喜歡把數學和自然科學都看成「理科」，但實際上學習和研究數學的思維方式和採用的方法，和自然科學完全不同，主要可以概括為以下三方面。
1.測量和邏輯推理的區別
我們知道幾何學源於古埃及，當地人出於農業生產的考量對天文和土地進行了度量，發明了幾何學。但是，度量出來的幾何其實和真正的數學仍有很大的差距。
比如說，古代文明的人們確實觀察到勾股數的現象，他們畫一個直角三角形，勾三尺長、股四尺長時，弦恰好就是五尺長，於是就有了「勾三股四弦五」的說法。但是，其中存在一個很大的問題：我們說長度是3尺或4尺，其實並非數學上準確的長度。用尺子量出來的3，實際可能是3.01，也可能是2.99，更何況尺的刻度本身就未必準確，如此一來「勾三股四弦五」就是一個大概的說法了。此外，我們看到的直角是否真的就是90°，而不是89.9°，也是個大問題。
為了讓各位更好理解度量的誤差和視覺的誤差，我們不妨看這樣一個例子。圖1.3左上方有一個8×8的正方形，它的面積是64，對此我們都沒有疑問。接下來，我們按照圖中所示的粗線將它剪成四部分，再重新組合，居然得到了右下方一個5×13的長方形，它的面積是65。
我們當然知道64不可能等於65，這裡面一定有問題。那麼，問題在哪兒呢？其實，問題就出在四部分再拼接時並不是嚴絲合縫的，只不過縫隙較小，大部分人看不出來罷了。
當然有人可能會進一步追問，說你把圖畫大一點，畫精準一點，不就能看出縫隙了嗎？這個問題或許還可以透過更準確的度量發現，但是如果我們畫一個三角形勾等於3.5，股等於4.5，那麼測量出來的弦大約是5.7，這個測量結果和真實值只有0.016%的相對誤差（實際弦長約是5.700877），古代任何測量都無法發現這麼小的誤差。這時我們是否能說「勾3.5股4.5弦5.7」呢？在數學上顯然不能，雖然在工程上我們可以依照這個數值製造機械。
在自然科學中，我們相信測量和實驗觀察，並且基於測量和觀察得到量化的結論。但是在數學上，觀察的結果只能給我們啟發，卻不能成為我們得到數學結論的依據，數學的結論只能從定義和公理出發，使用邏輯，透過嚴格證明得到，不能靠經驗總結出來。
如果拋開誤差的影響，3就是3，4就是4，5就是5，我們找到了很多勾股數的例子，是否可以認為早期文明的人們總結出了勾股定理呢？也不能，只能說他們觀察到一些現象，而沒有對規律進行陳述。我們在畢達哥拉斯之前的典籍找不到這樣明確的陳述。再退一步，如果能找到類似的陳述，也不等於發現了定理。這就涉及數學和自然科學的第二個主要區別——證實和證明的區別了。
2.事實證實和邏輯證明的區別
在自然科學中，一個假說透過實驗證實，就變成了定律。例如，與牛頓同時代的英國科學家波以耳（Robert Boyle）和法國科學家馬略特（Edme Mariotte）一同發現了一個物理現象，即一個封閉容器中氣體的壓力和體積成反比。這很好理解，因為體積壓得越小，內部的壓力肯定越大。兩人透過很多實驗，都證實了這件事，於是此定律就用他們兩人的名字命名了：波以耳—馬略特定律（Boyle–Mariotte’s law）。
但是，如果某個非常認真愛計較的人一定要抬槓，說波以耳、馬略特啊，你們證實了所有的情況（各種體積和壓力的組合）了嗎？你們敢保證沒有例外嗎？波以耳和馬略特肯定會說，我們不敢保證沒有例外，但是這個規律你平時使用肯定沒有問題。果然，後來人們真的發現當壓力特別大時，波以耳—馬略特定律就不管用了，體積壓縮不到定律所預測的那麼小。但是這沒有關係，在大多數條件下，這個定律依然成立。今天人們在製作產品時，依然可以大膽地使用這個定律。
事實上，自然科學的定律和理論，儘管說被實驗證實了，但其實實驗的可信度不可能是100%，都存在一個被推翻的微小可能性。比如，我們證實重力波的實驗，也只能保證結論99.9999%正確的可能性；證實希格斯玻色子（Higgs boson）的實驗，只能保證結論99.99%正確的可能性。
和自然科學不同的是，在數學上，決不允許用實驗驗證一個假說（在數學上常常被稱為猜想）正確與否。數學的結論只能從邏輯出發，透過歸納或演繹出來。它若非完全正確，沒有例外；就是會因為一個例外（也被稱為反例），被完全否定掉，沒有大致正確的說法。其中最著名的例子就是哥德巴赫猜想，即任一大於2的偶數都可以寫成兩個質數之和。今天人們利用電腦，在可以驗證的範圍內，都驗證了這個猜想是對的，但是因為沒有窮盡所有的可能，就不能說猜想被證明了。因此，我們依然不能在這個猜想的基礎上，構建其他的數學定理。
定理和定律兩詞在漢語中寫法和讀音都相似，容易混淆。但是在英語中，定律是「law」，意思是一般性的規律，而定理是「theorem」，是嚴格證明、沒有例外的規律，它們的差異非常明顯。
著名哲學家康德曾說：「我斷言，在任何一門自然科學中，只有數學是完全由純粹真理構成的。」當然構建在純粹理性之上的知識體系非常困難，因為它和我們憑藉直覺的主觀思維方式相違背。
根據《新時間簡史》（A Briefer History of Time）和《大設計》（The Grand Design）的共同作者雷納．曼羅迪諾（Leonard Mlodinow）在《科學大歷史》（The Upright Thinkers）一書中的講法，人類自文明誕生之初（從美索不達米亞〔Mesopotamia〕的蘇美文明算起），發展了幾千年，形成的所有知識體系都只能算是「前科學」。「前科學」是一種好聽的說法，難聽的說法叫作「巫術式」的知識體系，因為它充滿了主觀色彩和神秘性。在所有早期文明中，唯一的例外是古希臘。但即使是在古希臘，許多做出重大科學貢獻的知名大學問家們，例如泰利斯（Thales）、赫拉克利特（Heraclitus）、亞里斯多德（Aristotle），他們的思維依然是前科學的，而不是科學的。因為他們對客觀世界的解釋，雖然有基於客觀現實的成分，但依然加入了太多主觀的想像。讓古希臘文明在科學方面和其他早期文明有了真正不同的是一位劃時代的人物——畢達哥拉斯。
畢達哥拉斯確立了數學的起點，也就是必須遵循嚴格的邏輯證明才能得到結論的研究方法，這讓數學從早期必須依靠測量和觀測的學科——諸如天文學、地理學和物理學中，脫離出來，成為為所有基礎學科服務、帶有方法論性質的特殊學科。因此，畢達哥拉斯是將數學從經驗提升至系統性學科的第一人。到了近代，大數學家和哲學家笛卡兒（René Descartes）倡導理性思維，反對經驗主義，就是在畢達哥拉斯方法的基礎上的進一步系統性拓展。這就是本書要從畢達哥拉斯講起的原因。
第1章╱理解數學的線索：從畢達哥拉斯講起
大家都熟知提出並證明了勾股定理的人就是畢達哥拉斯，因此這個定理在西方被稱為「畢氏定理」，滿足這個定理條件的任何一組整數也被稱為「畢氏數」。本章我們就從這個大家熟悉的定理出發，了解數學的特點和研究方法，特別是數學的證明定理和物理學的證實定律這兩個概念的區別。
1.1勾股定理：為什麼在西方叫畢氏定理？
勾股定理講的是直角三角形兩條直角邊a和b邊長的平方和等於斜邊c邊長的平方，即：a2+b2=c2。
這個定理在中國之所以被稱為勾股定理，是因為勾和股是中國古代對直角三角形兩條直角邊的叫法。不過在國外，這個定理卻被稱為畢氏定理。這兩種命名哪一種更符合數學的習慣呢？這就涉及在數學領域什麼才算是定理這樣一個非常基本的問題了。
我們的中學老師通常這樣講：勾股定理是中國人最先發現，因為據西漢《周髀算經》記載，早在西元前一○○○年時，周公和商高兩人就談到了「勾三股四弦五」。周公和商高生活的年代比畢達哥拉斯（約西元前五八○～前五○○年）早了五百年左右。根據榮譽屬於最早發現者的慣例，這個定理被稱為勾股定理或商高定理是合理的。
但是這樣的說法有意無意地迴避了一個疑點：在比周公和商高更早的時候，是否就有人知道了類似「3，4，5」這樣的勾股數？
這個問題的答案其實相當明確。比周公和商高早一五○○年，古埃及人建造大金字塔時，就已經按照勾股數在設計墓室的尺寸了。此外，早在西元前十八世紀左右，美索不達米亞人就知道很多組勾股數（包括勾三股四弦五），而且留下了不少實物證據——耶魯大學的博物館裡就保存了一塊記滿勾股數的泥板。他們所獲知的一組最大的勾股數是（18,541，12,709，13,500），能發現這麼大的一組勾股數非常不容易。
既然如此，為什麼數學界並沒有將此定理命名為埃及定理或美索不達米亞定理呢？
這個問題的答案也很簡單，所有古代文明不過是舉出了一些特例而已，甚至都沒有提出關於勾股定理的假說，更不要說證明定理了。
上述兩個問題在教學中通常不會被提及，這使學生們忽略了特例和數學定理其實完全不同，也無法知道數學的定理和自然科學——比如與物理領域的定律的根本不同。而明白了這其中的區別，是中學生和大學生學好數學和科學的前提。
關於數學上的定理，首先，我要說明的是，找到一個特例和提出一種具有普遍意義的陳述，是完全不同的兩件事。「勾三股四弦五」的說法和「兩條直角邊的平方之和等於斜邊的平方」這種陳述是兩回事。前者只是一個特例，再多特例所描述的規律，可能只適用於特例，而沒有普遍性。雖然美索不達米亞人舉了很多特例，而且沒有發現例外，但是他們並沒有做出明確的陳述，非常肯定地講清楚勾股定理適用於所有的直角三角形。一種具有普遍意義的陳述，其意義大得多了。它一旦被說出，就意味著任何情況都適用，不能有例外，非常絕對。在數學中，我們通常也把這種陳述稱為命題（proposition）。在古代中國，最早將勾股定理以命題方式總結出來（但是依然沒有證明），是在西漢人所寫的《九章算術》中，那已經比畢達哥拉斯晚了四○○年左右了。
其次，命題還不等於定理。絕大部分命題都沒有太大的意義。例如我們說「如果三角形的某個角是100°，它一定大於其他兩個角之和」，這就是一個命題，而且是一個正確的命題，但是它沒有什麼意義。只有極少數一些描述數學本質規律的命題才是有意義的，因為從它們出發可以推導出很多有意義的結論。這樣的命題會被人們總結出來使用，但是它們在沒有被證明之前，只能算是猜想（conjecture）。而猜想和被證明了的定理依然是兩回事。例如我們聽說過的哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）與龐加萊猜想（Poincaré conjecture）等。儘管猜想和定理的差距很大，但猜想已經比舉幾個特例前進了一大步。
最後，有用的猜想從邏輯上被證明了，才能成為定理。比如龐加萊猜想在被佩雷爾曼（Grigorg Perelman）證明之後，有時也被稱為龐加萊定理。至於定理是用提出猜想之人的名字命名，還是用證明者的名字命名，在數學上都有先例。費馬最後定理（Fermat's Last Theorem）最終是用提出猜想之人費馬的名字命名；而希爾伯特第十問題（Hilbert's 10th problems），則是用證明者的名字命名，今天被稱為馬季亞榭維奇定理（Matiyasevich's theorem）。但是，從沒有用發現簡單現象之人的名字命名的先例。
講到這裡，大家可能已經體會出數學和自然科學（物理學、化學、生物學等）的不同之處了。雖然我們習慣上喜歡把數學和自然科學都看成「理科」，但實際上學習和研究數學的思維方式和採用的方法，和自然科學完全不同，主要可以概括為以下三方面。
1.測量和邏輯推理的區別
我們知道幾何學源於古埃及，當地人出於農業生產的考量對天文和土地進行了度量，發明了幾何學。但是，度量出來的幾何其實和真正的數學仍有很大的差距。
比如說，古代文明的人們確實觀察到勾股數的現象，他們畫一個直角三角形，勾三尺長、股四尺長時，弦恰好就是五尺長，於是就有了「勾三股四弦五」的說法。但是，其中存在一個很大的問題：我們說長度是3尺或4尺，其實並非數學上準確的長度。用尺子量出來的3，實際可能是3.01，也可能是2.99，更何況尺的刻度本身就未必準確，如此一來「勾三股四弦五」就是一個大概的說法了。此外，我們看到的直角是否真的就是90°，而不是89.9°，也是個大問題。
為了讓各位更好理解度量的誤差和視覺的誤差，我們不妨看這樣一個例子。圖1.3左上方有一個8×8的正方形，它的面積是64，對此我們都沒有疑問。接下來，我們按照圖中所示的粗線將它剪成四部分，再重新組合，居然得到了右下方一個5×13的長方形，它的面積是65。
我們當然知道64不可能等於65，這裡面一定有問題。那麼，問題在哪兒呢？其實，問題就出在四部分再拼接時並不是嚴絲合縫的，只不過縫隙較小，大部分人看不出來罷了。
當然有人可能會進一步追問，說你把圖畫大一點，畫精準一點，不就能看出縫隙了嗎？這個問題或許還可以透過更準確的度量發現，但是如果我們畫一個三角形勾等於3.5，股等於4.5，那麼測量出來的弦大約是5.7，這個測量結果和真實值只有0.016%的相對誤差（實際弦長約是5.700877），古代任何測量都無法發現這麼小的誤差。這時我們是否能說「勾3.5股4.5弦5.7」呢？在數學上顯然不能，雖然在工程上我們可以依照這個數值製造機械。
在自然科學中，我們相信測量和實驗觀察，並且基於測量和觀察得到量化的結論。但是在數學上，觀察的結果只能給我們啟發，卻不能成為我們得到數學結論的依據，數學的結論只能從定義和公理出發，使用邏輯，透過嚴格證明得到，不能靠經驗總結出來。
如果拋開誤差的影響，3就是3，4就是4，5就是5，我們找到了很多勾股數的例子，是否可以認為早期文明的人們總結出了勾股定理呢？也不能，只能說他們觀察到一些現象，而沒有對規律進行陳述。我們在畢達哥拉斯之前的典籍找不到這樣明確的陳述。再退一步，如果能找到類似的陳述，也不等於發現了定理。這就涉及數學和自然科學的第二個主要區別——證實和證明的區別了。
2.事實證實和邏輯證明的區別
在自然科學中，一個假說透過實驗證實，就變成了定律。例如，與牛頓同時代的英國科學家波以耳（Robert Boyle）和法國科學家馬略特（Edme Mariotte）一同發現了一個物理現象，即一個封閉容器中氣體的壓力和體積成反比。這很好理解，因為體積壓得越小，內部的壓力肯定越大。兩人透過很多實驗，都證實了這件事，於是此定律就用他們兩人的名字命名了：波以耳—馬略特定律（Boyle–Mariotte’s law）。
但是，如果某個非常認真愛計較的人一定要抬槓，說波以耳、馬略特啊，你們證實了所有的情況（各種體積和壓力的組合）了嗎？你們敢保證沒有例外嗎？波以耳和馬略特肯定會說，我們不敢保證沒有例外，但是這個規律你平時使用肯定沒有問題。果然，後來人們真的發現當壓力特別大時，波以耳—馬略特定律就不管用了，體積壓縮不到定律所預測的那麼小。但是這沒有關係，在大多數條件下，這個定律依然成立。今天人們在製作產品時，依然可以大膽地使用這個定律。
事實上，自然科學的定律和理論，儘管說被實驗證實了，但其實實驗的可信度不可能是100%，都存在一個被推翻的微小可能性。比如，我們證實重力波的實驗，也只能保證結論99.9999%正確的可能性；證實希格斯玻色子（Higgs boson）的實驗，只能保證結論99.99%正確的可能性。
和自然科學不同的是，在數學上，決不允許用實驗驗證一個假說（在數學上常常被稱為猜想）正確與否。數學的結論只能從邏輯出發，透過歸納或演繹出來。它若非完全正確，沒有例外；就是會因為一個例外（也被稱為反例），被完全否定掉，沒有大致正確的說法。其中最著名的例子就是哥德巴赫猜想，即任一大於2的偶數都可以寫成兩個質數之和。今天人們利用電腦，在可以驗證的範圍內，都驗證了這個猜想是對的，但是因為沒有窮盡所有的可能，就不能說猜想被證明了。因此，我們依然不能在這個猜想的基礎上，構建其他的數學定理。
定理和定律兩詞在漢語中寫法和讀音都相似，容易混淆。但是在英語中，定律是「law」，意思是一般性的規律，而定理是「theorem」，是嚴格證明、沒有例外的規律，它們的差異非常明顯。
