◎原來，我們輕忽了運算

◆運算，是數學的基礎工程

為什麼在小學低年級徹底掌握運算很重要呢？最主要的原因是，此時學到的重要觀念，將會成為小學高年級，甚至是國、高中時期數學能力的基礎。低年級時學習的運算概念，將在往後學習進階概念時派上用場。事實上，我們甚至找不到和運算毫無關聯的部分──也就是說，學生必須學好運算，以後才能確實地吸收更困難的課程。

而第一個關卡，是三年級時學生第一次接觸到的「分數」。有人曾說過，第一次產生想放棄學習數學的念頭，就是學到分數的時候。根據韓國教育課程評價院所發表的《小學．中學學習成效低落之學生成長過程研究》（2018），針對50位學習成效不佳的學生進行研究，結果幾乎所有學生提到的數學難關都與「分數」有關。這項研究計畫特別到許多課堂上親自觀察，在學生實際學習了分數、教師向學生再行確認過後，甚至有半數以上的學生表示他們不會分數的減法運算。

看到孩子在學習分數時感到如此困難，連教師也不知道該如何教分數而吃盡苦頭，就知道分數是個多大的障礙了吧？

在學習分數之前所需要的過程，就是合成、分解、分組計數和除法，如此一來才能將「1/2」理解為「1平分為2」的值，或是「把1分為兩個等分中的其中一份」。然而，大部分學生都運用背得朗朗上口的九九乘法，一下子就解完題，而忽略了這段過程。於是，他們難以理解分數的意義，在計算分數時，通分與約分也就變得相當困難。

在德國，合成、分解、分組計數是絕對不會受到忽視的運算，學校會讓學生練習在各種情況下對各種數字進行加總和分解的運算，從運用實物、數線、貼紙到說故事遊戲等多元的方式，十分豐富。剛開始會利用圖像，幫助學生在腦中簡單地爬梳數學概念，接著以數線、算式這樣的順序，階段式地慢慢帶出除法的概念。在這過程中，還會貼心地先排除九九乘法，盡心盡力地將除法概念解釋清楚（第六章中將會介紹）。而培養好識讀數字的能力和數感的孩子，即使遇到了分數也不會慌張無措。

運算，也是影響成績的重要關鍵。我在小學低年級子女的諮商面談中，聽了中學數學老師的經驗談，他表示經常會另外替成績在特定水平以下的孩子做課業輔導，而他們都一致認為運算很困難，也很難學得好。

不僅如此，一些想朝著頂尖邁進，成績中上的學生，也常因為運算而遭遇阻礙。不只是頻頻計算錯誤，有的學生是運算速度緩慢，導致考試時因時間不足而無法解完所有試題並仔細檢查，所以真正的實力未能反映在成績上，真是相當可惜。

我曾輔導過能獨立解開最高難度試題、相當擅長數學的國小三年級生，由於他對高難度的概念已理解得很透徹，因此能正確地寫出算式，不過在進行如18x31如此單純的計算時，卻花費了許多時間。

相反地，按照德國課本的方式學習的孩子，卻僅需幾秒即可算出這類題目的解答，這是因為他們懂得將18x31轉換為18x30＋18x1再計算的緣故。由於他們已經養成了敏銳的數感，所以能更輕鬆、更迅速地進行這類型的心算。此外，德國的教科書也不斷強調「推估」這點。課程中會讓學生先練習思考「這道算式的答案大約會是多少呢？」再導出算式的答案。如此一來，即便計算出錯了，也能立刻發現問題。因為學生已知18x30的答案會比20x30的值更小，所以如果計算的結果是640，就能察覺到異常，再試著檢視一次計算過程。這是在實際考試時，非常有助於減少失誤的重要直覺。

如此依循德式學習法運算的學童，由於能正確地算出解答，因此還有時間再檢查一次。若思考解題方式的時間花得比別人少，失誤自然會減少，而成績也會考得更好。

◆運算能力取決於學習數學時的情緒

「學業情緒」是我們在腦中想起「學習」時所產生的平均情感狀態，這是面對學習時的情緒經驗在反覆累積後所形成的。這句話從腦科學的角度來看也是正確的。因為掌控情感的大腦邊緣系統，會直接影響負責處理資訊的大腦皮質，所以若邊緣系統活化，那麼大腦皮質也會隨之活化。意即人感到愉快時，處理資訊與解決問題的能力也會隨之提升，而憂鬱時則相反。也就是說，當「學習」這項理性的行為與快樂的情緒同時發生時，我們將能獲得最大的學習效果。

那麼對數學而言，培養學業情緒的起點是什麼時期呢？我認為是國小低年級時期。雖然這是理所當然的道理，不過我們總得踏穩第一步，往後才能走在正確的道路上。此外，若想培養對數學的正向情感，累積學習成就感是很重要的，而在整個12年的教育過程中，最容易達到此目標的，正是國小低年級時期了。

如果說「小學低年級時學習到的數學，其實就等於運算」也不為過。當然，運算並不等於數學，不過這時期所學習到的數學，運算所佔的比例很重。因此，如果在此時期未能學好數學，而累積了對運算的負面情感，那孩子心裡會怎麼想呢？「數學好難」、「我學不好數學」這樣的負面想法自然會隨之而來，而這些念頭將會對孩子往後面對數學的態度帶來重大的影響。

亞洲的填鴨式數學教育，讓學生在國小到國中階段，即便不懂原理、不感興趣，但只要掌握了重點，就能展現出一定的成果。然而，因為學生學得很挫折，因為沒能培養真正重要的數學思維，所以他們只覺得數學是無趣的、困難的。這是否代表他們在升上高中後，會因為數學概念變複雜，且必須更倚重運算的能力，而跟不上學習進度，最終成為放棄數學的「棄數生」呢？

因此，孩子必須把運算學好。運算是所有數學領域的基礎，將會決定學生面對數學的態度，最後將影響他們的數學成績──這就是我們的孩子採用何種方式學習運算之所以至關重要的原因。

◎運算能力吊車尾的孩子，來到德國卻開竅了！

◆也曾放棄數學的媽媽

坦白說，我也放棄了數學，甚至沒意識到自己放棄了數學。我對數學的第一個記憶是背誦九九乘法的畫面，這也成了我對數學的第一印象。小學二年級時，因為背不好九九乘法，放學後還進入課後班繼續背，必須正確地回答老師隨機出的問題後才能回家。

為此感到很苦惱的媽媽，因而申請了數學家教課。剛開始我也很積極地認真完成老師出的作業，不過隨著運算越來越複雜，我開始花更長的時間在每天指定須寫完的試題上，作業也越積越多。等到老師來的那天，我才用計算機一口氣算完所有題目；幾個月後，因為覺得很厭煩，我甚至連碰都不碰那些作業，乾脆把它藏在衣櫃裡。最後，媽媽在整理衣櫃時發現了一堆沒有寫的作業，一氣之下就中斷了數學家教課。

那為期一年的數學家教課對我來說真的太可怕了。學習令人討厭的數學是很煎熬沒錯，但令我感到極其不堪的，其實是每次都無法完成作業的自己。大約在家教課中斷前後，我無論對數學或是讀書的自信心皆跌落到谷底。滿腦子只有「唉，我真是沒用」的念頭。

由於這段記憶實在太過深刻，於是我結婚生子後便下了一個決定──我不能讓孩子也變得像我一樣討厭數學。換句話說，即使無法讓孩子喜歡上數學，至少也別讓他們對數學反感。

◆孩子面臨了步上媽媽後塵的危機

從我家老大出生後到五歲以前，我好好地守住了我對自己的承諾，運算試題本這種「可怕的」東西我連看都沒看，也把數學家教課這種事從我的大腦中抹去。我改用和孩子一起閱讀「看故事學數學」套書，以及動手製作可把玩的教具等方式教學。孩子在韓國學到的運算，就只有當時幼兒園所教授的數學運算而已。

當然，我的決心也曾動搖過。老大六歲時，幼兒園裡的媽媽圈已開始討論某個數學家教課了。她們說假如孩子不上這些課程，進入小學後將很難跟上進度。孩子的同學一個個都開始上數學家教課，而我又從媽媽們口中聽到各種意見，於是不知不覺焦急了起來。結果，我還是預約了數學家教課的課前能力測驗，甚至付清了一個月份的學費。不過在審慎考慮了幾天以後，我認為讓孩子接受自己曾經很厭惡的課程，實在是沒道理，於是再次打了電話，向對方鄭重道歉，並取消預約。我的教育哲學就是如此堅定。

不過後來我先生進入有「諾貝爾獎士軍官校」之稱的馬克斯普朗克研究院攻讀博士學位，於是我們一家子便移居到德國了。當時老大七歲，在去德國前他接受了魏氏智力量表測驗，結果發現他在數學運算方面的能力相對低落。

據執行測驗的老師說，他幾乎沒練習過運算，即使聽了這番話，我也壓根沒要求他練習運算的想法。我們就這樣來到了德國，而老大也立即就讀當地小學了。在德國，小孩是滿六歲時開始讀小學的。

由於孩子從一年級到二年級的上半學期都忙於學習德語，所以其他科目全擱在一旁，自然也無心學數學了──畢竟在那樣的情況下只能如此。

然而，老大才剛進入二年級下學期，新冠肺炎疫情就在全球爆發開來，學校因此關閉，我也必須待在家陪伴孩子學習。老師只會給我們教案與每週必須完成的作業清單，剩下就是我的工作了。由於我對德語也很生疏，因此也無法仔細確認過教案，只能在翻譯機與他人的協助之下加以理解，掌握當下孩子必須學習的科目與課程重點，並開始教導孩子。我教他的第一個數學單元，正是九九乘法。當時我是怎麼教的呢？我自認為教數學根本不需要看教案，所以直接印了一大張九九乘法表貼在牆上，然後讓孩子背起來──那就是我過去學習九九乘法的方式。

「聽說外國小孩都不太會背九九乘法，我們家的小孩如果能倒背如流，上課的時候大家應該會嚇一跳吧？我要讓大家瞧瞧韓國人的潛力！」當初我是抱著這個想法的。

我忘了自己就是因為辛苦地死背九九乘法，所以最後變得很討厭數學，也忘了我已和自己約定好「至少別讓孩子討厭算數學」。但面對新冠肺炎疫情這種特殊情況，我終究丟出了讓孩子反覆、機械化算數學的這張卡。

但是採取這種方式，孩子當然無法將九九乘法背好，即便持續要求他記起來，他依舊在原地踏步。過了三天、四天、一個星期⋯⋯孩子仍舊背不好九九乘法，我的火氣也越來越大了。他在這時期總是把「討厭數學」掛在嘴邊，而我因為無法理解他，於是內心充滿了憤怒。「為什麼花一整天背一段九九乘法會這麼困難？」、「這麼理所當然的東西為什麼做不到？」我完全只從大人的角度反覆思考。尤其在他背誦6段的時候，我的情緒差點就爆發了。為了分散注意力，還刻意做家事讓自己冷靜下來，盡力避免對老大發洩我的怒氣。

◆德國教科書令人眼睛一亮

我就這樣一邊打掃一邊平息怒氣，結果在客廳書櫃發現了一封連開都沒開過的信封，那就是老師給的數學課程教案。因為自認為很熟悉九九乘法，所以不需要看的教案，這時忽然引起了我的注意。我稍微瞄了裡頭一眼，有一張經過護貝的紙卡，我出於好奇而取出一看，發現是張只寫了1、2、5、10乘積的九九乘法表。

剛開始我狐疑了一下，心想：「咦？這是什麼？」但因為老大的進度一直停滯，所以我抓住了這最後的一根浮木，而且還是老師給的資料，應該會有些用處，於是在翻譯機的幫助下，開始讀這份教案。

什麼？只讓孩子從1段開始，而且是只要瞭解1、2、5、10的乘積就好？還要告訴他1乘以2和2乘以1是一樣的？為什麼？而且接在1段後面的不是2段，竟然是10段？

說也奇怪，連我都不知不覺地沉浸在教案的說明中。閱讀完後，我下定決心了。

「我要按照這種方式教他。這樣學習的話，至少不會覺得數學難了吧！」

從隔天起，我就馬上依照教案試著教孩子數學，效果如何呢？結果老大說：「媽媽，九九乘法好簡單哦。」讓人多麼感動啊！

在介紹九九乘法的第五章會更詳盡地解釋，不過這是一個從十進位概念開始，循序漸進掌握數字的學習法。假如數字感覺起來沒有脈絡可循，孩子就會害怕學習九九乘法，所以大多數的學童都認為7段最困難，而8段和9段反而簡單一些。我連這點洞察力都沒有，就讓孩子從2段開始盲目地背下去，他自然不可能學得好。而德國課本的方式，是以學童更能直接理解的數字1、2、5、10（這稱為九九乘法的基準值；仔細看，前面三個數字都是10的因數）以及其他數字間的關係開始學習，接著再慢慢進入更難的數字、更難的段。結果，老大僅在短短幾天內，就奇蹟似地將九九乘法背起來了。

自此以後，我們就老老實實地依照課本和教案學習了。隨著進度的推進，我越來越認同德國課本和教案中的教學法。這樣的課程規劃，讓學生無需太多額外說明，只需要解題，即可自然而然地理解概念。多虧了這種學習法，我不需要絞盡腦汁，就能指導孩子數學了。更重要的是，老大和以前光聽到「數學」二字就退縮的我不同，他認為數學不算太難；聽見他這麼說，我感到很欣慰又神奇。

我體悟到，原來不需要和孩子鬥法，就能和他一起輕鬆簡單地算數學。也認知到，無需複雜的概念說明或練習解困難的題目，我們在解開經過系統性設計的試題過程中，就能以更深、更廣的角度去思考數字與運算。這是我和老大一起研讀德國課本後得到的收穫。

因為九九乘法，我開始對德國課本的數學學習法感到好奇，甚至還買了他們高年級的數學課本來看，因為我想知道孩子以後會學習什麼、將如何學習。我一邊按著翻譯機，一邊仔細地讀，越來越體會到這和我過去學過的運算方式有著天壤之別，都讓我不得不羨慕了。

而且不僅是教導概念的方式，連學校的教學方式，也令我對德國數學課程讚嘆不已。孩子升上三年級時，因新冠肺炎疫情稍微趨緩，而得以上實體課的他，在學校還曾透過討論課的形式學習數學。

討論課是以老師出題、學生輪流討論解法的課程形式。學生要先向老師與其他同學說明自己為何採取這種方法計算，在聽了其他同學所分享的解法後，就自然能學到以多元的角度和解決方式的可能性。此外，老師也能從學生的發言中，掌握到學生對課程內容的理解程度。

◆亮眼的進展與成果

由於新冠肺炎疫情再度惡化，學校隨之關閉，我們再次開始在家自學。這次，我連剛上一年級的老二也一起指導，並從一開始就依據老師給的教案，按部就班地教導孩子。

每天老老實實寫作業的老大，某天忽然這麼說：

「媽媽，數學真的很簡單又有趣耶。」

我作夢都沒想過此生會聽見孩子親口說出「數學很有趣」這句話，原本只希望他別討厭數學就好──你能想像我聽見他這麼說時有多開心嗎？

不僅如此，老大在德國也接受了智力測驗（AID 3，類似魏氏智力量表的檢測），卻得到了與魏氏智力量表測驗完全相反的結果。

老大的數學運算能力，竟然是落在前1％！孩子唯一做的事情，只不過是按照德國的方式學數學而已。三年前仍完全不懂德語、在德國上小學的老大，現在正在德國接受資優班教育，甚至連韓國的高等數學試卷，也難不倒他。而老二則是在讀了一年後就跳級了。

每當照著德國教科書的方式學習，便覺得有趣又簡單，於是更確信運算就是奠定數學思維的基礎的我，為了指導孩子，還將德國的課本仔仔細細地分析整理了一番。因為想向各位讀者分享我和孩子這段驚人的旅程，以及我從德國課本中習得的學習法，所以撰寫了這本書。那麼，一起來看看德國教科書的課程有什麼樣的特點吧！