第3章 指數成長
在我們的生活中，最重要、但也最常被誤解的概念之一，便是「指數函數」的性質。你大概聽過這個名詞，也許是報紙科技版的某則報導使用了這個名詞，但完全沒有對它作出任何解釋，或是你向銀行申請貸款時看到「複利」這個名詞。它們的重要含義往往被略過，鮮少有人解釋其真正意涵，但它們遍及生活、經濟，以及我們未來必須作出的決策等每個層面中。在繼續本書的分析與探討之前，我們必須先了解指數函數的功效。
科羅拉多大學波德分校（University of Colorado Boulder）已故物理系榮譽教授艾伯特．巴特雷特（Albert Bartlett）在一場著名演講中說：「人類最大的缺點是未能了解指數函數」，這絕非輕率之言。巴特雷特自1969年起，針對算術、人口和能源等主題演講超過一千七百多次，意圖提醒更多人有關未能了解這最重要概念可能導致的危險性。
我希望你在讀完這章後能夠清楚了解指數函數，不論你擁有哲學學位或經濟學學位，不論你是大學中輟生、教育程度低的失業者，或是大學教授或跨國企業執行長，都可能未充分了解指數成長的含義。但徹底了解指數成長的含義，是非常重要的事。
我曾對形形色色的聽眾做過許多演講，我發現，就算在教育程度最高的人當中，也有人連很簡單的指數成長例子都搞不懂。但是，若給予適當解釋，人人都能理解。這使我燃起希望，因為促使所有人了解指數成長的含義，了解未來持續呈現指數成長將會產生什麼後果，這件事非常重要。
我也嘮叨夠了，我們趕快開始吧。
指數函數被用以形容任何事物持續穩定成長的程度，例如你貸款購買一棟房屋，銀行索取貸款利率7％，這意味的是，你每年得償還銀行的錢增長7％。頭一年的還款金額只有稍微增加，債務總額成長為原始本金的107％，但第二年用此債務總額、而非原始本金來滾利息，亦即原始本金的107％再乘以7％，翌年又以此總額再乘以7％，以此類推。你能想像二十年後變成多少嗎？除非你在大學讀過統計學，否則恐怕不大容易。我不想在此探討指數函數的數學，雖然這很有趣，我也建議有興趣的讀者可以自行去探索，但我在這裡的目的是想以清楚、有效的方式幫助各位了解相關概念，所以這裡要提供一個隨時可用的簡單公式，各位只需要具備小一生的算數技巧就行了。
一個數值以固定速率成長，若你想知道此數值需要歷經多久時間後才能增倍，你只需要把70除以成長率即可，這就叫做「倍增時間」（doubling time）：
倍增時間＝70／固定成長率
回到前述的例子，年成長率為7％，聽起來並不多，對吧？現在，把70除以7，得出10，亦即經過十年，欠銀行的錢就會倍增。
這看起來相當簡單，不是嗎？當然，因為這的確是很簡單的計算，10歲小孩也能輕鬆算出，但全球多數的政治人物、政策決策者、都市規劃師和經濟學家卻不了解。其實，任何一位經濟學家一定在大學時上過統計學，「70法則」（rule of 70）或是此法則的延伸版本也廣為學者所知，所以他們知道這個概念。但是，計算容易執行，歷時倍增的含義，就遠遠不是那麼容易了解，所以經常被誤解。
了解本金倍增的概念和計算方法後，我們現在來探討這種歷時倍增的效果。設若我們向銀行貸款了10萬美元，利率7％，如前所述，只須歷經十年，我們的欠款就會變成20萬美元，亦即本金的兩倍。那麼，二十年後呢？欠款將不是變成30萬美元，而是40萬美元，亦即20萬美元的兩倍。那麼，三十年後呢？欠款將變成80萬美元！四十年後則變成160萬美元！再過些年，你的欠款將增加到超過你一輩子所能賺到的錢。所幸，絕大多數的貸款都不會超過三十年期。然而，抵押貸款以外，其他可能成長超過三十年的事物呢？請將安全帶繫好，現在才正要進入飛速階段呢。爆炸性成長
指數成長絕對不是什麼新概念，它遠溯至數千年前。相傳西洋棋的發明者（有人說他是古印度的一位數學家），向國王展示他發明的這種遊戲，國王很高興，便讓發明者自己選擇獎賞。這位聰明過人的發明者，遂請求國王賜予這項獎賞：在棋盤的第一個方格上放1顆麥子，第二天在棋盤的第二個方格上放2顆麥子，第三天在棋盤的第三個方格上放4顆麥子，以此類推，每天在棋盤的下一個方格上放兩倍於前一個方格數量的麥子。
對指數函數的威力毫無概念的國王爽快應允，甚至覺得這位發明者請求這麼微不足道的獎賞，似乎有點瞧不起國王。他下令司庫每天點數麥子，交給這位發明者。起初幾天，發明者只收到少量麥子，國王困惑不解。一週後，發明者開始把大袋麥子扛回家，再過幾天……，你知道結果了吧？第一天1顆，第二天2顆，第三天4顆，接著是8、16、32、64、128、256、512……，才十天，就從一顆麥子增加到1024顆麥子，十次倍增就達到初始數量的一千倍。但好戲才剛要開始，再倍增十次，就來到了100萬顆麥子；再倍增十次，來到了10億顆麥子，然後是1兆……，咱們就此打住，這數字的計算已經超出了我們腦力的極限。
演算法改變世界
學習演算法的準確度與性能天天都在進步，五、六年前，它們很鬆散，得出的結果很差；如今，情況快速改變。從前，不論你身在何處，每個人使用谷歌搜尋獲得的結果都相同；如今，可能每個人獲得的谷歌搜尋結果都不會一模一樣，你獲得的是個人化的搜尋結果，系統進行搜尋後呈現給你最可能感興趣的網頁，這是根據多項標準演算出來的結果。
比方說，你現在想搜尋披薩店。谷歌搜尋引擎的演算法檢視你的IP位址，使用全球定位系統（GPS）技術定義你的地理位置，呈現你的所在地的最優先搜尋結果。如果你有谷歌帳號，他們會檢視你先前所有的搜尋歷史、你曾經點選過的連結、在何時點選、點選了多少次、你造訪最多或最少次的網域等，他們也會知道你是男性或女性、年輕或年老，並且根據這些資訊將搜尋縮窄至更個人化的結果。
如果你有Gmail帳號，他們會知道關於你的習慣、你造訪過的地方、你希望造訪的地方、你經常交談的對象等，然後交叉參照搜尋，善加利用這些資料。當然，這裡所謂的「他們」，並不是指任何人，沒有人會去看你的個人檔案、你的數據資料、你的搜尋歷史或你的習慣，這將違反隱私法。我所謂的「他們」，指的是「電腦程式」。前述情節每天發生幾十億次，每次只須使用毫秒或更少的時間。除了不能讓任何人去做這些事，以免違反隱私法；事實上，也不可能以人為監督方式做到這些事。但這些程式天天都在學習有關我們的新事物。
另一個重要的差異是，電腦能夠學習得更快，學習量也幾乎沒有上限——因為電腦運算力和記憶體容量分別都呈現指數成長。教一個小孩學習語言、讀寫文字、辨識東西，必須花上數年的時間。學習高階技能需要花費的時間更長，想成為一名合格醫師，必須花費二十幾年的時間學習並累積經驗。若某天這位醫師死了，或是決定不再工作，或者要長久休假或退休了，必須再花上另外二十年來培養取代他的人。醫學專業也許明顯進步，但要達到現有水準所需經歷的時間，並無多大變化。反觀電腦就沒有這些限制，一開始也許會花很多時間，但一旦獲得進展，就會在整個網絡中散播。另一部電腦不需要從頭學習一切，只須連結到現有網絡，載取其他電腦取得的資訊即可。
當然，使用什麼演算法非常重要，如果演算法很差，就不會得出好成果。但是，在過去十年，真正作出重要貢獻的，是可供我們使用的龐大資料量。我們被種種資料淹沒，資料量多到我們沒有足夠的腦力去分析、理解全部資料。過去幾年，來自各種源頭的公開資料湧現，包含政府單位、非政府組織、公立圖書館，以及即時蒐集民眾資料的私人部門網站。我們只是平凡地過著生活，就創造出這個巨量的集體知識資料庫。我們發布的每一條推文、進行的每一個搜尋、上傳的相片、在社群網站上加入的朋友、造訪過的每個地方、撥打的每通電話等，全都在餵養這部經由全球各地數十億台透過網際網路彼此連結的電腦所形成的巨大、分散式超級電腦。
你可能想知道，人工智慧系統已經發展到什麼程度了？是否已經達到人類水準的智能？若還未達到，有朝一日會達到嗎？現在，已經有哪些人工智慧技術了？
就目前而言，你可以放心，人工智慧系統離人類水準的通用型智能（general purpose intelligence）境界還遠得很。不過，它們進化快速，有人預測到了2030年，它們將達到此水準，甚至超越人類的智能。也有人不認同這種預測，誰對誰錯，只有時間能告訴我們。
此時，我們能確知的是，在特定功能型智能（task-specific intelligence）方面，已經有超越人類水準的人工智慧系統了。在第7章，我們要探討的主題便是自動化的發展現況。
在我們的生活中，最重要、但也最常被誤解的概念之一，便是「指數函數」的性質。你大概聽過這個名詞，也許是報紙科技版的某則報導使用了這個名詞，但完全沒有對它作出任何解釋，或是你向銀行申請貸款時看到「複利」這個名詞。它們的重要含義往往被略過，鮮少有人解釋其真正意涵，但它們遍及生活、經濟，以及我們未來必須作出的決策等每個層面中。在繼續本書的分析與探討之前，我們必須先了解指數函數的功效。
科羅拉多大學波德分校（University of Colorado Boulder）已故物理系榮譽教授艾伯特．巴特雷特（Albert Bartlett）在一場著名演講中說：「人類最大的缺點是未能了解指數函數」，這絕非輕率之言。巴特雷特自1969年起，針對算術、人口和能源等主題演講超過一千七百多次，意圖提醒更多人有關未能了解這最重要概念可能導致的危險性。
我希望你在讀完這章後能夠清楚了解指數函數，不論你擁有哲學學位或經濟學學位，不論你是大學中輟生、教育程度低的失業者，或是大學教授或跨國企業執行長，都可能未充分了解指數成長的含義。但徹底了解指數成長的含義，是非常重要的事。
我曾對形形色色的聽眾做過許多演講，我發現，就算在教育程度最高的人當中，也有人連很簡單的指數成長例子都搞不懂。但是，若給予適當解釋，人人都能理解。這使我燃起希望，因為促使所有人了解指數成長的含義，了解未來持續呈現指數成長將會產生什麼後果，這件事非常重要。
我也嘮叨夠了，我們趕快開始吧。
指數函數被用以形容任何事物持續穩定成長的程度，例如你貸款購買一棟房屋，銀行索取貸款利率7％，這意味的是，你每年得償還銀行的錢增長7％。頭一年的還款金額只有稍微增加，債務總額成長為原始本金的107％，但第二年用此債務總額、而非原始本金來滾利息，亦即原始本金的107％再乘以7％，翌年又以此總額再乘以7％，以此類推。你能想像二十年後變成多少嗎？除非你在大學讀過統計學，否則恐怕不大容易。我不想在此探討指數函數的數學，雖然這很有趣，我也建議有興趣的讀者可以自行去探索，但我在這裡的目的是想以清楚、有效的方式幫助各位了解相關概念，所以這裡要提供一個隨時可用的簡單公式，各位只需要具備小一生的算數技巧就行了。
一個數值以固定速率成長，若你想知道此數值需要歷經多久時間後才能增倍，你只需要把70除以成長率即可，這就叫做「倍增時間」（doubling time）：
倍增時間＝70／固定成長率
回到前述的例子，年成長率為7％，聽起來並不多，對吧？現在，把70除以7，得出10，亦即經過十年，欠銀行的錢就會倍增。
這看起來相當簡單，不是嗎？當然，因為這的確是很簡單的計算，10歲小孩也能輕鬆算出，但全球多數的政治人物、政策決策者、都市規劃師和經濟學家卻不了解。其實，任何一位經濟學家一定在大學時上過統計學，「70法則」（rule of 70）或是此法則的延伸版本也廣為學者所知，所以他們知道這個概念。但是，計算容易執行，歷時倍增的含義，就遠遠不是那麼容易了解，所以經常被誤解。
了解本金倍增的概念和計算方法後，我們現在來探討這種歷時倍增的效果。設若我們向銀行貸款了10萬美元，利率7％，如前所述，只須歷經十年，我們的欠款就會變成20萬美元，亦即本金的兩倍。那麼，二十年後呢？欠款將不是變成30萬美元，而是40萬美元，亦即20萬美元的兩倍。那麼，三十年後呢？欠款將變成80萬美元！四十年後則變成160萬美元！再過些年，你的欠款將增加到超過你一輩子所能賺到的錢。所幸，絕大多數的貸款都不會超過三十年期。然而，抵押貸款以外，其他可能成長超過三十年的事物呢？請將安全帶繫好，現在才正要進入飛速階段呢。爆炸性成長
指數成長絕對不是什麼新概念，它遠溯至數千年前。相傳西洋棋的發明者（有人說他是古印度的一位數學家），向國王展示他發明的這種遊戲，國王很高興，便讓發明者自己選擇獎賞。這位聰明過人的發明者，遂請求國王賜予這項獎賞：在棋盤的第一個方格上放1顆麥子，第二天在棋盤的第二個方格上放2顆麥子，第三天在棋盤的第三個方格上放4顆麥子，以此類推，每天在棋盤的下一個方格上放兩倍於前一個方格數量的麥子。
對指數函數的威力毫無概念的國王爽快應允，甚至覺得這位發明者請求這麼微不足道的獎賞，似乎有點瞧不起國王。他下令司庫每天點數麥子，交給這位發明者。起初幾天，發明者只收到少量麥子，國王困惑不解。一週後，發明者開始把大袋麥子扛回家，再過幾天……，你知道結果了吧？第一天1顆，第二天2顆，第三天4顆，接著是8、16、32、64、128、256、512……，才十天，就從一顆麥子增加到1024顆麥子，十次倍增就達到初始數量的一千倍。但好戲才剛要開始，再倍增十次，就來到了100萬顆麥子；再倍增十次，來到了10億顆麥子，然後是1兆……，咱們就此打住，這數字的計算已經超出了我們腦力的極限。
演算法改變世界
學習演算法的準確度與性能天天都在進步，五、六年前，它們很鬆散，得出的結果很差；如今，情況快速改變。從前，不論你身在何處，每個人使用谷歌搜尋獲得的結果都相同；如今，可能每個人獲得的谷歌搜尋結果都不會一模一樣，你獲得的是個人化的搜尋結果，系統進行搜尋後呈現給你最可能感興趣的網頁，這是根據多項標準演算出來的結果。
比方說，你現在想搜尋披薩店。谷歌搜尋引擎的演算法檢視你的IP位址，使用全球定位系統（GPS）技術定義你的地理位置，呈現你的所在地的最優先搜尋結果。如果你有谷歌帳號，他們會檢視你先前所有的搜尋歷史、你曾經點選過的連結、在何時點選、點選了多少次、你造訪最多或最少次的網域等，他們也會知道你是男性或女性、年輕或年老，並且根據這些資訊將搜尋縮窄至更個人化的結果。
如果你有Gmail帳號，他們會知道關於你的習慣、你造訪過的地方、你希望造訪的地方、你經常交談的對象等，然後交叉參照搜尋，善加利用這些資料。當然，這裡所謂的「他們」，並不是指任何人，沒有人會去看你的個人檔案、你的數據資料、你的搜尋歷史或你的習慣，這將違反隱私法。我所謂的「他們」，指的是「電腦程式」。前述情節每天發生幾十億次，每次只須使用毫秒或更少的時間。除了不能讓任何人去做這些事，以免違反隱私法；事實上，也不可能以人為監督方式做到這些事。但這些程式天天都在學習有關我們的新事物。
另一個重要的差異是，電腦能夠學習得更快，學習量也幾乎沒有上限——因為電腦運算力和記憶體容量分別都呈現指數成長。教一個小孩學習語言、讀寫文字、辨識東西，必須花上數年的時間。學習高階技能需要花費的時間更長，想成為一名合格醫師，必須花費二十幾年的時間學習並累積經驗。若某天這位醫師死了，或是決定不再工作，或者要長久休假或退休了，必須再花上另外二十年來培養取代他的人。醫學專業也許明顯進步，但要達到現有水準所需經歷的時間，並無多大變化。反觀電腦就沒有這些限制，一開始也許會花很多時間，但一旦獲得進展，就會在整個網絡中散播。另一部電腦不需要從頭學習一切，只須連結到現有網絡，載取其他電腦取得的資訊即可。
當然，使用什麼演算法非常重要，如果演算法很差，就不會得出好成果。但是，在過去十年，真正作出重要貢獻的，是可供我們使用的龐大資料量。我們被種種資料淹沒，資料量多到我們沒有足夠的腦力去分析、理解全部資料。過去幾年，來自各種源頭的公開資料湧現，包含政府單位、非政府組織、公立圖書館，以及即時蒐集民眾資料的私人部門網站。我們只是平凡地過著生活，就創造出這個巨量的集體知識資料庫。我們發布的每一條推文、進行的每一個搜尋、上傳的相片、在社群網站上加入的朋友、造訪過的每個地方、撥打的每通電話等，全都在餵養這部經由全球各地數十億台透過網際網路彼此連結的電腦所形成的巨大、分散式超級電腦。
你可能想知道，人工智慧系統已經發展到什麼程度了？是否已經達到人類水準的智能？若還未達到，有朝一日會達到嗎？現在，已經有哪些人工智慧技術了？
就目前而言，你可以放心，人工智慧系統離人類水準的通用型智能（general purpose intelligence）境界還遠得很。不過，它們進化快速，有人預測到了2030年，它們將達到此水準，甚至超越人類的智能。也有人不認同這種預測，誰對誰錯，只有時間能告訴我們。
此時，我們能確知的是，在特定功能型智能（task-specific intelligence）方面，已經有超越人類水準的人工智慧系統了。在第7章，我們要探討的主題便是自動化的發展現況。
