3小時掌握速算
活動訊息
內容簡介
我們在學校所學的算術和數學知識，都是正統的，放諸四海皆準，然而在實際生活中計算的時候，如果數字很大或很複雜，需要進位，會發現要花很多時間才能得到正確答案。
例如這個乘法計算例題， 398×402，一般人會怎麼算呢? 想必是列成直式，從最右邊開始算起，依序計算398×2，398×00(=0)，398×400，最後再全部加起來，得到答案。
事實上，這個題目有一個快速的算法。相信大家都學過國中的乘法公式與多項式。這一題我們要利用的是平方差的公式：(a+b)(a-b) = a2-b2 。
因此398×402可寫為
398×402
= (400－2)(400+2)
=4002－22
=16000-4
=159996
另外平時在計算小數點的時候也很容易出錯，例如164×0.75，看起來就像是三位數乘法一樣麻煩。這時候我們可以將小數看成是分數，將原題寫為
164×0.75
=164×(3/4)
=164÷4×3
=41×3
=123
這樣是不是算得又快又好呢!
像這樣，面對數字計算問題的時候，不需要用學校教的正面迎擊方法硬碰硬，而是隨機應變，依照每個問題的特性，選擇適合的方法，而且，這種隨機應變的精神，不僅可以用於速算技巧，生活中各個層面也可以讓我們的思考變得更加靈活。
本書除了速算，也介紹快速「概算」和「驗算」技巧。「概算」和「驗算」的精神在於去蕪存菁、立即看穿本質。因此，進行快速概算，可在一瞬間看穿事物的本質。這樣的思考方式，既有益於數學計算，又能運用在日常生活和工作方面。比別人早一步看穿數量本質，這個能力，將成為你謀生的一大利器。
本書前半部介紹速算的基本技巧，並附有大量練習題，目的是讓讀者學會運用這些計算方法。後半部則介紹與速算有關的各種計算知識，以及使生活變得更有趣的數學常識等等。
希望讀者能夠藉由閱讀本書，對數學計算改觀，開始喜歡數字，進而更加享受生活和工作。
目錄
前言
第1章速算技巧的基礎知識
第2章補數的速算技巧練習
第3章運用特定模式的速算技巧
第4章計算速度倍增的訣竅
第5章瞬間掌握本質的概算技巧
第6章快速驗算技巧
第7章古今中外的算術技巧
第8章日常生活中的換算技巧
第9章當下立刻進行正確判斷的邏輯思維
索引
試閱
熟練速算的人≒腦筋清醒，運作快速
≒正確判斷
≒很會考試
熟練概算的人≒能夠快速掌握事物本質
能夠三兩下計算答案，這樣的人很擅長速算，總是讓旁人嘆為觀止。熟練速算的人，就會被認為是腦筋動得快、能快速正確判斷。
事實上，熟練速算的人，任何考試都容易拿高分。一般的考試都會要求在有限的時間內正確解答大量問題，所以如果在數字計算上花太多時間，會無法順利作答。
由此可知，運用速算技巧迅速完成計算，多出來的時間就可以運用到需要仔細作答的問題上，得到更完整的答案。
速算裡面有一種技巧叫概算，概算的精神在於去蕪存菁、看穿數量的本質，因此，如果平常習於快速概算，相當於在不知不覺中進行了「掌握事物本質的訓練」這樣的思考方式，不但有益數學計算，也能運用在日常生活和工作上。
培養看穿數量本質的能力，可提升效率，成為讀書考試利器。
小學學過的加減乘除，是所謂的「正面攻擊法」，在任何情況下使用這種計算方式，都一定可以得到正解。這種「正面攻擊法」如果用藥物來比喻，就是不管什麼疾病都能醫治的萬靈丹。
但是，這種萬靈丹的缺點是「藥效慢」，如果是特殊疾病，特效藥更能發揮治療效果，速度也比萬靈丹更快，因此，對付各種疾病，我們不只要準備萬靈丹，也要準備許多特效藥。而計算上的特效藥，就是速算的技巧。
萬靈丹用途很多、很方便，可是很花時間。
特效藥雖然只能用在特定狀況，但是立刻見效！
第2章
補數的速算
技巧練習
本章將結合心算，介紹速算技巧。速算的基礎並非心算，但可運用心算輔助。剛開始學速算，難免對新觀念和思考方式感到困惑，因此不妨多多練習本章所教導的技巧，相信日後便能快速上手。
2-1 運用補數快速找零錢
例題
從最高位數開始計算
（9補數，也就是9－8）
（9補數，也就是9－2）
（10補數，也就是10－7）
這是在1-8節介紹過的方法。用大鈔買東西的時候，會找回很多零錢，這個時候，依序個位、十位、百位計算會比較慢。
快速求解可從最高位數開始，找每一位數的「補數」就能求得答案，但是要特別注意個位數是要找10補數。下圖以直式減法來說明：練習1 初級篇
（1）100－87
從十位數的「8」開始，「9－8＝1」，因此十位數為1；接下來個位要找10補數，也就是「10－7＝3」，所以個位數為3，因此解答為13。
（2）100－76
從十位數的「7」開始，「9－7＝2」，因此十位數為2；個位要找10補數，「10－6＝4」，所以個位數為4，因此解答為24。
（3）100－42
可以很快求得答案「58」。
（4）1000－298
三位數減法也是同樣的道理。百位數是「9－2」，十位數是「9－9」，個位數是「10－8」，可以快速求得答案。
2-2 心算順序：由左而右
例題
由左而右
分解
由左而右
假如例題改為（45＋37）而是（43＋33），就可以像平常利用紙筆輕鬆計算，從個位數開始算（ 3 ＋ 3 ＝ 6 ），十位數則是（ 4 ＋ 3 ＝7），不需要進位可求得答案，這種題目心算也沒問題。
然而，如果要用心算來解原題（45＋37），個位數（5＋7＝12）突然出現了令人傷腦筋的進位。必須暫時記著進位的1，同時進行十位數計算，心算變得有些麻煩。
123 由左而右讀作一百二十三，心算順序也是這樣自然而然！
將複雜的計算變簡單，省時省力又不容易算錯。首先將45加上37左半邊（十位數）的30，等於75，可以簡單心算。接下來75再加上37右半邊（個位數）的7，等於82，這些計算都不難。
乘法也是相同的道理。計算6×45時，6先乘以45左半邊（十位數）的40，得到240，接著將6乘以45右半邊（個位數）的5，得到30，再加上已得的240，求得答案為270。以文字敘述可能有些複雜，可看前頁算式比較清楚。
我們平時習慣紙筆計算，依序「個位數→十位數……」計算，所以剛開始練習速算會覺得不習慣，然而，等到習慣了「由左而右」的計算順序，計算起來將會得心應手。
接下來請做練習題。
練習1 加法篇
（1）52＋39
＝52＋30＋9＝82＋9＝91
計算時先不要看個位的「2和9」，而要先思考「52＋30」，心算得到82，最後再加上剩下的9。
（2）23＋17
＝23＋10＋7＝33＋7＝40
（3）63＋44
＝63＋40＋4＝103＋4＝107
2-3 尋找「10的倍數」配對組合
例題
計算複雜數字的時候，有些人會從頭開始猛算，這樣不但可能花太多時間，還容易計算錯誤。遇到複雜的計算，請先停下來想一想「關於這個問題，有什麼方法可以正確而快速求解呢？」這便是速算技術的基本精神。關於這個題目，這時我們需要思考「能不能找到適當的數字組合，湊成10的倍數？」也就是所謂的配對，以簡化計算，錯誤也會減少。如果無法配對，可再尋找其他的方法。
尋找適當的配對組合！
2-4 計算等差級數的和，先看中間
例題
5個數字 （數列總共有奇數個數字）
（後面的數比前一個數多2）
4個數字 （數列總共有偶數個數字）
（後面的數比前一個數多5）
以固定的幅度逐漸增加的數列，計算的時候，是不是一個個循序相加呢？遇到這類問題，其實可以把「加法變乘法」快速求解。
①計算的數字為奇數個
如果要計算的數有奇數個，將「正中央的數×個數」即可。
②計算的數字為偶數個
（正中央的數）×（個數）
若要計算的數字為偶數個，比較麻煩一點，請先把「正中央的2個數字相加，再乘以數字個數的一半」。當然也可以把「正中央的2個數相加除以2，再乘以數字個數」，覺得哪一種好用就用哪一種。
數列一共有偶數個數字喔。
＝（正中央2個數的和）×（數字個數的一半）
練習
（1）1＋2＋3＋4＋5
＝3×5＝15
「後面的數比前一個數多1」此數列的加法，數字為奇數個（5 個），因此將正中央的「3」乘以5。
（2）1＋2＋3＋4＋5＋6
＝（3＋4）×3＝21
「後面的數比前一個數多1」此數列的加法，數字為偶數個（6個），因此，將正中央的2個數「3＋4」先乘以6再除以2。
（3）30＋40＋50＋60
＝（40＋50）×2＝180
（4）30＋40＋50＋60＋70
＝50×5＝250
（5）3＋5＋7＋9＋11＋13＋15
＝9×7＝63
「每個數都比前一個數多2」此數列的加法，算法和前面一樣。數字為奇數個（7個），所以將正中央的「9」乘以7。
（6）3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17
＝（9＋11）×4＝80
「每個數都比前一個數多2」此數列的加法，數字為偶數個（8個），所以將正中央2 個 數 相 加 「9 ＋11 」 求 和 ， 再 乘 以4（8÷2）即可。或者，先把正中央2個數的和（9＋11＝20）除以2，求得10，再乘以8也可以。此兩種方法以後者在心算上比較簡單。
這種思考方式的一般化，會在7-6節「高斯的天才計算」進一步介紹。
2-5 加減法運用10的倍數調整
例題
減掉10的倍數
加上10的倍數
調整進行減法運算的時候，把「減數」換成10的倍數，計算會變得比較 簡 單 。 因 此 像 上 面 例 題 的 情 況 ， 把 減 數 「 81 」 分 解 為 10 的 倍 數「80」和零頭「1」，先減掉十進位整數「80」，再調整沒減掉的（或是減過頭的）零頭「1」，就是這一節所要介紹的技巧。
同時，這個方法也可以運用在加法運算。同上，先加上十進位整數，再調整不夠的數（或是加過頭的）即可。
對了，這種計算方式，是不是覺得似曾相識呢？是的，和2-2節的分解很類似。在2-2節中，（45＋37）將十位數和個位數分開計算，也就是說，先計算（45＋30＝75），再求（75＋7＝82）。
2-5這一節的方法，與2-2節形式相同，但觀念有些不同。2-2節分解數字時並沒有考慮換成10的倍數，而是直接拆成2個數，例如「加39」，可將39拆成「30」和「9」。
然而，此節的思考方式有些不同，是「想要加39，將39變成10的倍數40來計算」，然後「再減掉1」。
這個想法就像「先用大桶子全部舀起來，然後再調整份量」。
最後再來調整即可。
練習
（1）77－61
＝77－60－1＝17－1＝16
（2）85＋41
＝85＋40＋1＝125＋1＝126
（3）781－67
＝781－60－7＝721－7＝714
三位數不必害怕。減數67是2位數，可分解為「60＋7」或「70－3」。
（4）2981－603
＝2981－600－3＝2381－3＝2378
（5）859－298
＝859－300＋2＝559＋2＝561
（6）651－67
＝651－70＋3＝581＋3＝584
減數和例題（3）一樣是「67」，這次將67分解為「70－3」。
（7）3584－1982
＝3584－2000＋18＝1584＋18＝1602
這種複雜題目一般不能用心算求解，然而如果先減掉2000再調整回來，心算就會比較容易。
（8）981＋67
＝981＋60＋7＝1041＋7＝1048
（9）1981＋603
＝1981＋600＋3＝2581＋3＝2584
（10）759＋298
＝759＋300－2＝1059－2＝1057
（11）783＋102
＝783＋100＋2＝883＋2＝885
（12）4727＋3984
＝4727＋4000－16＝8727－16＝8711
這一題用心算求解也不好算，可以先加4000，得到8727（光計算千位數即可），最後再減掉16。
2-6 連續加減法的數項太多，請先分類
例題
先把加法和減法分開！
如上述例題所示，加減運算數項太多的計算很麻煩。遇到這類問題時，要先做的是「把加法和減法分成兩類」，加法一類，減法一類。
分類和分解，是速算的基礎！
練習
（1）4－8＋2－4＋1－5
＝（4＋2＋1）－（8＋4＋5）
＝7－17
＝－10（2）40－10＋70－20＋30－10
＝（40＋70＋30）－（10＋20＋10）
＝140－40
＝100
（3）28－12－29＋83
＝（28＋83）－（12＋29）
＝111－41
＝111－1－40
＝70
（4）750－120－270＋85－130
＝（750＋85）－（120＋270＋130）
＝835－520
＝835－500－20
＝335－20
＝315
2-7 數字很接近的連續加法速算
例題
先抓基準數100！
簡化！
遇到上面的例題，一般人會直接從頭開始算，但是如果停下來想一想，會發現題目中所有數字98∼105都非常相近。遇到這類問題時，先找一個數當作基準數，接著「用基準數減掉多餘的部分或加上缺少的部分」，這樣計算就會變得更快。決定基準數並沒有規則，但以10的倍數為準會比較好算。
≒正確判斷
≒很會考試
熟練概算的人≒能夠快速掌握事物本質
能夠三兩下計算答案，這樣的人很擅長速算，總是讓旁人嘆為觀止。熟練速算的人，就會被認為是腦筋動得快、能快速正確判斷。
事實上，熟練速算的人，任何考試都容易拿高分。一般的考試都會要求在有限的時間內正確解答大量問題，所以如果在數字計算上花太多時間，會無法順利作答。
由此可知，運用速算技巧迅速完成計算，多出來的時間就可以運用到需要仔細作答的問題上，得到更完整的答案。
速算裡面有一種技巧叫概算，概算的精神在於去蕪存菁、看穿數量的本質，因此，如果平常習於快速概算，相當於在不知不覺中進行了「掌握事物本質的訓練」這樣的思考方式，不但有益數學計算，也能運用在日常生活和工作上。
培養看穿數量本質的能力，可提升效率，成為讀書考試利器。
小學學過的加減乘除，是所謂的「正面攻擊法」，在任何情況下使用這種計算方式，都一定可以得到正解。這種「正面攻擊法」如果用藥物來比喻，就是不管什麼疾病都能醫治的萬靈丹。
但是，這種萬靈丹的缺點是「藥效慢」，如果是特殊疾病，特效藥更能發揮治療效果，速度也比萬靈丹更快，因此，對付各種疾病，我們不只要準備萬靈丹，也要準備許多特效藥。而計算上的特效藥，就是速算的技巧。
萬靈丹用途很多、很方便，可是很花時間。
特效藥雖然只能用在特定狀況，但是立刻見效！
第2章
補數的速算
技巧練習
本章將結合心算，介紹速算技巧。速算的基礎並非心算，但可運用心算輔助。剛開始學速算，難免對新觀念和思考方式感到困惑，因此不妨多多練習本章所教導的技巧，相信日後便能快速上手。
2-1 運用補數快速找零錢
例題
從最高位數開始計算
（9補數，也就是9－8）
（9補數，也就是9－2）
（10補數，也就是10－7）
這是在1-8節介紹過的方法。用大鈔買東西的時候，會找回很多零錢，這個時候，依序個位、十位、百位計算會比較慢。
快速求解可從最高位數開始，找每一位數的「補數」就能求得答案，但是要特別注意個位數是要找10補數。下圖以直式減法來說明：練習1 初級篇
（1）100－87
從十位數的「8」開始，「9－8＝1」，因此十位數為1；接下來個位要找10補數，也就是「10－7＝3」，所以個位數為3，因此解答為13。
（2）100－76
從十位數的「7」開始，「9－7＝2」，因此十位數為2；個位要找10補數，「10－6＝4」，所以個位數為4，因此解答為24。
（3）100－42
可以很快求得答案「58」。
（4）1000－298
三位數減法也是同樣的道理。百位數是「9－2」，十位數是「9－9」，個位數是「10－8」，可以快速求得答案。
2-2 心算順序：由左而右
例題
由左而右
分解
由左而右
假如例題改為（45＋37）而是（43＋33），就可以像平常利用紙筆輕鬆計算，從個位數開始算（ 3 ＋ 3 ＝ 6 ），十位數則是（ 4 ＋ 3 ＝7），不需要進位可求得答案，這種題目心算也沒問題。
然而，如果要用心算來解原題（45＋37），個位數（5＋7＝12）突然出現了令人傷腦筋的進位。必須暫時記著進位的1，同時進行十位數計算，心算變得有些麻煩。
123 由左而右讀作一百二十三，心算順序也是這樣自然而然！
將複雜的計算變簡單，省時省力又不容易算錯。首先將45加上37左半邊（十位數）的30，等於75，可以簡單心算。接下來75再加上37右半邊（個位數）的7，等於82，這些計算都不難。
乘法也是相同的道理。計算6×45時，6先乘以45左半邊（十位數）的40，得到240，接著將6乘以45右半邊（個位數）的5，得到30，再加上已得的240，求得答案為270。以文字敘述可能有些複雜，可看前頁算式比較清楚。
我們平時習慣紙筆計算，依序「個位數→十位數……」計算，所以剛開始練習速算會覺得不習慣，然而，等到習慣了「由左而右」的計算順序，計算起來將會得心應手。
接下來請做練習題。
練習1 加法篇
（1）52＋39
＝52＋30＋9＝82＋9＝91
計算時先不要看個位的「2和9」，而要先思考「52＋30」，心算得到82，最後再加上剩下的9。
（2）23＋17
＝23＋10＋7＝33＋7＝40
（3）63＋44
＝63＋40＋4＝103＋4＝107
2-3 尋找「10的倍數」配對組合
例題
計算複雜數字的時候，有些人會從頭開始猛算，這樣不但可能花太多時間，還容易計算錯誤。遇到複雜的計算，請先停下來想一想「關於這個問題，有什麼方法可以正確而快速求解呢？」這便是速算技術的基本精神。關於這個題目，這時我們需要思考「能不能找到適當的數字組合，湊成10的倍數？」也就是所謂的配對，以簡化計算，錯誤也會減少。如果無法配對，可再尋找其他的方法。
尋找適當的配對組合！
2-4 計算等差級數的和，先看中間
例題
5個數字 （數列總共有奇數個數字）
（後面的數比前一個數多2）
4個數字 （數列總共有偶數個數字）
（後面的數比前一個數多5）
以固定的幅度逐漸增加的數列，計算的時候，是不是一個個循序相加呢？遇到這類問題，其實可以把「加法變乘法」快速求解。
①計算的數字為奇數個
如果要計算的數有奇數個，將「正中央的數×個數」即可。
②計算的數字為偶數個
（正中央的數）×（個數）
若要計算的數字為偶數個，比較麻煩一點，請先把「正中央的2個數字相加，再乘以數字個數的一半」。當然也可以把「正中央的2個數相加除以2，再乘以數字個數」，覺得哪一種好用就用哪一種。
數列一共有偶數個數字喔。
＝（正中央2個數的和）×（數字個數的一半）
練習
（1）1＋2＋3＋4＋5
＝3×5＝15
「後面的數比前一個數多1」此數列的加法，數字為奇數個（5 個），因此將正中央的「3」乘以5。
（2）1＋2＋3＋4＋5＋6
＝（3＋4）×3＝21
「後面的數比前一個數多1」此數列的加法，數字為偶數個（6個），因此，將正中央的2個數「3＋4」先乘以6再除以2。
（3）30＋40＋50＋60
＝（40＋50）×2＝180
（4）30＋40＋50＋60＋70
＝50×5＝250
（5）3＋5＋7＋9＋11＋13＋15
＝9×7＝63
「每個數都比前一個數多2」此數列的加法，算法和前面一樣。數字為奇數個（7個），所以將正中央的「9」乘以7。
（6）3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17
＝（9＋11）×4＝80
「每個數都比前一個數多2」此數列的加法，數字為偶數個（8個），所以將正中央2 個 數 相 加 「9 ＋11 」 求 和 ， 再 乘 以4（8÷2）即可。或者，先把正中央2個數的和（9＋11＝20）除以2，求得10，再乘以8也可以。此兩種方法以後者在心算上比較簡單。
這種思考方式的一般化，會在7-6節「高斯的天才計算」進一步介紹。
2-5 加減法運用10的倍數調整
例題
減掉10的倍數
加上10的倍數
調整進行減法運算的時候，把「減數」換成10的倍數，計算會變得比較 簡 單 。 因 此 像 上 面 例 題 的 情 況 ， 把 減 數 「 81 」 分 解 為 10 的 倍 數「80」和零頭「1」，先減掉十進位整數「80」，再調整沒減掉的（或是減過頭的）零頭「1」，就是這一節所要介紹的技巧。
同時，這個方法也可以運用在加法運算。同上，先加上十進位整數，再調整不夠的數（或是加過頭的）即可。
對了，這種計算方式，是不是覺得似曾相識呢？是的，和2-2節的分解很類似。在2-2節中，（45＋37）將十位數和個位數分開計算，也就是說，先計算（45＋30＝75），再求（75＋7＝82）。
2-5這一節的方法，與2-2節形式相同，但觀念有些不同。2-2節分解數字時並沒有考慮換成10的倍數，而是直接拆成2個數，例如「加39」，可將39拆成「30」和「9」。
然而，此節的思考方式有些不同，是「想要加39，將39變成10的倍數40來計算」，然後「再減掉1」。
這個想法就像「先用大桶子全部舀起來，然後再調整份量」。
最後再來調整即可。
練習
（1）77－61
＝77－60－1＝17－1＝16
（2）85＋41
＝85＋40＋1＝125＋1＝126
（3）781－67
＝781－60－7＝721－7＝714
三位數不必害怕。減數67是2位數，可分解為「60＋7」或「70－3」。
（4）2981－603
＝2981－600－3＝2381－3＝2378
（5）859－298
＝859－300＋2＝559＋2＝561
（6）651－67
＝651－70＋3＝581＋3＝584
減數和例題（3）一樣是「67」，這次將67分解為「70－3」。
（7）3584－1982
＝3584－2000＋18＝1584＋18＝1602
這種複雜題目一般不能用心算求解，然而如果先減掉2000再調整回來，心算就會比較容易。
（8）981＋67
＝981＋60＋7＝1041＋7＝1048
（9）1981＋603
＝1981＋600＋3＝2581＋3＝2584
（10）759＋298
＝759＋300－2＝1059－2＝1057
（11）783＋102
＝783＋100＋2＝883＋2＝885
（12）4727＋3984
＝4727＋4000－16＝8727－16＝8711
這一題用心算求解也不好算，可以先加4000，得到8727（光計算千位數即可），最後再減掉16。
2-6 連續加減法的數項太多，請先分類
例題
先把加法和減法分開！
如上述例題所示，加減運算數項太多的計算很麻煩。遇到這類問題時，要先做的是「把加法和減法分成兩類」，加法一類，減法一類。
分類和分解，是速算的基礎！
練習
（1）4－8＋2－4＋1－5
＝（4＋2＋1）－（8＋4＋5）
＝7－17
＝－10（2）40－10＋70－20＋30－10
＝（40＋70＋30）－（10＋20＋10）
＝140－40
＝100
（3）28－12－29＋83
＝（28＋83）－（12＋29）
＝111－41
＝111－1－40
＝70
（4）750－120－270＋85－130
＝（750＋85）－（120＋270＋130）
＝835－520
＝835－500－20
＝335－20
＝315
2-7 數字很接近的連續加法速算
例題
先抓基準數100！
簡化！
遇到上面的例題，一般人會直接從頭開始算，但是如果停下來想一想，會發現題目中所有數字98∼105都非常相近。遇到這類問題時，先找一個數當作基準數，接著「用基準數減掉多餘的部分或加上缺少的部分」，這樣計算就會變得更快。決定基準數並沒有規則，但以10的倍數為準會比較好算。
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