數學分析圖鑑：圖解x實例，從微積分到向量分析，一本搞定！
活動訊息
內容簡介
你是否曾覺得數學在高中之後突然變得高深莫測、理論抽象難懂、證明過程繁瑣看不懂、公式記不住、概念理解不清、學得你一頭霧水？本書正是為解決你的困擾而生，帶你從零開始，掌握最實用的數學工具？
這本書從最基本的函數與數列開始，深入淺出地介紹數學分析的核心內容，包括微積分、多變數函數、向量分析、複變函數、微分方程式、數值近似等，告別抽象，不講枯燥證明，只講實際用途與直觀理解，讓你一看就懂，快速掌握核心知識
作者以工程師的視角，用圖解、比喻、實例帶你輕鬆讀懂難懂的數學觀念
★ 每章附設【專欄】，連結生活與實務情境
★ 視覺化設計，幫助快速吸收
★ 特別適合理工科學生、經濟系學生、工程師、資料分析人員
本書特色：
• 從「怎麼用」而非「怎麼證明」來切入
• 一次打通從高中到大學的數學任督二脈
• 以「使用數學的人」的角度，帶你快速掌握數學分析的全貌
讀完這本書，你將能：
✅ 看懂函數如何描述現象
✅ 掌握微積分在模型與預測中的角色
✅ 理解多變數與向量分析在工程中的應用
✅ 進一步學習統計、資料科學或機器學習所需的數學基礎
只要一本，就能打下數學應用的紮實基礎！
不論你是學生還是工程師，翻開這本書，數學都將成為你的工具，而不是障礙
本書徹底杜絕枯燥的抽象化說明與複雜的定理證明，取而代之的是：
• 套色圖解與豐富插圖：將抽象概念視覺化，複雜的函數、微積分、向量分析，都能一目瞭然。
• 大量實例解析：擺脫紙上談兵，透過具體案例深入理解數學的實際應用與意義。
• 系統化學習路徑：從高中程度的函數與微積分出發，逐步涵蓋多變數函數、向量分析、複變函數、微分方程式，乃至數值分析，一本就能搞定所有必要基礎。
本書專為需要快速掌握數學分析核心的理工、經濟科系學生、工程師，以及所有從事數學相關工作或研究的人而設計
無論你是為了應付課業、職場應用，還是純粹想理解數學的奧秘，這本書都能成為你最實用的工具書，讓你在最短的時間內，學會數學分析的精髓，讓學習與工作更有效率！
★前師範大學系教授兼主任 洪萬生 審訂
這本書從最基本的函數與數列開始，深入淺出地介紹數學分析的核心內容，包括微積分、多變數函數、向量分析、複變函數、微分方程式、數值近似等，告別抽象，不講枯燥證明，只講實際用途與直觀理解，讓你一看就懂，快速掌握核心知識
作者以工程師的視角，用圖解、比喻、實例帶你輕鬆讀懂難懂的數學觀念
★ 每章附設【專欄】，連結生活與實務情境
★ 視覺化設計，幫助快速吸收
★ 特別適合理工科學生、經濟系學生、工程師、資料分析人員
本書特色：
• 從「怎麼用」而非「怎麼證明」來切入
• 一次打通從高中到大學的數學任督二脈
• 以「使用數學的人」的角度，帶你快速掌握數學分析的全貌
讀完這本書，你將能：
✅ 看懂函數如何描述現象
✅ 掌握微積分在模型與預測中的角色
✅ 理解多變數與向量分析在工程中的應用
✅ 進一步學習統計、資料科學或機器學習所需的數學基礎
只要一本，就能打下數學應用的紮實基礎！
不論你是學生還是工程師，翻開這本書，數學都將成為你的工具，而不是障礙
本書徹底杜絕枯燥的抽象化說明與複雜的定理證明，取而代之的是：
• 套色圖解與豐富插圖：將抽象概念視覺化，複雜的函數、微積分、向量分析，都能一目瞭然。
• 大量實例解析：擺脫紙上談兵，透過具體案例深入理解數學的實際應用與意義。
• 系統化學習路徑：從高中程度的函數與微積分出發，逐步涵蓋多變數函數、向量分析、複變函數、微分方程式，乃至數值分析，一本就能搞定所有必要基礎。
本書專為需要快速掌握數學分析核心的理工、經濟科系學生、工程師，以及所有從事數學相關工作或研究的人而設計
無論你是為了應付課業、職場應用，還是純粹想理解數學的奧秘，這本書都能成為你最實用的工具書，讓你在最短的時間內，學會數學分析的精髓，讓學習與工作更有效率！
★前師範大學系教授兼主任 洪萬生 審訂
目錄
第1章 函數與數列
1-1 吐出數字的盒子 函數
1-2 反向、巢狀結構、暗示 反函數、合成函數、隱函數
1-3 函數的基礎的基礎 冪函數（n次函數）
1-4 正弦與餘弦與其說是三角函數，更像是波函數 三角函數
1-5 說明呈幾何級數增加的方法 指數函數
1-6 精簡地呈現龐大的數 對數函數
1-7 學習數學分析的關鍵 数列
1-8 有點麻煩卻很有用 參數、極座標
Column 對數圖的使用方法
第2章 微分法
2-1 何謂「趨近」 極限、無限大
2-2 微分係數可以這樣理解 微分的定義
2-3 總之先記住吧 主要函數的微分
2-4 介紹技巧 各種微分公式
2-5 有助預測股價 函數的增減、凹凸、高次導函數
2-6 雖然理所當然，卻很深奧 中間值定理、均值定理
2-7 實用數學必備絕招 泰勒級數、馬克勞林級數
2-8 嚴謹定義「逼近」 ε-δ論證
Column 函數的增減、凹凸與股價的變動
第3章 積分法
3-1 就算加了無限個也不一定會變成無限大 無窮級數
3-2 積分有兩個意思 積分、微積分的基本定理
3-3 最終只能背下來 不定積分的公式
3-4 思考面積的區間吧 定積分的公式
3-5 計算複雜積分所需的技巧 分部積分法、代換積分法
3-6 以積分求出的各種量 體積、曲線的長度
3-7 【擴充內容】延拓積分 勒貝格積分
Column 汽車追不上腳踏車？
第4章 多變數函數
4-1 「其他」的部分固定再微分 偏微分
4-2 ∂與d有什麼不同？ 全微分
4-3 總之很方便的計算方法 拉格朗日乘數
4-4 只是多積分幾次 多重積分
4-5 利用多變數轉換座標？ 連鎖法則、雅可比變數轉換
4-6 各種區域的積分 線積分、面積分
Column 拉格朗日乘數法為何成立？
第5章 向量分析
5-1 箭頭也有各種性質 向量的基礎
5-2 只有維度增加，一點也不困難 向量的微分與積分
5-3 指出最陡急之處的向量 梯度（grad）
5-4 代表湧出與吸入的純量 散度（div）
5-5 描述超小型水車旋轉作用的向量 旋轉（rot）
5-6 結果是純量 向量值函數的線積分、面積分
5-7 向量分析的集大成 斯托克斯定理、高斯定理
Column 從安培環路定律了解向量的旋轉
第6章 複變函數
6-1 不只是i2＝-1 複數的基礎
6-2 指數函數與三角函數的橋樑 歐拉公式
6-3 也有無數個值存在 各種複變函數
6-4 複數函數的微分概念 柯西-黎曼方程
6-5 複變函數的積分邏輯 柯西積分定理
6-6 複變函數在實數函數的積分很實用 留數定理
6-7 理工學的法寶、實用度No1 傅立葉轉換
Column 複數的便利性與四元數
第7章 微分方程式
7-1 奠定科學基礎的工具 微分方程式的基本
7-2 先徹底了解型態 基本的常微分方程式的解法
7-3 輕鬆解開微分方程式 拉普拉斯轉換
7-4 多變數函數的微分方程式 偏微分方程式
第8章 近似、數值計算
8-1 要決定割捨什麼的步驟最難 一次逼近
8-2 實用度No1的方程式數值解法 牛頓拉弗森方法
8-3 變成差分，微分也變得簡單 數值微分
8-4 只是要計算面積 數值積分
8-5 常微分方程式具代表性的數值解法 歐拉方法、龍格-庫塔法
索引
1-1 吐出數字的盒子 函數
1-2 反向、巢狀結構、暗示 反函數、合成函數、隱函數
1-3 函數的基礎的基礎 冪函數（n次函數）
1-4 正弦與餘弦與其說是三角函數，更像是波函數 三角函數
1-5 說明呈幾何級數增加的方法 指數函數
1-6 精簡地呈現龐大的數 對數函數
1-7 學習數學分析的關鍵 数列
1-8 有點麻煩卻很有用 參數、極座標
Column 對數圖的使用方法
第2章 微分法
2-1 何謂「趨近」 極限、無限大
2-2 微分係數可以這樣理解 微分的定義
2-3 總之先記住吧 主要函數的微分
2-4 介紹技巧 各種微分公式
2-5 有助預測股價 函數的增減、凹凸、高次導函數
2-6 雖然理所當然，卻很深奧 中間值定理、均值定理
2-7 實用數學必備絕招 泰勒級數、馬克勞林級數
2-8 嚴謹定義「逼近」 ε-δ論證
Column 函數的增減、凹凸與股價的變動
第3章 積分法
3-1 就算加了無限個也不一定會變成無限大 無窮級數
3-2 積分有兩個意思 積分、微積分的基本定理
3-3 最終只能背下來 不定積分的公式
3-4 思考面積的區間吧 定積分的公式
3-5 計算複雜積分所需的技巧 分部積分法、代換積分法
3-6 以積分求出的各種量 體積、曲線的長度
3-7 【擴充內容】延拓積分 勒貝格積分
Column 汽車追不上腳踏車？
第4章 多變數函數
4-1 「其他」的部分固定再微分 偏微分
4-2 ∂與d有什麼不同？ 全微分
4-3 總之很方便的計算方法 拉格朗日乘數
4-4 只是多積分幾次 多重積分
4-5 利用多變數轉換座標？ 連鎖法則、雅可比變數轉換
4-6 各種區域的積分 線積分、面積分
Column 拉格朗日乘數法為何成立？
第5章 向量分析
5-1 箭頭也有各種性質 向量的基礎
5-2 只有維度增加，一點也不困難 向量的微分與積分
5-3 指出最陡急之處的向量 梯度（grad）
5-4 代表湧出與吸入的純量 散度（div）
5-5 描述超小型水車旋轉作用的向量 旋轉（rot）
5-6 結果是純量 向量值函數的線積分、面積分
5-7 向量分析的集大成 斯托克斯定理、高斯定理
Column 從安培環路定律了解向量的旋轉
第6章 複變函數
6-1 不只是i2＝-1 複數的基礎
6-2 指數函數與三角函數的橋樑 歐拉公式
6-3 也有無數個值存在 各種複變函數
6-4 複數函數的微分概念 柯西-黎曼方程
6-5 複變函數的積分邏輯 柯西積分定理
6-6 複變函數在實數函數的積分很實用 留數定理
6-7 理工學的法寶、實用度No1 傅立葉轉換
Column 複數的便利性與四元數
第7章 微分方程式
7-1 奠定科學基礎的工具 微分方程式的基本
7-2 先徹底了解型態 基本的常微分方程式的解法
7-3 輕鬆解開微分方程式 拉普拉斯轉換
7-4 多變數函數的微分方程式 偏微分方程式
第8章 近似、數值計算
8-1 要決定割捨什麼的步驟最難 一次逼近
8-2 實用度No1的方程式數值解法 牛頓拉弗森方法
8-3 變成差分，微分也變得簡單 數值微分
8-4 只是要計算面積 數值積分
8-5 常微分方程式具代表性的數值解法 歐拉方法、龍格-庫塔法
索引
序／導讀
前 言
本書的目的在於讓從事數學相關工作或研究的人、理工組及經濟系的學生、工程師、須要了解統計學的人，早點掌握數學分析學全貌。
本書一開始從高中程度的函數與微積分開始介紹，接著說明多變數函數的微積分、向量分析、複變函數、微分方程式、數值分析，是說明相當全面的一本書。
許多讀者應該都覺得「考進大學之後，數學突然變得很深奧」對吧。的確，進入大學之後，數學突然變難了。
主要原因有兩個。
第一個是大學的數學比高中的數學更加抽象，另一個是大學的數學將重點放在定理的證明，而定理的意義與必然性也通常很艱澀難懂。
本書的堅持就是徹底杜絕上述那些原因。
第一步，本書不會使用抽象化的說明，而會透過具體的例子、圖形與插圖說明，希望讓大家透過插圖、對話框這類視覺設計了解主題。
其次，除了特殊情況，本書不會提及定理的證明或是公式的推導過程。因為在學習初期掌握全貌時，上述的證明只是一種雜訊，所以本書是將重點放在以簡單易懂的詞彙說明定理的意義與必然性。
其實我不是數學專家，而是從事半導體設計的工程師，負責的業務叫做「建模」，而這項工作會用到微積分、矩陣、向量、統計學這些數學，以將半導體元件的特性轉換成公式。
由此可知，我不是研究數學的人，而是使用數學的人，所以在數學家眼中，我的說明或許不夠嚴謹，但我相信有許多人都需要像我這種理解數學的方式，我也是為了這樣的讀者才寫了這本書。
接下來就讓我們一起學習數學分析學吧。只要閱讀本書，應該能在最短時間內，學會數學分析學的必要基礎，省下來的時間請大家拿去做該做的工作。
但願本書能幫助各位加快學習數學、研究數學與工作的腳步，讓生活變得更加豐富。
藏本貴文
本書的目的在於讓從事數學相關工作或研究的人、理工組及經濟系的學生、工程師、須要了解統計學的人，早點掌握數學分析學全貌。
本書一開始從高中程度的函數與微積分開始介紹，接著說明多變數函數的微積分、向量分析、複變函數、微分方程式、數值分析，是說明相當全面的一本書。
許多讀者應該都覺得「考進大學之後，數學突然變得很深奧」對吧。的確，進入大學之後，數學突然變難了。
主要原因有兩個。
第一個是大學的數學比高中的數學更加抽象，另一個是大學的數學將重點放在定理的證明，而定理的意義與必然性也通常很艱澀難懂。
本書的堅持就是徹底杜絕上述那些原因。
第一步，本書不會使用抽象化的說明，而會透過具體的例子、圖形與插圖說明，希望讓大家透過插圖、對話框這類視覺設計了解主題。
其次，除了特殊情況，本書不會提及定理的證明或是公式的推導過程。因為在學習初期掌握全貌時，上述的證明只是一種雜訊，所以本書是將重點放在以簡單易懂的詞彙說明定理的意義與必然性。
其實我不是數學專家，而是從事半導體設計的工程師，負責的業務叫做「建模」，而這項工作會用到微積分、矩陣、向量、統計學這些數學，以將半導體元件的特性轉換成公式。
由此可知，我不是研究數學的人，而是使用數學的人，所以在數學家眼中，我的說明或許不夠嚴謹，但我相信有許多人都需要像我這種理解數學的方式，我也是為了這樣的讀者才寫了這本書。
接下來就讓我們一起學習數學分析學吧。只要閱讀本書，應該能在最短時間內，學會數學分析學的必要基礎，省下來的時間請大家拿去做該做的工作。
但願本書能幫助各位加快學習數學、研究數學與工作的腳步，讓生活變得更加豐富。
藏本貴文
試閱
汽車追不上腳踏車？
大家聽過「追逐腳踏車的汽車追不上腳踏車」這個故事嗎？或是「飛箭追不上飛鳥」「兔子追不上烏龜」這類故事。簡單來說，就是速度較快的東西追不上速度較慢的東西的故事。這是由古希臘哲學家芝諾提出的主張，所以又稱為芝諾悖論。
假設有輛汽車與腳踏車沿著同一條路、同一個方向同時出發，而腳踏車在汽車前方20公里的地點A出發。汽車以時速40公里前進，腳踏車以時速20公里前進時，汽車要花多少時間才能追到腳踏車呢？答案很簡單，1個小時之後。因為此時汽車走了40公里。
不過，若是以下列的邏輯思考，又會得到什麼結果（這就是芝諾的邏輯）。
在0.5小時之後，汽車來到地點A，但腳踏車已經前進到10公里遠的地點B。在0.75（＝0.5＋0.25）小時之後，汽車來到地點B，但是腳踏車已經前進到5公里遠的地點C。在0.875（＝0.5＋0.25＋0.125）小時之後，汽車來到地點C，但是腳踏車又前進到2.5公里遠的位置，以此類推，不管重覆幾次，腳踏車始終都在汽車前面，所以汽車永遠追不到腳踏車。
雖然這種結論很奇怪，但是這種邏輯到底哪裡出了問題呢？
雖然行進時間不斷以0.5小時、0.25小時、0.125小時、⋯⋯相加，但不管相加幾次，都不會超過汽車追上腳踏車的1小時，而這就是3-1節介紹的無窮級數的概念，也就是相加無限個時間之後，只要總和會往有限的值收斂，就不會是無限的時間。其實汽車追上腳踏車的時間為首項0.5＝1/2、公比1/2的無窮等比級數，而這個無窮等比級數的總和為（1/2）／{1–（1/2）}＝1，換言之，這個討論會在汽車追上腳踏車的1小時之前不斷延續下去。
大家聽過「追逐腳踏車的汽車追不上腳踏車」這個故事嗎？或是「飛箭追不上飛鳥」「兔子追不上烏龜」這類故事。簡單來說，就是速度較快的東西追不上速度較慢的東西的故事。這是由古希臘哲學家芝諾提出的主張，所以又稱為芝諾悖論。
假設有輛汽車與腳踏車沿著同一條路、同一個方向同時出發，而腳踏車在汽車前方20公里的地點A出發。汽車以時速40公里前進，腳踏車以時速20公里前進時，汽車要花多少時間才能追到腳踏車呢？答案很簡單，1個小時之後。因為此時汽車走了40公里。
不過，若是以下列的邏輯思考，又會得到什麼結果（這就是芝諾的邏輯）。
在0.5小時之後，汽車來到地點A，但腳踏車已經前進到10公里遠的地點B。在0.75（＝0.5＋0.25）小時之後，汽車來到地點B，但是腳踏車已經前進到5公里遠的地點C。在0.875（＝0.5＋0.25＋0.125）小時之後，汽車來到地點C，但是腳踏車又前進到2.5公里遠的位置，以此類推，不管重覆幾次，腳踏車始終都在汽車前面，所以汽車永遠追不到腳踏車。
雖然這種結論很奇怪，但是這種邏輯到底哪裡出了問題呢？
雖然行進時間不斷以0.5小時、0.25小時、0.125小時、⋯⋯相加，但不管相加幾次，都不會超過汽車追上腳踏車的1小時，而這就是3-1節介紹的無窮級數的概念，也就是相加無限個時間之後，只要總和會往有限的值收斂，就不會是無限的時間。其實汽車追上腳踏車的時間為首項0.5＝1/2、公比1/2的無窮等比級數，而這個無窮等比級數的總和為（1/2）／{1–（1/2）}＝1，換言之，這個討論會在汽車追上腳踏車的1小時之前不斷延續下去。
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