【詹姆斯和馬龍誰的投籃命中率更高？】
有個小朋友和我說，他特別喜歡看籃球比賽，最喜歡的球星是湖人隊的勒布朗．詹姆斯（LeBron James）。他曾把詹姆斯和歷史上的著名球員卡爾．馬龍（Karl Malone）做比較，結果發現一個神奇的現象：整個生涯中，無論是兩分球的命中率還是三分球的命中率，詹姆斯都比馬龍高。但如果把兩分球和三分球加在一起，詹姆斯的命中率反而比馬龍低。這是怎麼回事呢？
實際上，這是統計學上的一個著名悖論—辛普森悖論。最早由愛德華．辛普森（Edward H. Simpson）在一九五一年發表的論文中進行了詳細闡述。辛普森悖論是指：進行統計比較時，如果對資料進行分層，統計結果與總體資料可能是不同的。
一、錄取比例問題
歷史上比較典型的辛普森悖論的例子，是美國加州大學柏克萊分校的錄取比例問題。柏克萊是美國的著名大學，截至二○二一年十月，建校一百多年來，一共誕生一百一十一位諾貝爾獎得主、十四位菲爾茲獎得主、二十五位圖靈獎得主。「原子彈之父」羅伯特．奧本海默（RobertOppenheimer）、著名華人物理學家朱棣文、華裔物理學家吳健雄，還有數學家丘成桐、陳省身，都在柏克萊學習和工作過。
可是一九七三年的秋天，柏克萊公布的研究生招生名單卻引起一場風波。那一年，許多女同學向學校表達強烈抗議，因為從招生名單來看，男生申請者中有44％被錄取，女生申請者只有35％被錄取，男生錄取率是女生的一．二五倍！簡直是赤裸裸的性別歧視！
壓力之下，柏克萊被迫展開調查，結果發現：許多學院招收學生時，反而是女生錄取比例更高。
我們用一些虛擬的資料來說明這個問題。假設有一百個男同學和一百個女同學申請柏克萊的研究生，分別申請物理學院和文學院。男生中有八十人申請物理學院，錄取三十八人；二十人申請文學院，錄取二人；女生中有二十人申請物理學院，錄取十四人；八十人申請文學院，錄取十六人。
先看分組比較資料：男生申請物理學院的通過率是47.5％，女生申請物理學院的通過率有70％，女生的通過率比男生高很多。男生申請文學院的錄取率為10％，女生的錄取率是20％，女生的通過率是男生的二倍。單獨從兩個學院的資料來看，好像不是女生受到歧視，反而是男生受到歧視。
但從總體錄取資料來看，提交申請的男生和女生都是一百人，男生有四十人被錄取，女生只有三十人被錄取，男生的錄取比例比女生多出1/3，這樣看來好像又變成歧視女性。
為什麼同一份資料卻得出兩種不同結論呢？這就是辛普森悖論。陰謀家們往往會利用辛普森悖論煽動大眾：如果我想批評柏克萊歧視男性，就可以隱藏總體錄取資料，只讓你看到每個學院的錄取資料—每個學院的女生錄取比例都比男生要高，這樣就可以呼籲男生起來對抗學校了。反過來，如果想批評柏克萊歧視女性，就可以避開每個學院的錄取資料，只給出總體錄取資料—同樣的人數申請同一所學校，憑什麼男生錄取比例比女生高1/3？這難道不是涉嫌歧視女性嗎？
二、腎結石的治癒率
辛普森悖論還有另一個典型案例—腎結石的治療方法。
腎結石患者往往需要透過手術的方法治療，手術方式有兩種：一種是開放手術，可能對人造成較大創傷；另一種方法是微創手術，用內視鏡把結石取出來，手術創傷較小。患者的結石情況也可分為小結石和大結石兩種，醫生會按照結石大小選擇不同的治療方案。
某位醫生對兩種治療方法的治癒率進行統計，開放手術和微創手術各三百五十例，前者二百七十三例有效，後者二百八十九例有效。
小結石患者中八十七人使用開放手術治療，治癒率約93％； 有二百七十人選擇微創手術，治癒率約87％。這樣來看，對於小結石患者，似乎開放治療的效果更好一點。
再看大結石患者：有二百六十三人選擇開放手術，治癒率約73％；有八十人選擇微創手術，治癒率約69％。大結石患者依然應該選用開放手術，因為它的治癒比例更高。
既然不管是大結石還是小結石，都是開放手術的治癒率更高，是否應該只給病人推薦開放手術呢？先別急，假如我們看一下總體資料，就會發現開放手術的平均治癒率為78％，而微創手術的平均治癒率約為83％，這樣一來，反而是封閉手術的效果更好。這又構成了辛普森悖論。
假如醫生想推薦開放手術，就可以只向患者展示分層資料。患者發現：不管大小結石，開放手術的治癒率都更高，肯定會傾向於開放療法。反過來，如果醫生想推薦微創手術，就會隱去分層資料，只給患者展示總體資料：同樣是三百五十名患者，微創手術的治癒率更高，患者自然希望採用微創手術。同樣的資料，用不同的表述方式得出了不同的結論。
三、籃球的命中率
現在，我們來看看詹姆斯和馬龍的投籃命中率問題。詹姆斯和馬龍都是著名的「長壽球員」，馬龍退役時四十歲，詹姆斯生於一九八四年，依然活躍在籃球場上。
如果除去罰球資料，統計在整個職業生涯（截至二○二一年）中詹姆斯和馬龍的投籃資料。
我們可以發現：單獨看兩分球，詹姆斯投出一萬九千二百四十五個，命中一萬零五百六十四個，命中率約54.9％，高於馬龍三個百分點；單獨看三分球，詹姆斯投出五千四百零九個，命中一千八百六十個，命中率約34.4％，高出馬龍七個百分點！既然兩分球和三分球，詹姆斯的命中率都更高，整體命中率應該也是詹姆斯更高才對。
可是事實並非如此。如果把兩分球和三分球加到一起，詹姆斯的平均命中率約50.4％，居然低於馬龍的51.6％。這也是辛普森悖論。
因個人的喜好不同，同樣的資料也可能會被賦予不同的解讀方式，如果更喜歡詹姆斯，就可以用兩分球和三分球的分層資料支援自己；同樣，如果喜歡馬龍，則可以只討論整體命中率。
有個小朋友和我說，他特別喜歡看籃球比賽，最喜歡的球星是湖人隊的勒布朗．詹姆斯（LeBron James）。他曾把詹姆斯和歷史上的著名球員卡爾．馬龍（Karl Malone）做比較，結果發現一個神奇的現象：整個生涯中，無論是兩分球的命中率還是三分球的命中率，詹姆斯都比馬龍高。但如果把兩分球和三分球加在一起，詹姆斯的命中率反而比馬龍低。這是怎麼回事呢？
實際上，這是統計學上的一個著名悖論—辛普森悖論。最早由愛德華．辛普森（Edward H. Simpson）在一九五一年發表的論文中進行了詳細闡述。辛普森悖論是指：進行統計比較時，如果對資料進行分層，統計結果與總體資料可能是不同的。
一、錄取比例問題
歷史上比較典型的辛普森悖論的例子，是美國加州大學柏克萊分校的錄取比例問題。柏克萊是美國的著名大學，截至二○二一年十月，建校一百多年來，一共誕生一百一十一位諾貝爾獎得主、十四位菲爾茲獎得主、二十五位圖靈獎得主。「原子彈之父」羅伯特．奧本海默（RobertOppenheimer）、著名華人物理學家朱棣文、華裔物理學家吳健雄，還有數學家丘成桐、陳省身，都在柏克萊學習和工作過。
可是一九七三年的秋天，柏克萊公布的研究生招生名單卻引起一場風波。那一年，許多女同學向學校表達強烈抗議，因為從招生名單來看，男生申請者中有44％被錄取，女生申請者只有35％被錄取，男生錄取率是女生的一．二五倍！簡直是赤裸裸的性別歧視！
壓力之下，柏克萊被迫展開調查，結果發現：許多學院招收學生時，反而是女生錄取比例更高。
我們用一些虛擬的資料來說明這個問題。假設有一百個男同學和一百個女同學申請柏克萊的研究生，分別申請物理學院和文學院。男生中有八十人申請物理學院，錄取三十八人；二十人申請文學院，錄取二人；女生中有二十人申請物理學院，錄取十四人；八十人申請文學院，錄取十六人。
先看分組比較資料：男生申請物理學院的通過率是47.5％，女生申請物理學院的通過率有70％，女生的通過率比男生高很多。男生申請文學院的錄取率為10％，女生的錄取率是20％，女生的通過率是男生的二倍。單獨從兩個學院的資料來看，好像不是女生受到歧視，反而是男生受到歧視。
但從總體錄取資料來看，提交申請的男生和女生都是一百人，男生有四十人被錄取，女生只有三十人被錄取，男生的錄取比例比女生多出1/3，這樣看來好像又變成歧視女性。
為什麼同一份資料卻得出兩種不同結論呢？這就是辛普森悖論。陰謀家們往往會利用辛普森悖論煽動大眾：如果我想批評柏克萊歧視男性，就可以隱藏總體錄取資料，只讓你看到每個學院的錄取資料—每個學院的女生錄取比例都比男生要高，這樣就可以呼籲男生起來對抗學校了。反過來，如果想批評柏克萊歧視女性，就可以避開每個學院的錄取資料，只給出總體錄取資料—同樣的人數申請同一所學校，憑什麼男生錄取比例比女生高1/3？這難道不是涉嫌歧視女性嗎？
二、腎結石的治癒率
辛普森悖論還有另一個典型案例—腎結石的治療方法。
腎結石患者往往需要透過手術的方法治療，手術方式有兩種：一種是開放手術，可能對人造成較大創傷；另一種方法是微創手術，用內視鏡把結石取出來，手術創傷較小。患者的結石情況也可分為小結石和大結石兩種，醫生會按照結石大小選擇不同的治療方案。
某位醫生對兩種治療方法的治癒率進行統計，開放手術和微創手術各三百五十例，前者二百七十三例有效，後者二百八十九例有效。
小結石患者中八十七人使用開放手術治療，治癒率約93％； 有二百七十人選擇微創手術，治癒率約87％。這樣來看，對於小結石患者，似乎開放治療的效果更好一點。
再看大結石患者：有二百六十三人選擇開放手術，治癒率約73％；有八十人選擇微創手術，治癒率約69％。大結石患者依然應該選用開放手術，因為它的治癒比例更高。
既然不管是大結石還是小結石，都是開放手術的治癒率更高，是否應該只給病人推薦開放手術呢？先別急，假如我們看一下總體資料，就會發現開放手術的平均治癒率為78％，而微創手術的平均治癒率約為83％，這樣一來，反而是封閉手術的效果更好。這又構成了辛普森悖論。
假如醫生想推薦開放手術，就可以只向患者展示分層資料。患者發現：不管大小結石，開放手術的治癒率都更高，肯定會傾向於開放療法。反過來，如果醫生想推薦微創手術，就會隱去分層資料，只給患者展示總體資料：同樣是三百五十名患者，微創手術的治癒率更高，患者自然希望採用微創手術。同樣的資料，用不同的表述方式得出了不同的結論。
三、籃球的命中率
現在，我們來看看詹姆斯和馬龍的投籃命中率問題。詹姆斯和馬龍都是著名的「長壽球員」，馬龍退役時四十歲，詹姆斯生於一九八四年，依然活躍在籃球場上。
如果除去罰球資料，統計在整個職業生涯（截至二○二一年）中詹姆斯和馬龍的投籃資料。
我們可以發現：單獨看兩分球，詹姆斯投出一萬九千二百四十五個，命中一萬零五百六十四個，命中率約54.9％，高於馬龍三個百分點；單獨看三分球，詹姆斯投出五千四百零九個，命中一千八百六十個，命中率約34.4％，高出馬龍七個百分點！既然兩分球和三分球，詹姆斯的命中率都更高，整體命中率應該也是詹姆斯更高才對。
可是事實並非如此。如果把兩分球和三分球加到一起，詹姆斯的平均命中率約50.4％，居然低於馬龍的51.6％。這也是辛普森悖論。
因個人的喜好不同，同樣的資料也可能會被賦予不同的解讀方式，如果更喜歡詹姆斯，就可以用兩分球和三分球的分層資料支援自己；同樣，如果喜歡馬龍，則可以只討論整體命中率。
