費曼的六堂Easy物理課
第1堂課 運動中的原子
物理該從哪兒學起？
我們提供這門連續兩年的物理學課程，是基於一個構想，那就是讀者你將來的志趣是要成為物理學家。當然這絕不意味著，將來不想要當物理學家的人就不該讀這部書。這只是每門課的任課教授一定都得這樣假設罷了！不過如果你果真要做物理學家的話，你可是有著一大堆東西該去學習的，因為過去兩百年來，物理學是發展得最快速的一門知識學問。累積知識之多，你會認為即使花四年時間也學習不完。事實上也確乎如此，欲窺全豹，四年之後你還得上研究所呢！
相當教人吃驚的是，雖然長久的兩百年時間內，世上的物理學家做了許許多多的研究，得到了的大量結果，卻可以大幅度的濃縮起來。也就是說，我們可以分門別類，把類似的結果歸納成各種簡單、明確的定律（law），來概述我們所有的知識。雖然話是這麼說，這些定律可是非常難以掌握，任何人若要開始研究這麼難的課題，最好得先準備一些諸如導引圖、大綱之類的基本資料，藉以明瞭科學各類課題之間的相互關係。基於這個粗淺的看法，我們將用前三堂課，把物理與其他科學之間的關係、各門科學的相互關係、以及科學的意義，描繪出一些輪廓來，幫助我們對這門課建立起一些「感覺」來。
你也許要問，為什麼我們不師法歐氏幾何學的方式？歐氏幾何學的做法是先陳述公理，然後做出各式各樣的演繹。我們可以從第1頁開始，就把物理學有關的一些基本定律逐條列舉出來，接著分別說明在所有可能情況下，它們各自如何運作。（啊！我知道了，你一定是嫌花四年學物理，時間太長，你是恨不得在四分鐘內，就能夠把物理學完吧？）我們有兩個理由不能夠這麼去做，第一，到目前為止，我們還不完全「知道」所有的基本定律，事實上，我們不知道的事情是愈來愈多。第二，要正確描述物理學的定律，得牽涉到一些非常稀奇古怪的觀念，而這些觀念的說明，需要用到高深的數學。因此，任何人學習物理學，得受相當多的預備訓練，即使學習有關的「詞彙」亦不例外。總之，學物理沒有捷徑，我們只能一點一滴慢慢來。
整個自然界中每一小件事物或零件，永遠只是跟絕對真實，或者應該說我們認知上的真實，僅僅「近似」（approximation）而已。事實上，我們以為我們所知道的每件事，都只能說是似乎是或差不多而已，其理由就在「我們確知我們並不清楚所有的定律」。如此一來，我們必須先有心理準備，好不容易學到的知識，不定何時又會被人發現不妥當，必須整個翻案或者局部修正。
我們幾幾乎乎可以把科學的主旨，定義為「一切知識有賴實驗來檢驗真偽」，或者說實驗是科學真理的「唯一裁判」。但是知識的源頭究竟是啥？而那些接受檢驗的定律又是從哪裡冒出來的？固然實驗本身藉由它的提示作用，賦予我們一些靈感，幫我們製造出這些定律來，但是在過程上，我們還需要有豐富的想像力，才能把實驗結果裡的許許多多提示，大而化之地歸納起來。也就是對隱藏在事物表面下，各種既奇妙、又單純、可是又非常怪異的共通模式，做概括性的揣測。然後再透過實驗去查核所揣測的是否正確。
這樣子的想像步驟著實是非常不容易，以致於做研究的物理學界人士，為之分成了兩個陣營。其一是理論物理學家，他們的工作是純想像、推演、猜想出新的定律來，但不作興做實驗。然後是實驗物理學家，他們則是從做實驗開始，想像、推演、再猜想出新的定律。
我們前面說過，自然律都只是些近似的揣測。通常我們會先發現一些「不太對的」定律，然後才發現一些「改正了的」定律。問題是實驗怎麼可能會搞成「不太對的」呢？首先是些小地方，譬如所用的儀器出了故障，而你可能沒有覺察到，以為儀器運作正常，哪知實驗結果完全荒腔走板。不過這點不難克服，只要經常仔細對照檢查，應能及時發現問題，就不會造成意外結果。
那麼如果可以肯定沒有這類小意外，實驗結果又如何「能夠」不太對呢？唯一的原因就是實驗做得不夠精確。比方說，以前人們發現，每一件物品的質量好像一直都不會改變，一個陀螺在旋轉時，重量跟它靜止時完全相同。因而早期人們發明了一則「定律」，說質量固定不變，與速度沒有關係。這則「定律」如今已經被人發現不對，質量實際上是跟著速度加快而在增加的，只是速度必須接近光速時，質量上的增加才能夠測量得出來。所以，改正後的定律應該是這麼說：要是一件物品的移動速率小於每秒一百英里，它的質量變化不會超過百萬分之一，用一般的測量方法無法量出來。在此預設條件下，我們姑且認為質量是固定不變的。
這樣的近似說法，就變成了對的定律。不過在實用上，有人可能認為，這個新的定律跟原來的並沒有什麼顯著差異。這樣子的認定是對也是不對，因為如果只是我們尋常見到的速率，就壓根兒不必計較，原先簡單的質量不變定律就差不到那裡去。但一旦速率變得很高時，質量不變定律就會顯得與事實不符，而且速率愈高，不對的程度也就愈大。
最後，也是最耐人尋味的一點是，以哲學觀點來看，任何近似定律都是我們對事實的徹底扭曲。因為即使變化非常微不足道，質量變抑或不變都會使得我們對整個世界產生截然不同的看法。這是藏在定律背後的哲學基礎或觀念所具有的特質，往往我們為著一丁點不起眼的效果，而必須在觀念上做極其重大的改革。
那麼我們應該先教些什麼呢？是一開始就把修正過、因而不再是一般人能夠視為當然的定律，以及它所秉持的一些稀奇、難懂的概念，介紹出來？比如相對論、四維的時空等等。還是先教些簡單易懂的如「質量不變」定律？雖然明知都只是一些近似的玩意兒，但好處是不牽涉到太困難的觀念問題。前者比較刺激、新奇、有趣，後者則比較容易一聽就懂，並且往往可做為真正了解新觀念的第一步。這項選擇題在教物理學時會一再出現，每次取捨則都得依情況而不同。不過在每一個階段裡，最好能夠了解到目前已經知道多少，所知道的有多精確，跟同時學到的其他東西如何互相配合。而且心裡上早有準備，學到後來，知道得更多之後，隨時還可能有變數發生。
現在我們就要開始，把現代科學知識的輪廓或大綱，描繪出或排列出來。此處當然是以物理學為主，而以其他科學為輔。目的是將來逐一討論特殊議題時，我們會對該議題的來龍去脈、有何重要性，以及跟整個科學大局有啥關聯，預先就有所了解。那麼就整體來看，世界究竟是個什麼樣子呢？
費曼的六堂Easy相對論
第6堂課 彎曲空間
二維的彎曲空間
根據牛頓的理論：萬物之間都有吸引力，強度跟兩物體之間的距離平方成反比；任何物體對力的反應則是加速度，而加速度跟所施加的力之大小成正比。
這兩個理論也就是牛頓的萬有引力定律與運動定律。我們知道這兩個定律講的，就是物質世界裡我們常見到的一切運動的原因，諸如撞球、行星、衛星、星系的運動等等。
愛因斯坦對重力定律有不同的解釋，依照他的理論，空間與時間必須合在一塊考量，構成所謂的時空，而此時空在巨大的質量附近會因而彎曲。這個彎曲，可不是牽涉在內的當事者蓄意，或是有什麼原因讓它改了道。對當事者來說，它走的仍是跟平常一樣筆直的「直線」，但是落到旁觀者眼裡就不是那麼回事了。這是一個非常非常複雜的觀念，在這最後一堂課裡，我們要把這個觀念好好解釋一下。
我們這堂課的主題本來應該分成三部分，其一是重力的影響，其二是關於我們已經研討過的時空觀念，最後才牽涉到時空彎曲的觀念。不過我們一開始就要把這個主題簡化，暫時先不去談重力，也略去時間方面的考量，而直接去探討彎曲空間。其他部分我們隨後也會談到，不過目前我們得先把全副心思集中在彎曲空間上，搞清楚彎曲空間到底是什麼意思，以及更確切的說，愛因斯坦到底是要用它來幹什麼？
不過即使問題已經簡縮到這麼小，要一下子直接用三維空間來考量，還是相當困難。所以我們又再退而求其次，把問題縮減到二維空間裡，來看看「彎曲空間」是什麼意思。
為了要瞭解二維的彎曲空間，我們還必須先有個認識，就是住在這種空間中，視野極為有限。為了符合實情，我們只得運用想像力，假設有一隻沒有長眼睛的蟲，像圖6-1所示，住在一個平面上。牠只能夠在該平面上移動，因而全然沒有機會或方法得知「外面的世界」（牠當然也沒有我們人類的想像力）。
我們當然是要以比喻來作解釋。就像我們住在一個三維的世界裡，而我們無法在熟悉的三維之外，憑空想像出另外一維來，所以我們只好用類比的方式，想出答案來。就好像我們是住在一個平面上的蟲，雖然平面之外另有空間，但卻因為感官上的不足，無緣從觀感去認識。所以我們只得先從蟲子的觀感研討起，記住牠必須待在自己的平面上，絕對無法離開。
另外一個也是屬於蟲子住在二維空間的例子，是我們假設牠住在一個球的表面上。我們想像牠能夠在球面上到處走動，就像圖6-2所畫的一樣，但是牠卻完全不能往「上」、往「下」、或是往「外」看。
接著我們要考慮的第三隻動物，牠依然是隻同樣的蟲子。也正如同第一隻蟲一樣，住在一個平面上。只是牠住的這塊平面有點奇特，平面上的溫度並非到處相同。還有這蟲子本身以及牠所持有的直尺，都是由同樣的物質構成，一加熱就會膨脹。任何時候只要牠用直尺去測量東西，這根直尺就會隨著被測地點的溫度而自動調整長度，熱脹冷縮。而且當這隻蟲把任何東西擺放在平面上時，包括牠自己、牠的直尺、以及其他任何東西，一切都會按照當地的溫度即刻自動膨脹或收縮。也就是每樣東西都會熱脹冷縮，並且每樣東西的膨脹係數都完全相同。
這第三隻蟲的家，我們簡稱為「熱板」。這個熱板也是滿特別的，中心部分溫度較低，愈往邊緣走，溫度就愈高（見圖6-3）。
現在我們得想像，這幾隻蟲開始上課念幾何學。雖然根據我們的假設，牠們都是瞎子，完全看不見「外面」的世界。但是牠們有腿、有觸鬚，並且個個能幹非常，牠們能畫線條，能製造直尺，並用直尺來量長度。
首先，我們假定牠們從最簡單的幾何概念開始，就是畫直線，當然直線的幾何定義不外是兩點之間最短的線。如圖6-4所示，我們的第一隻蟲很快就學會了畫很好的直線。
那麼，在球面上的第二隻蟲表現如何呢？牠按照定義所說，在兩點之間很滿意的畫了一條「直線」，如圖6-5所示，因為對牠來說，那是那兩點之間最短的距離，完全符合直線的要求。然而在我們看來，那根本不是一條直線嘛！但是由於這隻蟲不能離開球面，當然也就不可能發現，兩點之間「真的」還有一條更短的線。不過牠只知道在牠的世界裡，任何連接這兩點的線都比牠的那根「直線」長。所以我們也就不得不任由牠去，把兩點之間最短的圓弧當直線看待了！（當然此處所謂最短的圓弧，就是通過這兩點的大圓的弧。）
最後在圖6-3裡的第三隻蟲子，也會畫出我們看起來是曲線的「直線」來，就好像圖6-6裡所顯示的一樣，A與B之間的最短距離由這隻蟲量來，居然是條曲線。為什麼會這樣呢？
因為當牠量到熱板上溫度較高的部分時，牠的直尺發生了膨脹（這是從我們全知的觀點來看），所以當牠用一根直尺的長度，做為單位來量A與B之間的距離時，同樣的距離量出的單位數，在較熱的地方就會少些。對牠來說，這條線是直的沒錯，牠萬萬不會料到，有陌生的三維空間世界的高人在場，會選擇另一條量起來反而長了些的線為「直線」！
經過這樣子的解釋之後，我們希望你現在總該瞭解，此後的一切分析，永遠是站在特殊表面上的那隻蟲的觀點，而非我們的看法。有了這層認識之後，讓我們繼續來看，蟲子的幾何學還有些什麼奇怪現象。
第1堂課 運動中的原子
物理該從哪兒學起？
我們提供這門連續兩年的物理學課程，是基於一個構想，那就是讀者你將來的志趣是要成為物理學家。當然這絕不意味著，將來不想要當物理學家的人就不該讀這部書。這只是每門課的任課教授一定都得這樣假設罷了！不過如果你果真要做物理學家的話，你可是有著一大堆東西該去學習的，因為過去兩百年來，物理學是發展得最快速的一門知識學問。累積知識之多，你會認為即使花四年時間也學習不完。事實上也確乎如此，欲窺全豹，四年之後你還得上研究所呢！
相當教人吃驚的是，雖然長久的兩百年時間內，世上的物理學家做了許許多多的研究，得到了的大量結果，卻可以大幅度的濃縮起來。也就是說，我們可以分門別類，把類似的結果歸納成各種簡單、明確的定律（law），來概述我們所有的知識。雖然話是這麼說，這些定律可是非常難以掌握，任何人若要開始研究這麼難的課題，最好得先準備一些諸如導引圖、大綱之類的基本資料，藉以明瞭科學各類課題之間的相互關係。基於這個粗淺的看法，我們將用前三堂課，把物理與其他科學之間的關係、各門科學的相互關係、以及科學的意義，描繪出一些輪廓來，幫助我們對這門課建立起一些「感覺」來。
你也許要問，為什麼我們不師法歐氏幾何學的方式？歐氏幾何學的做法是先陳述公理，然後做出各式各樣的演繹。我們可以從第1頁開始，就把物理學有關的一些基本定律逐條列舉出來，接著分別說明在所有可能情況下，它們各自如何運作。（啊！我知道了，你一定是嫌花四年學物理，時間太長，你是恨不得在四分鐘內，就能夠把物理學完吧？）我們有兩個理由不能夠這麼去做，第一，到目前為止，我們還不完全「知道」所有的基本定律，事實上，我們不知道的事情是愈來愈多。第二，要正確描述物理學的定律，得牽涉到一些非常稀奇古怪的觀念，而這些觀念的說明，需要用到高深的數學。因此，任何人學習物理學，得受相當多的預備訓練，即使學習有關的「詞彙」亦不例外。總之，學物理沒有捷徑，我們只能一點一滴慢慢來。
整個自然界中每一小件事物或零件，永遠只是跟絕對真實，或者應該說我們認知上的真實，僅僅「近似」（approximation）而已。事實上，我們以為我們所知道的每件事，都只能說是似乎是或差不多而已，其理由就在「我們確知我們並不清楚所有的定律」。如此一來，我們必須先有心理準備，好不容易學到的知識，不定何時又會被人發現不妥當，必須整個翻案或者局部修正。
我們幾幾乎乎可以把科學的主旨，定義為「一切知識有賴實驗來檢驗真偽」，或者說實驗是科學真理的「唯一裁判」。但是知識的源頭究竟是啥？而那些接受檢驗的定律又是從哪裡冒出來的？固然實驗本身藉由它的提示作用，賦予我們一些靈感，幫我們製造出這些定律來，但是在過程上，我們還需要有豐富的想像力，才能把實驗結果裡的許許多多提示，大而化之地歸納起來。也就是對隱藏在事物表面下，各種既奇妙、又單純、可是又非常怪異的共通模式，做概括性的揣測。然後再透過實驗去查核所揣測的是否正確。
這樣子的想像步驟著實是非常不容易，以致於做研究的物理學界人士，為之分成了兩個陣營。其一是理論物理學家，他們的工作是純想像、推演、猜想出新的定律來，但不作興做實驗。然後是實驗物理學家，他們則是從做實驗開始，想像、推演、再猜想出新的定律。
我們前面說過，自然律都只是些近似的揣測。通常我們會先發現一些「不太對的」定律，然後才發現一些「改正了的」定律。問題是實驗怎麼可能會搞成「不太對的」呢？首先是些小地方，譬如所用的儀器出了故障，而你可能沒有覺察到，以為儀器運作正常，哪知實驗結果完全荒腔走板。不過這點不難克服，只要經常仔細對照檢查，應能及時發現問題，就不會造成意外結果。
那麼如果可以肯定沒有這類小意外，實驗結果又如何「能夠」不太對呢？唯一的原因就是實驗做得不夠精確。比方說，以前人們發現，每一件物品的質量好像一直都不會改變，一個陀螺在旋轉時，重量跟它靜止時完全相同。因而早期人們發明了一則「定律」，說質量固定不變，與速度沒有關係。這則「定律」如今已經被人發現不對，質量實際上是跟著速度加快而在增加的，只是速度必須接近光速時，質量上的增加才能夠測量得出來。所以，改正後的定律應該是這麼說：要是一件物品的移動速率小於每秒一百英里，它的質量變化不會超過百萬分之一，用一般的測量方法無法量出來。在此預設條件下，我們姑且認為質量是固定不變的。
這樣的近似說法，就變成了對的定律。不過在實用上，有人可能認為，這個新的定律跟原來的並沒有什麼顯著差異。這樣子的認定是對也是不對，因為如果只是我們尋常見到的速率，就壓根兒不必計較，原先簡單的質量不變定律就差不到那裡去。但一旦速率變得很高時，質量不變定律就會顯得與事實不符，而且速率愈高，不對的程度也就愈大。
最後，也是最耐人尋味的一點是，以哲學觀點來看，任何近似定律都是我們對事實的徹底扭曲。因為即使變化非常微不足道，質量變抑或不變都會使得我們對整個世界產生截然不同的看法。這是藏在定律背後的哲學基礎或觀念所具有的特質，往往我們為著一丁點不起眼的效果，而必須在觀念上做極其重大的改革。
那麼我們應該先教些什麼呢？是一開始就把修正過、因而不再是一般人能夠視為當然的定律，以及它所秉持的一些稀奇、難懂的概念，介紹出來？比如相對論、四維的時空等等。還是先教些簡單易懂的如「質量不變」定律？雖然明知都只是一些近似的玩意兒，但好處是不牽涉到太困難的觀念問題。前者比較刺激、新奇、有趣，後者則比較容易一聽就懂，並且往往可做為真正了解新觀念的第一步。這項選擇題在教物理學時會一再出現，每次取捨則都得依情況而不同。不過在每一個階段裡，最好能夠了解到目前已經知道多少，所知道的有多精確，跟同時學到的其他東西如何互相配合。而且心裡上早有準備，學到後來，知道得更多之後，隨時還可能有變數發生。
現在我們就要開始，把現代科學知識的輪廓或大綱，描繪出或排列出來。此處當然是以物理學為主，而以其他科學為輔。目的是將來逐一討論特殊議題時，我們會對該議題的來龍去脈、有何重要性，以及跟整個科學大局有啥關聯，預先就有所了解。那麼就整體來看，世界究竟是個什麼樣子呢？
費曼的六堂Easy相對論
第6堂課 彎曲空間
二維的彎曲空間
根據牛頓的理論：萬物之間都有吸引力，強度跟兩物體之間的距離平方成反比；任何物體對力的反應則是加速度，而加速度跟所施加的力之大小成正比。
這兩個理論也就是牛頓的萬有引力定律與運動定律。我們知道這兩個定律講的，就是物質世界裡我們常見到的一切運動的原因，諸如撞球、行星、衛星、星系的運動等等。
愛因斯坦對重力定律有不同的解釋，依照他的理論，空間與時間必須合在一塊考量，構成所謂的時空，而此時空在巨大的質量附近會因而彎曲。這個彎曲，可不是牽涉在內的當事者蓄意，或是有什麼原因讓它改了道。對當事者來說，它走的仍是跟平常一樣筆直的「直線」，但是落到旁觀者眼裡就不是那麼回事了。這是一個非常非常複雜的觀念，在這最後一堂課裡，我們要把這個觀念好好解釋一下。
我們這堂課的主題本來應該分成三部分，其一是重力的影響，其二是關於我們已經研討過的時空觀念，最後才牽涉到時空彎曲的觀念。不過我們一開始就要把這個主題簡化，暫時先不去談重力，也略去時間方面的考量，而直接去探討彎曲空間。其他部分我們隨後也會談到，不過目前我們得先把全副心思集中在彎曲空間上，搞清楚彎曲空間到底是什麼意思，以及更確切的說，愛因斯坦到底是要用它來幹什麼？
不過即使問題已經簡縮到這麼小，要一下子直接用三維空間來考量，還是相當困難。所以我們又再退而求其次，把問題縮減到二維空間裡，來看看「彎曲空間」是什麼意思。
為了要瞭解二維的彎曲空間，我們還必須先有個認識，就是住在這種空間中，視野極為有限。為了符合實情，我們只得運用想像力，假設有一隻沒有長眼睛的蟲，像圖6-1所示，住在一個平面上。牠只能夠在該平面上移動，因而全然沒有機會或方法得知「外面的世界」（牠當然也沒有我們人類的想像力）。
我們當然是要以比喻來作解釋。就像我們住在一個三維的世界裡，而我們無法在熟悉的三維之外，憑空想像出另外一維來，所以我們只好用類比的方式，想出答案來。就好像我們是住在一個平面上的蟲，雖然平面之外另有空間，但卻因為感官上的不足，無緣從觀感去認識。所以我們只得先從蟲子的觀感研討起，記住牠必須待在自己的平面上，絕對無法離開。
另外一個也是屬於蟲子住在二維空間的例子，是我們假設牠住在一個球的表面上。我們想像牠能夠在球面上到處走動，就像圖6-2所畫的一樣，但是牠卻完全不能往「上」、往「下」、或是往「外」看。
接著我們要考慮的第三隻動物，牠依然是隻同樣的蟲子。也正如同第一隻蟲一樣，住在一個平面上。只是牠住的這塊平面有點奇特，平面上的溫度並非到處相同。還有這蟲子本身以及牠所持有的直尺，都是由同樣的物質構成，一加熱就會膨脹。任何時候只要牠用直尺去測量東西，這根直尺就會隨著被測地點的溫度而自動調整長度，熱脹冷縮。而且當這隻蟲把任何東西擺放在平面上時，包括牠自己、牠的直尺、以及其他任何東西，一切都會按照當地的溫度即刻自動膨脹或收縮。也就是每樣東西都會熱脹冷縮，並且每樣東西的膨脹係數都完全相同。
這第三隻蟲的家，我們簡稱為「熱板」。這個熱板也是滿特別的，中心部分溫度較低，愈往邊緣走，溫度就愈高（見圖6-3）。
現在我們得想像，這幾隻蟲開始上課念幾何學。雖然根據我們的假設，牠們都是瞎子，完全看不見「外面」的世界。但是牠們有腿、有觸鬚，並且個個能幹非常，牠們能畫線條，能製造直尺，並用直尺來量長度。
首先，我們假定牠們從最簡單的幾何概念開始，就是畫直線，當然直線的幾何定義不外是兩點之間最短的線。如圖6-4所示，我們的第一隻蟲很快就學會了畫很好的直線。
那麼，在球面上的第二隻蟲表現如何呢？牠按照定義所說，在兩點之間很滿意的畫了一條「直線」，如圖6-5所示，因為對牠來說，那是那兩點之間最短的距離，完全符合直線的要求。然而在我們看來，那根本不是一條直線嘛！但是由於這隻蟲不能離開球面，當然也就不可能發現，兩點之間「真的」還有一條更短的線。不過牠只知道在牠的世界裡，任何連接這兩點的線都比牠的那根「直線」長。所以我們也就不得不任由牠去，把兩點之間最短的圓弧當直線看待了！（當然此處所謂最短的圓弧，就是通過這兩點的大圓的弧。）
最後在圖6-3裡的第三隻蟲子，也會畫出我們看起來是曲線的「直線」來，就好像圖6-6裡所顯示的一樣，A與B之間的最短距離由這隻蟲量來，居然是條曲線。為什麼會這樣呢？
因為當牠量到熱板上溫度較高的部分時，牠的直尺發生了膨脹（這是從我們全知的觀點來看），所以當牠用一根直尺的長度，做為單位來量A與B之間的距離時，同樣的距離量出的單位數，在較熱的地方就會少些。對牠來說，這條線是直的沒錯，牠萬萬不會料到，有陌生的三維空間世界的高人在場，會選擇另一條量起來反而長了些的線為「直線」！
經過這樣子的解釋之後，我們希望你現在總該瞭解，此後的一切分析，永遠是站在特殊表面上的那隻蟲的觀點，而非我們的看法。有了這層認識之後，讓我們繼續來看，蟲子的幾何學還有些什麼奇怪現象。
