〈第1章 數學從何而來〉
為什麼1＋1＝2？
這個問題有個可能答案是「它就是這樣！」。其實這只是換個方式來表達「因為我說是這樣！」—但這樣的答案讓一代代的小朋友感到氣餒。「因為我說是這樣」代表有權威人士制定規則，他們不需要說明這些規則的理由，但可以隨意制定任何規則，其他小人物只能被動地遵守這些規則。
對這種狀況感到氣餒非常合理。事實上，有一種強大的數學衝動是想立刻打破所有規則，或是找出這些規則不成立的特別狀況，證明這個假想權威人士的權威性其實沒有其他人想的那麼高。
數學看起來似乎有一大堆規則必須遵守，讓它顯得死板又無聊。然而，我喜歡數學多少是因為我喜歡打破規則，或者至少也要挑戰這些規則。我不大好意思提到這點，因為這讓我顯得像個永遠長不大的青少年。我喜歡數學的另一個原因是，我總是喜歡對各種事物問「為什麼？」，這又讓我顯得像個永遠長不大的小孩。但這兩種衝動對於促進人類理解萬物扮演相當重要的角色，尤其是在數學理解方面。這類衝動是數學起源的重要因素，我們將在本章探討這一點。
我想強調的是，我在日常生活中恪守法律，因為我了解規則的用意是維繫群體和保障民眾，我信奉這些規則，我願意遵守有明確目的的規則。我不信奉的是看來似乎沒有理由的抽象規則，或是有理由但我不贊同的規則，例如「你必須每天整理床鋪」（這實在不合乎我的習慣）或「不可以用微波爐融化巧克力」（這樣做當然容易破壞巧克力，但只要做到每15秒攪拌一下，我發現就沒問題）。
所以我想探討這些顯而易見的數學「規則」從何而來，以及數學本身又從何而來。我會說明數學如何從小小的種子萌發，再以有機的方式慢慢長到又高又大。這些種子是任何人都可能有疑問、小朋友也經常直率提出的幼稚問題，例如小朋友可能會好奇為什麼1＋1等於2，而不會只滿足於知道結果。數學和種子一樣，必須以正確的方式培養，需要肥沃的土壤、伸展根部的空間，而且需要營養。可惜的是，我們的幼稚問題經常無法以這種方式培養，而是被當成「笨問題」丟到一邊。但深奧數學問題和幼稚問題間的差別可能只是培養的方式，也就是種子相同，兩者其實沒有差別。
許多人不喜歡數學的原因是數學經常專制地宣告某個答案正確又不提出解釋，例如「1＋1就是等於2」。但想知道某件事為什麼是真的，可讓我們建立堅實的數學基礎，進而提出清楚嚴謹的論證。有些人覺得這樣的清楚和可信讓人輕鬆自在，有些人則覺得受限又專制。但「1＋1為什麼等於2」這類問題可以促使我們探究數學沒有清楚的正確答案，更有甚者，在不同的脈絡下，正確的事物可能不一樣。這可以促使我們探討數字最初從何而來、我們如何產生算術的概念，以及我們如何把這些概念運用到思考形狀等其他數學脈絡上。這將觸及關於數學發展的許多重要主題，從建立事物間的連繫、認真看待抽象，再擴展我們的思考過程，一點點地涵括範圍更大的周遭世界。
所以我們暫時先不談1＋1為什麼等於2，而是更進一步，一起思考這句話是不是永遠都是對的。
挑戰界線
小孩似乎天生就愛尋找反例，反例的意思是證明某個說法不正確的例子。宣稱某個說法永遠正確，就像在某個說法周圍畫上一道界線，尋找反駁這個說法的例子，如同挑戰這類界線。這是相當重要的數學衝動。
我們可以試試看用1＋1來挑戰小朋友，例如這麼說：「如果我給你一個小蛋糕和另一個小蛋糕，這樣你一共有幾個蛋糕？」小朋友可能會非常開心地大聲講：「0個，因為我都吃掉了！」或者講：「0個，因為我不喜歡小蛋糕。」我看到家長在網路上貼出小朋友的奇特答案時，總是覺得非常開心。我最喜歡的一個例子是我朋友的小孩回答「喬有7個蘋果，做蘋果派用了5個，現在喬還剩下幾個？」這個問題時，寫的答案是「他把蘋果派吃掉了嗎？」我很喜歡能被算作正確，但絕對不會馬上被視為正確的答案。這點展現了數學重要的一面，小朋友的思考過程也展現了數學直覺中常被忽略、但其實相當重要的一面，這樣的直覺就是挑戰不具充分理由的權威。
小孩想挑戰權威，理由可能是想要探索各種狀況的界線，或是想要在自己幾乎無法控制任何事物的世界中尋求自我。我清楚記得自己小時候永遠必須聽大人的話，有多麼令人氣餒。如果大人問我引導性問題，故意不按常理出牌會非常好玩，例如說我不喜歡小蛋糕。
這種衝動有點不敬和調皮，但我認為它也是一種數學衝動。沒錯，數學本身或許就是不敬和調皮，但另外一種解讀方式是數學在尋找事物的界線，就和小朋友一樣。我們想弄清楚事物為真的界線，這樣才能確定自己確實在「安全」區域內，但如果想冒險或感到好奇時，也會向外探索。就像幼兒朝遠處奔跑，看看自己跑到什麼地方時，大人會追過來一樣。思考1＋1不等於2的狀況就是個例子。
如果我說「我不不累」，這代表我累了，有些小孩覺得說「我不不不不不不不不不不不累！」很好玩，但是往往很不開心，因為沒有人弄得清楚他們究竟講了幾個「不」，這裡的關鍵是1個「不」加上1個「不」相當於0個「不」。這讓我想到我曾經評分過某些可怕的考試題目，計算冗長又麻煩，中間又經常可能弄錯負號。這類題目評分起來格外辛苦，因為如果學生犯了兩次這類錯誤，甚至犯了四次，答案一樣是對的。但在數學裡，計算過程一定要對，答案才真正算是對的（下一章我會談到這一點），所以即使答案是「對的」，我還必須仔細看清楚計算過程是否正確。
另一種1＋1等於0的狀況是所有事物本來就是0，就像我小時候生活的糖果世界一樣。我對人工食用色素過敏，但各種糖果都有人工食用色素，所以無論我有多少糖果，其實都等於0。
1＋1有時可能因為四捨五入誤差而大於2。如果我們只使用整數，1.4會變成1（最接近的整數）。但如果做兩次，就是2.8，進位後變成3（同樣是最接近的整數）。所以在四捨五入的世界中，1＋1等於3。另一個相關但不大一樣的狀況是如果我們身上的現金夠買1杯咖啡，朋友也夠買1杯，那麼兩個人或許夠買3杯，因為即使我們有1.5杯咖啡、甚至1.9杯的錢，還是只能買到1杯咖啡。
1＋1有時候可能因為繁殖而大於1，如果我們把2隻兔子放在一起，最後可能會變成很多隻兔子。有時候原因可能是我們相加的事物比較複雜：如果1對網球選手跟另1對網球選手一起打了一場下午網球賽，最後的組合數可能超過2組，因為他們可能會以不同的組合打球。假設第一對選手是A和B，另一對是C和D，那麼總共會有AB、AC、AD、BC、BD、CD等組合，所以1對網球選手加上1對等於6對。
1＋1有時候只等於1。如果把一堆沙放到另一堆沙上，最後還是只有一堆沙。或是我有個學藝術的學生說過，把一種顏色和另一種顏色混合，最後還是只有一種顏色。另外我也看過一個網路迷因，把一片千層麵放在另一片千層麵上，最後還是只有一片千層麵（只是變得比較厚）。
另一個稍有不同的狀況也是1＋1等於1：如果我們有一張咖啡和甜甜圈的兌換券，但每人最多只能換一組，所以即使還有一張優惠券，還是只能換到一組（除非拿給別人兌換）；或者我們在電車上按「開門」按鈕，不管按幾次，結果都和按一次相同，至少以按鈕對車門的效果說來是相同的，但以我們想表達的挫折感來說或許不同，或許就是因為這樣，許多人會一直按開門按鈕。現在，你或許會認為以上這些狀況不是1＋1等於其他答案，因為這幾種狀況其實不是加法，或者其實不是數，或是因為其他理由所以不算。你可以這麼想，但數學可不這麼想。
數學會說：我們來研究這些情境是什麼，它們代表什麼意思；我們來研究這樣的情境會有什麼結果，看看我們是否能找出狀況類似的其他情境。我們來進一步了解1＋1真的等於2的情境，以及1＋1不等於2的情境，藉此更進一步了解世界。
數學就是來自這裡，為了探索1＋1等於和不等於2的情境，我不只要研究這個方程式從何而來，還要研究各種數學從何而來。
1＋1什麼時候等於2
我們終於談到「1＋1為什麼等於2？」這個問題的抽象數學版本。這個問題的答案其實是1＋1不一定永遠等於2，因為它取決於我們處於什麼情境之中，我們可以思考它的基本組成元件來探索這個情境。我們先提出1的概念以及把一樣東西和另一樣東西放在一起的概念，再指出這樣一定會變成2個東西，而不是0個東西、1個東西或3個東西。接著問我們自己，這樣會形成什麼情境，也就是在具有這些起始點的世界裡，還有什麼一定為真？
「一般數」，也就是1、2、3、4等整數和計算數就是這麼來的。這些數有時稱為自然數（natural numbers，但自然數可能也包含0，這又是另一個完全不同的故事）。我們由1和沒有中斷、消失或重複的加法過程建立這個世界，在抽象數學中，這個過程稱為「自由產生結構」。所謂「自由」是說我們除了基本公理之外，不對這個狀況施加其他規則，讓它自然成長，然後悄悄地觀察出現什麼結果。
所以1＋1並非在所有脈絡下都等於2，但在很多地方確實如此。我們可以先了解1＋1等於2的抽象世界，以便在具象世界中尋找這點確實成立的地方，並且知道我們對1＋1＝2的抽象世界所知的一切，也能套用在具象世界的相對部分。
這個1＋1＝2的世界裡有許多事物可以探討，我們可能會對一件事感到好奇：如果事物可以加進去，那麼可以取出來嗎？這個問題完全屬於另一個層次，將帶領我們進入負數的神祕世界，且等下一章分解。
為什麼1＋1＝2？
這個問題有個可能答案是「它就是這樣！」。其實這只是換個方式來表達「因為我說是這樣！」—但這樣的答案讓一代代的小朋友感到氣餒。「因為我說是這樣」代表有權威人士制定規則，他們不需要說明這些規則的理由，但可以隨意制定任何規則，其他小人物只能被動地遵守這些規則。
對這種狀況感到氣餒非常合理。事實上，有一種強大的數學衝動是想立刻打破所有規則，或是找出這些規則不成立的特別狀況，證明這個假想權威人士的權威性其實沒有其他人想的那麼高。
數學看起來似乎有一大堆規則必須遵守，讓它顯得死板又無聊。然而，我喜歡數學多少是因為我喜歡打破規則，或者至少也要挑戰這些規則。我不大好意思提到這點，因為這讓我顯得像個永遠長不大的青少年。我喜歡數學的另一個原因是，我總是喜歡對各種事物問「為什麼？」，這又讓我顯得像個永遠長不大的小孩。但這兩種衝動對於促進人類理解萬物扮演相當重要的角色，尤其是在數學理解方面。這類衝動是數學起源的重要因素，我們將在本章探討這一點。
我想強調的是，我在日常生活中恪守法律，因為我了解規則的用意是維繫群體和保障民眾，我信奉這些規則，我願意遵守有明確目的的規則。我不信奉的是看來似乎沒有理由的抽象規則，或是有理由但我不贊同的規則，例如「你必須每天整理床鋪」（這實在不合乎我的習慣）或「不可以用微波爐融化巧克力」（這樣做當然容易破壞巧克力，但只要做到每15秒攪拌一下，我發現就沒問題）。
所以我想探討這些顯而易見的數學「規則」從何而來，以及數學本身又從何而來。我會說明數學如何從小小的種子萌發，再以有機的方式慢慢長到又高又大。這些種子是任何人都可能有疑問、小朋友也經常直率提出的幼稚問題，例如小朋友可能會好奇為什麼1＋1等於2，而不會只滿足於知道結果。數學和種子一樣，必須以正確的方式培養，需要肥沃的土壤、伸展根部的空間，而且需要營養。可惜的是，我們的幼稚問題經常無法以這種方式培養，而是被當成「笨問題」丟到一邊。但深奧數學問題和幼稚問題間的差別可能只是培養的方式，也就是種子相同，兩者其實沒有差別。
許多人不喜歡數學的原因是數學經常專制地宣告某個答案正確又不提出解釋，例如「1＋1就是等於2」。但想知道某件事為什麼是真的，可讓我們建立堅實的數學基礎，進而提出清楚嚴謹的論證。有些人覺得這樣的清楚和可信讓人輕鬆自在，有些人則覺得受限又專制。但「1＋1為什麼等於2」這類問題可以促使我們探究數學沒有清楚的正確答案，更有甚者，在不同的脈絡下，正確的事物可能不一樣。這可以促使我們探討數字最初從何而來、我們如何產生算術的概念，以及我們如何把這些概念運用到思考形狀等其他數學脈絡上。這將觸及關於數學發展的許多重要主題，從建立事物間的連繫、認真看待抽象，再擴展我們的思考過程，一點點地涵括範圍更大的周遭世界。
所以我們暫時先不談1＋1為什麼等於2，而是更進一步，一起思考這句話是不是永遠都是對的。
挑戰界線
小孩似乎天生就愛尋找反例，反例的意思是證明某個說法不正確的例子。宣稱某個說法永遠正確，就像在某個說法周圍畫上一道界線，尋找反駁這個說法的例子，如同挑戰這類界線。這是相當重要的數學衝動。
我們可以試試看用1＋1來挑戰小朋友，例如這麼說：「如果我給你一個小蛋糕和另一個小蛋糕，這樣你一共有幾個蛋糕？」小朋友可能會非常開心地大聲講：「0個，因為我都吃掉了！」或者講：「0個，因為我不喜歡小蛋糕。」我看到家長在網路上貼出小朋友的奇特答案時，總是覺得非常開心。我最喜歡的一個例子是我朋友的小孩回答「喬有7個蘋果，做蘋果派用了5個，現在喬還剩下幾個？」這個問題時，寫的答案是「他把蘋果派吃掉了嗎？」我很喜歡能被算作正確，但絕對不會馬上被視為正確的答案。這點展現了數學重要的一面，小朋友的思考過程也展現了數學直覺中常被忽略、但其實相當重要的一面，這樣的直覺就是挑戰不具充分理由的權威。
小孩想挑戰權威，理由可能是想要探索各種狀況的界線，或是想要在自己幾乎無法控制任何事物的世界中尋求自我。我清楚記得自己小時候永遠必須聽大人的話，有多麼令人氣餒。如果大人問我引導性問題，故意不按常理出牌會非常好玩，例如說我不喜歡小蛋糕。
這種衝動有點不敬和調皮，但我認為它也是一種數學衝動。沒錯，數學本身或許就是不敬和調皮，但另外一種解讀方式是數學在尋找事物的界線，就和小朋友一樣。我們想弄清楚事物為真的界線，這樣才能確定自己確實在「安全」區域內，但如果想冒險或感到好奇時，也會向外探索。就像幼兒朝遠處奔跑，看看自己跑到什麼地方時，大人會追過來一樣。思考1＋1不等於2的狀況就是個例子。
如果我說「我不不累」，這代表我累了，有些小孩覺得說「我不不不不不不不不不不不累！」很好玩，但是往往很不開心，因為沒有人弄得清楚他們究竟講了幾個「不」，這裡的關鍵是1個「不」加上1個「不」相當於0個「不」。這讓我想到我曾經評分過某些可怕的考試題目，計算冗長又麻煩，中間又經常可能弄錯負號。這類題目評分起來格外辛苦，因為如果學生犯了兩次這類錯誤，甚至犯了四次，答案一樣是對的。但在數學裡，計算過程一定要對，答案才真正算是對的（下一章我會談到這一點），所以即使答案是「對的」，我還必須仔細看清楚計算過程是否正確。
另一種1＋1等於0的狀況是所有事物本來就是0，就像我小時候生活的糖果世界一樣。我對人工食用色素過敏，但各種糖果都有人工食用色素，所以無論我有多少糖果，其實都等於0。
1＋1有時可能因為四捨五入誤差而大於2。如果我們只使用整數，1.4會變成1（最接近的整數）。但如果做兩次，就是2.8，進位後變成3（同樣是最接近的整數）。所以在四捨五入的世界中，1＋1等於3。另一個相關但不大一樣的狀況是如果我們身上的現金夠買1杯咖啡，朋友也夠買1杯，那麼兩個人或許夠買3杯，因為即使我們有1.5杯咖啡、甚至1.9杯的錢，還是只能買到1杯咖啡。
1＋1有時候可能因為繁殖而大於1，如果我們把2隻兔子放在一起，最後可能會變成很多隻兔子。有時候原因可能是我們相加的事物比較複雜：如果1對網球選手跟另1對網球選手一起打了一場下午網球賽，最後的組合數可能超過2組，因為他們可能會以不同的組合打球。假設第一對選手是A和B，另一對是C和D，那麼總共會有AB、AC、AD、BC、BD、CD等組合，所以1對網球選手加上1對等於6對。
1＋1有時候只等於1。如果把一堆沙放到另一堆沙上，最後還是只有一堆沙。或是我有個學藝術的學生說過，把一種顏色和另一種顏色混合，最後還是只有一種顏色。另外我也看過一個網路迷因，把一片千層麵放在另一片千層麵上，最後還是只有一片千層麵（只是變得比較厚）。
另一個稍有不同的狀況也是1＋1等於1：如果我們有一張咖啡和甜甜圈的兌換券，但每人最多只能換一組，所以即使還有一張優惠券，還是只能換到一組（除非拿給別人兌換）；或者我們在電車上按「開門」按鈕，不管按幾次，結果都和按一次相同，至少以按鈕對車門的效果說來是相同的，但以我們想表達的挫折感來說或許不同，或許就是因為這樣，許多人會一直按開門按鈕。現在，你或許會認為以上這些狀況不是1＋1等於其他答案，因為這幾種狀況其實不是加法，或者其實不是數，或是因為其他理由所以不算。你可以這麼想，但數學可不這麼想。
數學會說：我們來研究這些情境是什麼，它們代表什麼意思；我們來研究這樣的情境會有什麼結果，看看我們是否能找出狀況類似的其他情境。我們來進一步了解1＋1真的等於2的情境，以及1＋1不等於2的情境，藉此更進一步了解世界。
數學就是來自這裡，為了探索1＋1等於和不等於2的情境，我不只要研究這個方程式從何而來，還要研究各種數學從何而來。
1＋1什麼時候等於2
我們終於談到「1＋1為什麼等於2？」這個問題的抽象數學版本。這個問題的答案其實是1＋1不一定永遠等於2，因為它取決於我們處於什麼情境之中，我們可以思考它的基本組成元件來探索這個情境。我們先提出1的概念以及把一樣東西和另一樣東西放在一起的概念，再指出這樣一定會變成2個東西，而不是0個東西、1個東西或3個東西。接著問我們自己，這樣會形成什麼情境，也就是在具有這些起始點的世界裡，還有什麼一定為真？
「一般數」，也就是1、2、3、4等整數和計算數就是這麼來的。這些數有時稱為自然數（natural numbers，但自然數可能也包含0，這又是另一個完全不同的故事）。我們由1和沒有中斷、消失或重複的加法過程建立這個世界，在抽象數學中，這個過程稱為「自由產生結構」。所謂「自由」是說我們除了基本公理之外，不對這個狀況施加其他規則，讓它自然成長，然後悄悄地觀察出現什麼結果。
所以1＋1並非在所有脈絡下都等於2，但在很多地方確實如此。我們可以先了解1＋1等於2的抽象世界，以便在具象世界中尋找這點確實成立的地方，並且知道我們對1＋1＝2的抽象世界所知的一切，也能套用在具象世界的相對部分。
這個1＋1＝2的世界裡有許多事物可以探討，我們可能會對一件事感到好奇：如果事物可以加進去，那麼可以取出來嗎？這個問題完全屬於另一個層次，將帶領我們進入負數的神祕世界，且等下一章分解。
