拓樸學超入門 ：從克萊茵瓶到宇宙的形狀

序

第   1   章 拓樸學是什麼？

「相同形狀」是什麼情況？

1-1  「相同形狀」是什麼？

1-2  位相的「相」是什麼？

 1-3  「同胚」是什麼圖形？

1-4  位相的「位」是什麼？

1-5  百年無人能解的龐加萊猜想終得證明！

Column 1  簡圖、路線圖是我們身邊常見的拓樸學

第   2   章 簡圖是什麼？

是否能「一筆畫」完成？

2-1  「柯尼斯堡七橋」問題

2-2  「歐拉圖形」是什麼？

2-3  歐拉圖形的條件

2-4  「漢密頓圖形」是什麼？

2-5  拓樸學的語源與發展

Column 2  「博羅梅安環」能否一筆畫完不重覆？

第   3   章 認識拓樸不變量

圖形區別的工具

3-1  「歐幾里得空間」是什麼？

3-2  「圖形」是什麼？

3-3  「拓樸不變量」是什麼？

3-4  「成分數」與「維度」是拓樸不變量

3-5   計算歐拉示性數的「三角形分割」是什麼？

3-6  「單元分割」求歐拉示性數

3-7  「正多面體」的歐拉示性數

3-8  「T1、T2」的歐拉示性數

Column 3  「三菱形」能否一筆畫完不重覆？

第   4   章 映射是什麼？

理解拓樸學，不可不知「連續映射」

4-1  「映射」是集合到集合的對應

4-2  「連續映射」是什麼？

4-3  「同胚映射」是什麼？

4-4  舉例說明「同胚映射」

4-5  合痕形變與同倫形變

4-6  稱為「德恩扭轉」的同胚映射

Column 4  「定點定理」是什麼？

第   5   章 流形是什麼？

二維流形是指曲面

5-1  「流形」是什麼圖形？

5-2  在流形上畫「座標」

5-3  「有邊界的流形」是有盡頭的圖形

5-4  「開流形」與「閉流形」的區別

5-5  「有邊界流形」的例子

5-6  閉曲面的「展開圖」是什麼？

5-7  眼睛看不見，但可用展開圖表示的「射影平面」

5-8  曲面內側跑到外側的「克萊因瓶」

5-9  流形的「方向」

5-10  以「莫比烏斯帶」數量分類的「不可定向閉曲面」

5-11  「不可定向閉曲面」的「歐拉示性數」

Column 5  DNA、基因重組酶具有拓樸性質嗎？

第   6   章 嵌入圖形與浸入圖形

探討空間中的圖形

6-1  「正則射影圖」是什麼？

6-2  交叉交換轉為平凡扭結

6-3  四維空間中的扭結

6-4  「嵌入」是什麼？

6-5  扭結為邊界的「塞弗特曲面」

6-6  「扭結的虧格」是「扭結的不變量」

6-7  「浸入」是什麼？

6-8  「以扭結為邊界的曲面」浸入圖形

6-9  「射影平面」浸入圖形

6-10  四維空間中的「克萊因瓶」會是什麼模樣？

Column 6  三維空間的射影平面是什麼形狀？

第   7   章 認識基本群

探討「封閉繩子＝環路」

7-1  從繩子能否收回，認識曲面的形狀

7-2  能夠縮成一點就是「單連通」

7-3  「同倫環路」是什麼？①

7-4  「同倫環路」是什麼？②

7-5  「基本群」是什麼？

7-6  「生成元」是什麼？

7-7  「圓周」的基本群

7-8  「環面」的基本群

Column 7  架橋遊戲

第   8   章 扭結的不變量

不變動也知道是否等價

8-1  判斷兩扭結是否等價的「扭結不變量」

8-2  三種變形「萊德邁斯特移動」

8-3  「三色性」是扭結不變量

8-4  「聯立方程式」判斷是否具有三色性

8-5  「消除扭結的最小操作數」是扭結不變量

Column 8  什麼是「複雜網路」？

第   9   章 曲面幾何

三種曲率

9-1  彎曲狀態相同的「齊性流形」

9-2  「曲率」表示「曲線」的彎曲狀態

9-3  「高斯曲率」表示「曲面」彎曲狀態

9-4  圓柱、圓錐的高斯曲率為0？

9-5  平坦環面的曲率為0

9-6  「球面」與「射影平面」具有橢圓幾何結構

9-7  「雙人游泳圈」具有雙曲幾何結構 .

9-8  「球面三角形」內角和大於180°

9-9  高斯－博內公式①──橢圓幾何結構

9-10  高斯－博內公式②──歐幾里得幾何結構

9-11  高斯－博內公式③──雙曲幾何結構

9-12  閉曲面曲率與歐拉示性數的關係

Column 9  簡圖的「複雜度」是什麼？

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