第一章
數字也會說謊
有人說，如果你想要讓人相信一句非常荒誕的話，只需要在裡面加上一個數字就可以了。這句話看似非常不可靠，你可能會不屑一顧，但你一定在生活中也時常受到這樣的欺騙。數字，本身是非常讓人信任、充滿精確性的符號，卻在欺騙上頗有造詣。這其實不是數字的錯，而是由於人的意識、認知而造成的。
一、數字並不是你看起來那麼龐大
老師拿來了一大袋糖果，我估計能分五六塊吧……
二〇一三年中國GDP為九點二四萬億美元……
每六個人可以讓互不相識的兩個人建立聯繫……
天文數字，是我們在形容一個數字非常大時經常使用的詞語。這個詞語道出了我們對大數字的敬仰之心，似乎數字的大已經超出人類認知的尺度。但是在我們看到那些所謂的天文數字時，我們首先要問自己一句話：「這個數字大不大？」
數字後面有很多零，會讓很多人覺得這個數字非常大，但這樣的數字除了吸引人們的注意以外，還可能是要提出警告。但就數字本身而言，這是毫無意義的。
（一）網路上的「大數字」
行動網路時代，春節是幾家大型網路平台的紅包爭奪戰場。用戶在此期間樂此不疲的搶紅包。搶紅包儼然成了春節的符號化活動，風頭甚至蓋過了春晚。
但在搶紅包過程中，大家可能發現了一個有趣的現象：公司派出一千萬元甚至上億元的紅包，但你就是搶不到，就算搶到了也只是一至二元，甚至是幾分錢或者是代金券。可能你的手都快戳破螢幕了，手指都磨紅了，眼圈都脹紫了，收穫就是不大，空歡喜一場。
這就是「大數字」的假象。
雖然紅包金額總量在一千萬元，幾乎每一個用戶在剛開始的時候，都會天真的在意識深處認為自己能單獨搶到這個一千萬元，可是不要忘了，這個紅包是面對數億網友發送的，這樣算下來的話，平均每個人分到的金額就是幾毛錢或幾分錢。
更令你感到諷刺的是，你搶中的金額非常少，但它還可能是代金券，而且代金券不是零食、日用品的代金券，而可能是波音飛機、知名汽車或者出國旅遊的代金券，真是氣死你不償命啊！
說白了，這是由某網路公司不正確的紅包玩法所導致的，就算發送五億元的紅包，平均下來每個用戶也只能分到幾塊錢而已。作為用戶的我們也不必較真，在下次看到的時候擺正心態，圖個樂子就好了。
（二）教育中的「大數字」
二〇〇七年一月，英國政府宣布，即將在小學投入一千萬英鎊的預算，目的是「振興小學的音樂教育」。這個數字看起來很大，但是不要忽視學生的數量。英國總共有一千萬名學生，一半是小學生，將一千萬英鎊分給五百萬個小學生，平均每名小學生只有兩英鎊，那這樣還怎麼振興他們的音樂教育呢？恐怕連聽一場兒童音樂會都不能吧？
也許當你聽到全國性的數字時，大腦中立刻會失去判斷能力。你認為自己只是一個老老實實做本分生意的人，那個可是上千萬甚至上億的數字啊。可是，你要知道，那個數字不全都是你的，你要學會把它個人化，你得將它平均劃分，而不是拿來和自己的帳戶餘額相比。因為，不管餅多大，如果每個人只能分到一粒碎渣的話，那這張餅就是小的。
數字的大與小是相對的，剛剛我們說過了「大」數字的小，接下來我們談一談「小」數字的大。
在二〇〇五年，英國的一家報紙在頭版刊登了一則消息，稱政府打算將退休年齡提高兩歲。這篇報導稱，假如政府通過這項法案，那麼原本可以領到退休金的老人中，每五人就會有一人來不及領退休金便去世。五分之一，這個數字看起來不大吧，可是英國全國的老年人人數眾多，由於基數很大，透過這個比例算出來的數也不會小。
（三）生活中的「大」數字
看下面這個問題：
假如某件商品增加五〇％的量，但不加價；另一件同款商品降價三三％，你會選擇哪一個？
大部分自以為很聰明的消費者會毫不猶豫的選擇第一種商品，因為它的數字看起來更大。
但事實可不是這樣的。
《經濟學人》雜誌將這種現象稱為「增數盲點」。其實商品增加五〇％的量不加價和降價三三％是一樣的。研究者特地做了一項實驗，詢問消費者你想要加量五〇％的商品還是降價三三％的商品？大部分消費者看到這個數字，竟然感覺價格是一模一樣的，但事實是降價三三％更划算一些。
這個現象不僅反映了人們對大數有錯覺，更能反映出人們懶得將數字計算出來。
衣服在打折時，連續打兩次折，第一次打八折，第二次打八五折，其實總共打了六折。但是，大部分消費者卻認為兩次打折比六折還要便宜。這說明，大部分人不願意去計算結果，才會被數字誤導。
其實，只要帶上計算機，看到數字先按一下計算機，算出結果，就不至於被數字誤導了。
（四）缺乏對比，數字大小未可知
讓我們來看下面的數字：
1F、0.1g、3600000J、380000km
第一印象上，你會覺得前兩個數字很小，後兩個數字很大。但是答案正好相反。
1F其實是一法拉，是電容的量。由於我們對這種事物不熟悉，所以總會主觀臆斷，只看絕對數字。其實1F很大，地球電容差不多就是1F，而一般電容的單位是μF，即10-6F（十萬分之一法拉）。
「g」是一個重量單位，克，這我們都知道，但越是熟悉的事物越容易遭遇陷阱。如果說這個數量出現在查酒駕時就是很大的數字了。因為每百毫升血液裡酒精含量達到八十毫克即為醉酒駕車，而零點一克則遠遠超出了規定的範圍。
「0」經常集群跟在某一個數字後面虛張聲勢，看起來是一個天文數字。其實3600000J只是一度電而已。
380000km是地球到月球的距離，看起來很遠，是吧？但要是放到宇宙這個範圍內，這個距離就跟沒有距離一樣。
新聞報導中經常會出現天文數字：一個港口年吞吐量××噸，一個天文數字；今年保障性住房規劃建設有××面積，一個天文數字；人的腦容量相當於××本書，一個天文數字……這些天文數字已經遠遠超出我們的認知範圍，我們甚至連數量級都猜不準。電視上公布這些數字就像對小學生講微積分一樣可笑。你興奮的說著，我只有張著嘴感嘆。可見，缺少對比的絕對數字在不經意間誤導了你，給你下了圈套。
不過，有時一些看起來微不足道的小數也有可能變成天文數字，事情剛開始時的事實並不是真正的事實，因為它的後續發展可能會使你始料不及。
西洋棋的一則傳說恰恰說明了這個問題。
傳說西洋棋是由古印度人發明的，發明者是一個印度教宗師兼數學家，名叫希薩。
當時的古印度國王非常愛玩，下令在全國張貼招賢榜，尋找能人為他製造一個奇妙的遊戲取樂，如果誰能完成這個任務，誰就會得到重賞。
希薩揭了招賢榜，獻上一種棋，棋盤上有六十四個空格，棋子是國王、皇后、大臣、士兵、騎士、城堡之類不同的角色。下棋時，玩家要經過一番智謀，將對方的國王將死才能決定勝負，這個遊戲讓國王玩得不亦樂乎。高興之餘，國王問希薩：「我很喜歡你發明的這個棋，所以要重重賞你。你說吧，想要什麼？」
希薩說：「真金、白銀、寶石，這些我都不需要，只希望國王賞賜我一些麥粒，我就非常開心了。」
國王聽了以後笑得合不攏嘴。因為他認為黃金、寶石這些貴重的東西才值錢，麥粒到處都是，能有什麼價值。笑完之後，國王問希薩究竟要多少麥粒。
希薩說：「請大王在我獻上的六十四格棋盤上的第一格上放上一粒麥粒，第二格上放上兩粒麥粒，第三格上放上四粒麥粒，第四格上放上八粒，如此一格一格加上去，每一格比前一格多加一倍，一直加到第六十四格。我要這些格子上的所有麥粒。」
國王一聽，原來就是幾粒麥粒而已，就不假思索的答應了，下令管倉庫的大臣如數贈予。
管倉庫的大臣一經計算，天哪，這還了得，這可是一個不小的數目啊。他把這件事告訴給國王，但國王不信，又召見算師。算師也仔細的算了一遍，果然如管倉庫的大臣所言，數目驚人！所需麥子的數目為264－1，也就是說，就算把印度所有的麥子賞給希薩也不夠，甚至這樣說也不為過，就算全世界的麥子也不夠。
現在讓我們也算一算看：
第一個格子裡是一粒，第二個格子裡是兩粒，一共有三粒，即：2×2－1＝3。
又加上第三個格子中的四粒，一共是七粒，即：2×2×2－1＝7。
再加上第四個格子上的八粒，共有十五粒，即：2×2×2×2－1＝15。
也就是：24－1＝15。
所以，從第一格到第四格的麥粒數就等於二的四次方減去一。
那麼，從第一格到第六十四格的麥粒數，將等於二的六十四次方減去一，即：
2×2×……×2（64個）－1＝264－1＝18,446,744073,709,551,615。
一立方公尺的麥子有一千五百萬粒，18,446,744073,709,551,615粒麥子約有一萬兩千億立方公尺。全世界兩千年生產的麥子加在一起也沒有這個數目大。
原來希薩運用了數學上的幾何級數，那是把二作為基數倍數，棋盤上的格數作為這個基數倍數的乘方，即二的N次方。
這一次國王不得不食言了，但這很損害國王聲譽，令國王感到左右為難。
國王看到自己實在無法滿足希薩的要求，打算下令把他殺了。這時，糧食大臣想出了一個主意。他勸國王還是照原來說過的話去辦，依舊賞給希薩那個數目的麥粒。但是，既然希薩要求的麥子精確到粒，賞賜也應該嚴格執行，讓希薩自己一粒一粒的從國王的倉庫裡數出他所要求的數目，第一個格子上放一粒麥粒，第二個格子上放兩粒，第三個格子上放四粒……直到第六十四格放滿為止。一粒也不能多，一粒也不准少。一秒能數兩粒，一分鐘能數一百二十粒，一小時也只能數出七千兩百粒，每天數上十小時，也只能拿到七萬兩千粒麥粒。數上一年，也只有兩千萬至三千萬粒。也只有一立方公尺至二立方公尺的麥粒。要全部數清國王賞賜給他的麥粒，要兩千多億年呢。
就這樣，希薩給國王出的難題，又被聰明的糧食大臣回敬了回去。國王沒有食言，也沒有付清賞賜的天文數目的麥子。不過希薩的「無理要求」也差點讓自己命喪黃泉。
下面我們來看一看文章開頭的例子。
老師拿來了一大袋糖果，我估計能分五六塊吧——一大袋糖果能有幾塊？但班級裡可是有幾十名學生呢，平均分下來，估計每人也只能得到一至兩塊糖。
二〇一三年中國GDP為九點二四萬億美元——曾有過這樣的說法：「多麼小的問題乘以十三億，都會變得很大；多麼大的經濟總量，除以十三億，都會變得很小。」我想，這句話非常恰當的指出了GDP大總量下的小分量，因為中國人均GDP只有四點六六萬元，在全世界排名七十三位。
每六個人可以讓互不相識的兩個人建立聯繫——六這個數字很小吧，但要想認識任何一位陌生的朋友，中間最多只需要透過六個朋友就能達成目的，也就是說，只需要六步。但如果中間的每一步距離都很大，這六步可能是世界上最遙遠的距離。
大數字有時就是紙老虎，只要你夠細心，善於思索，數字的大並不是如表面所示。小數字有時可能也未必像你想得那樣渺小，當它的概念以另外一種方式解讀時，它的規模比那些所謂的「大」數字不知大多少。
數字也會說謊
有人說，如果你想要讓人相信一句非常荒誕的話，只需要在裡面加上一個數字就可以了。這句話看似非常不可靠，你可能會不屑一顧，但你一定在生活中也時常受到這樣的欺騙。數字，本身是非常讓人信任、充滿精確性的符號，卻在欺騙上頗有造詣。這其實不是數字的錯，而是由於人的意識、認知而造成的。
一、數字並不是你看起來那麼龐大
老師拿來了一大袋糖果，我估計能分五六塊吧……
二〇一三年中國GDP為九點二四萬億美元……
每六個人可以讓互不相識的兩個人建立聯繫……
天文數字，是我們在形容一個數字非常大時經常使用的詞語。這個詞語道出了我們對大數字的敬仰之心，似乎數字的大已經超出人類認知的尺度。但是在我們看到那些所謂的天文數字時，我們首先要問自己一句話：「這個數字大不大？」
數字後面有很多零，會讓很多人覺得這個數字非常大，但這樣的數字除了吸引人們的注意以外，還可能是要提出警告。但就數字本身而言，這是毫無意義的。
（一）網路上的「大數字」
行動網路時代，春節是幾家大型網路平台的紅包爭奪戰場。用戶在此期間樂此不疲的搶紅包。搶紅包儼然成了春節的符號化活動，風頭甚至蓋過了春晚。
但在搶紅包過程中，大家可能發現了一個有趣的現象：公司派出一千萬元甚至上億元的紅包，但你就是搶不到，就算搶到了也只是一至二元，甚至是幾分錢或者是代金券。可能你的手都快戳破螢幕了，手指都磨紅了，眼圈都脹紫了，收穫就是不大，空歡喜一場。
這就是「大數字」的假象。
雖然紅包金額總量在一千萬元，幾乎每一個用戶在剛開始的時候，都會天真的在意識深處認為自己能單獨搶到這個一千萬元，可是不要忘了，這個紅包是面對數億網友發送的，這樣算下來的話，平均每個人分到的金額就是幾毛錢或幾分錢。
更令你感到諷刺的是，你搶中的金額非常少，但它還可能是代金券，而且代金券不是零食、日用品的代金券，而可能是波音飛機、知名汽車或者出國旅遊的代金券，真是氣死你不償命啊！
說白了，這是由某網路公司不正確的紅包玩法所導致的，就算發送五億元的紅包，平均下來每個用戶也只能分到幾塊錢而已。作為用戶的我們也不必較真，在下次看到的時候擺正心態，圖個樂子就好了。
（二）教育中的「大數字」
二〇〇七年一月，英國政府宣布，即將在小學投入一千萬英鎊的預算，目的是「振興小學的音樂教育」。這個數字看起來很大，但是不要忽視學生的數量。英國總共有一千萬名學生，一半是小學生，將一千萬英鎊分給五百萬個小學生，平均每名小學生只有兩英鎊，那這樣還怎麼振興他們的音樂教育呢？恐怕連聽一場兒童音樂會都不能吧？
也許當你聽到全國性的數字時，大腦中立刻會失去判斷能力。你認為自己只是一個老老實實做本分生意的人，那個可是上千萬甚至上億的數字啊。可是，你要知道，那個數字不全都是你的，你要學會把它個人化，你得將它平均劃分，而不是拿來和自己的帳戶餘額相比。因為，不管餅多大，如果每個人只能分到一粒碎渣的話，那這張餅就是小的。
數字的大與小是相對的，剛剛我們說過了「大」數字的小，接下來我們談一談「小」數字的大。
在二〇〇五年，英國的一家報紙在頭版刊登了一則消息，稱政府打算將退休年齡提高兩歲。這篇報導稱，假如政府通過這項法案，那麼原本可以領到退休金的老人中，每五人就會有一人來不及領退休金便去世。五分之一，這個數字看起來不大吧，可是英國全國的老年人人數眾多，由於基數很大，透過這個比例算出來的數也不會小。
（三）生活中的「大」數字
看下面這個問題：
假如某件商品增加五〇％的量，但不加價；另一件同款商品降價三三％，你會選擇哪一個？
大部分自以為很聰明的消費者會毫不猶豫的選擇第一種商品，因為它的數字看起來更大。
但事實可不是這樣的。
《經濟學人》雜誌將這種現象稱為「增數盲點」。其實商品增加五〇％的量不加價和降價三三％是一樣的。研究者特地做了一項實驗，詢問消費者你想要加量五〇％的商品還是降價三三％的商品？大部分消費者看到這個數字，竟然感覺價格是一模一樣的，但事實是降價三三％更划算一些。
這個現象不僅反映了人們對大數有錯覺，更能反映出人們懶得將數字計算出來。
衣服在打折時，連續打兩次折，第一次打八折，第二次打八五折，其實總共打了六折。但是，大部分消費者卻認為兩次打折比六折還要便宜。這說明，大部分人不願意去計算結果，才會被數字誤導。
其實，只要帶上計算機，看到數字先按一下計算機，算出結果，就不至於被數字誤導了。
（四）缺乏對比，數字大小未可知
讓我們來看下面的數字：
1F、0.1g、3600000J、380000km
第一印象上，你會覺得前兩個數字很小，後兩個數字很大。但是答案正好相反。
1F其實是一法拉，是電容的量。由於我們對這種事物不熟悉，所以總會主觀臆斷，只看絕對數字。其實1F很大，地球電容差不多就是1F，而一般電容的單位是μF，即10-6F（十萬分之一法拉）。
「g」是一個重量單位，克，這我們都知道，但越是熟悉的事物越容易遭遇陷阱。如果說這個數量出現在查酒駕時就是很大的數字了。因為每百毫升血液裡酒精含量達到八十毫克即為醉酒駕車，而零點一克則遠遠超出了規定的範圍。
「0」經常集群跟在某一個數字後面虛張聲勢，看起來是一個天文數字。其實3600000J只是一度電而已。
380000km是地球到月球的距離，看起來很遠，是吧？但要是放到宇宙這個範圍內，這個距離就跟沒有距離一樣。
新聞報導中經常會出現天文數字：一個港口年吞吐量××噸，一個天文數字；今年保障性住房規劃建設有××面積，一個天文數字；人的腦容量相當於××本書，一個天文數字……這些天文數字已經遠遠超出我們的認知範圍，我們甚至連數量級都猜不準。電視上公布這些數字就像對小學生講微積分一樣可笑。你興奮的說著，我只有張著嘴感嘆。可見，缺少對比的絕對數字在不經意間誤導了你，給你下了圈套。
不過，有時一些看起來微不足道的小數也有可能變成天文數字，事情剛開始時的事實並不是真正的事實，因為它的後續發展可能會使你始料不及。
西洋棋的一則傳說恰恰說明了這個問題。
傳說西洋棋是由古印度人發明的，發明者是一個印度教宗師兼數學家，名叫希薩。
當時的古印度國王非常愛玩，下令在全國張貼招賢榜，尋找能人為他製造一個奇妙的遊戲取樂，如果誰能完成這個任務，誰就會得到重賞。
希薩揭了招賢榜，獻上一種棋，棋盤上有六十四個空格，棋子是國王、皇后、大臣、士兵、騎士、城堡之類不同的角色。下棋時，玩家要經過一番智謀，將對方的國王將死才能決定勝負，這個遊戲讓國王玩得不亦樂乎。高興之餘，國王問希薩：「我很喜歡你發明的這個棋，所以要重重賞你。你說吧，想要什麼？」
希薩說：「真金、白銀、寶石，這些我都不需要，只希望國王賞賜我一些麥粒，我就非常開心了。」
國王聽了以後笑得合不攏嘴。因為他認為黃金、寶石這些貴重的東西才值錢，麥粒到處都是，能有什麼價值。笑完之後，國王問希薩究竟要多少麥粒。
希薩說：「請大王在我獻上的六十四格棋盤上的第一格上放上一粒麥粒，第二格上放上兩粒麥粒，第三格上放上四粒麥粒，第四格上放上八粒，如此一格一格加上去，每一格比前一格多加一倍，一直加到第六十四格。我要這些格子上的所有麥粒。」
國王一聽，原來就是幾粒麥粒而已，就不假思索的答應了，下令管倉庫的大臣如數贈予。
管倉庫的大臣一經計算，天哪，這還了得，這可是一個不小的數目啊。他把這件事告訴給國王，但國王不信，又召見算師。算師也仔細的算了一遍，果然如管倉庫的大臣所言，數目驚人！所需麥子的數目為264－1，也就是說，就算把印度所有的麥子賞給希薩也不夠，甚至這樣說也不為過，就算全世界的麥子也不夠。
現在讓我們也算一算看：
第一個格子裡是一粒，第二個格子裡是兩粒，一共有三粒，即：2×2－1＝3。
又加上第三個格子中的四粒，一共是七粒，即：2×2×2－1＝7。
再加上第四個格子上的八粒，共有十五粒，即：2×2×2×2－1＝15。
也就是：24－1＝15。
所以，從第一格到第四格的麥粒數就等於二的四次方減去一。
那麼，從第一格到第六十四格的麥粒數，將等於二的六十四次方減去一，即：
2×2×……×2（64個）－1＝264－1＝18,446,744073,709,551,615。
一立方公尺的麥子有一千五百萬粒，18,446,744073,709,551,615粒麥子約有一萬兩千億立方公尺。全世界兩千年生產的麥子加在一起也沒有這個數目大。
原來希薩運用了數學上的幾何級數，那是把二作為基數倍數，棋盤上的格數作為這個基數倍數的乘方，即二的N次方。
這一次國王不得不食言了，但這很損害國王聲譽，令國王感到左右為難。
國王看到自己實在無法滿足希薩的要求，打算下令把他殺了。這時，糧食大臣想出了一個主意。他勸國王還是照原來說過的話去辦，依舊賞給希薩那個數目的麥粒。但是，既然希薩要求的麥子精確到粒，賞賜也應該嚴格執行，讓希薩自己一粒一粒的從國王的倉庫裡數出他所要求的數目，第一個格子上放一粒麥粒，第二個格子上放兩粒，第三個格子上放四粒……直到第六十四格放滿為止。一粒也不能多，一粒也不准少。一秒能數兩粒，一分鐘能數一百二十粒，一小時也只能數出七千兩百粒，每天數上十小時，也只能拿到七萬兩千粒麥粒。數上一年，也只有兩千萬至三千萬粒。也只有一立方公尺至二立方公尺的麥粒。要全部數清國王賞賜給他的麥粒，要兩千多億年呢。
就這樣，希薩給國王出的難題，又被聰明的糧食大臣回敬了回去。國王沒有食言，也沒有付清賞賜的天文數目的麥子。不過希薩的「無理要求」也差點讓自己命喪黃泉。
下面我們來看一看文章開頭的例子。
老師拿來了一大袋糖果，我估計能分五六塊吧——一大袋糖果能有幾塊？但班級裡可是有幾十名學生呢，平均分下來，估計每人也只能得到一至兩塊糖。
二〇一三年中國GDP為九點二四萬億美元——曾有過這樣的說法：「多麼小的問題乘以十三億，都會變得很大；多麼大的經濟總量，除以十三億，都會變得很小。」我想，這句話非常恰當的指出了GDP大總量下的小分量，因為中國人均GDP只有四點六六萬元，在全世界排名七十三位。
每六個人可以讓互不相識的兩個人建立聯繫——六這個數字很小吧，但要想認識任何一位陌生的朋友，中間最多只需要透過六個朋友就能達成目的，也就是說，只需要六步。但如果中間的每一步距離都很大，這六步可能是世界上最遙遠的距離。
大數字有時就是紙老虎，只要你夠細心，善於思索，數字的大並不是如表面所示。小數字有時可能也未必像你想得那樣渺小，當它的概念以另外一種方式解讀時，它的規模比那些所謂的「大」數字不知大多少。
