國中生一定要學的數學解題策略
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內容簡介
本書《國中生一定要學的數學解題策略》是作者多年前出版《國中生一定要學的數學解題方法》的系列著作。有感於目前國中數學教育忽略了邏輯思考的重要性，坊間學習講義也缺乏解題策略引導，作者從20多年歷屆國中基測與會考的數學考題中，精選160道題目，藉由思考邏輯引導，對每一道問題提出新穎變化的解題策略，列出兩種以上「很不一樣」的解法。
本書想要傳達的訊息，與《國中生一定要學的數學解題方法》一樣，希望學生、老師與家長們能夠體會，在數學解題過程中，學習由思考邏輯引發解題策略的意義與重要性，如何從已知的條件透過「不同」途徑尋求正確答案，而不是囫圇吞棗做大量練習題本。從痛苦學習與解題，轉變為主動與積極思考，最終能夠快樂享受數學解題過程的樂趣。
本書想要傳達的訊息，與《國中生一定要學的數學解題方法》一樣，希望學生、老師與家長們能夠體會，在數學解題過程中，學習由思考邏輯引發解題策略的意義與重要性，如何從已知的條件透過「不同」途徑尋求正確答案，而不是囫圇吞棗做大量練習題本。從痛苦學習與解題，轉變為主動與積極思考，最終能夠快樂享受數學解題過程的樂趣。
目錄
第一單元
負數、數線、絕對值，因數、倍數與分數的四則運算
第二單元
比例式與二元一次方程式
第三單元
乘法公式 、多項式運算與一元二次方程式
第四單元
等差數列與級數、線型函數與座標平面圖形
第五單元
三角形、四邊形與多邊形計算問題
第六單元
相似形、圓、三角形的心
第七單元
二次函數與座標平面圖形
負數、數線、絕對值，因數、倍數與分數的四則運算
第二單元
比例式與二元一次方程式
第三單元
乘法公式 、多項式運算與一元二次方程式
第四單元
等差數列與級數、線型函數與座標平面圖形
第五單元
三角形、四邊形與多邊形計算問題
第六單元
相似形、圓、三角形的心
第七單元
二次函數與座標平面圖形
試閱
第一單元
負數、數線、絕對值，因數、倍數與分數的四則運算
題目1 - 1
已知甲 = -2 3/8、乙 = -2 + 3/8、丙 = -1.375，請問下列哪一個選項是正確
的解？
(A) 甲 = 乙
(B) 乙 = 丙
(C) 甲 ＜ 乙 ＜ 丙
(D) 甲 ＜ 丙 ＜ 乙
（91 年基測二）
思考邏輯與解題策略
將甲、乙、丙都化為分母為8 的分數或小數。
解法一
將甲、乙、丙都化為小數
甲 = -2 3/8= - 19/8= -2.375
乙 = -2 + 3/8= - 13/8= -1.625
丙 = -1.375
∴ 甲 ＜ 乙 ＜ 丙
解為（C）
解法二
將甲、乙、丙都化為假分數
甲 = - 19/8，乙 = - 13/8，丙 = - 1.375 × 8/8= - 11/8
∴ 甲 ＜ 乙 ＜ 丙
解為（C）
題目1-5
圖 十四 的等臂天平呈平衡狀態，其中左側秤盤有一袋石頭，右側秤盤有一袋石頭和2 個各10 克的砝碼。將左側袋中一顆石頭移至右側的秤盤，並拿走右側秤盤的1 個砝碼後，天平仍呈平衡狀態，如圖 十五 所示。求被移動石頭的重量為多少克？
(A) 5
(B) 10
(C) 15
(D) 20
（102 基測）
思考邏輯與解題策略
依照題意描述，問題中「似乎」出現三個未知數：左袋重量、右袋重量、一顆石頭重量，其中石頭重量是解題重點。
解法一
兩個天平平衡圖形，可列出兩個方程式
上圖 十四 左袋 = 右袋 + 20，設石頭重 = x
下圖 十五 左袋- x = 右袋 + 10 + x
兩式相減 x = 10 - x ∴ x = 5
解為(A)
解法二
直接利用左袋取代右袋，由下圖 十五
左袋- x = 左袋- 10 + x
∴ x = 5
解為(A)
解法三
依照天平平衡觀念直覺思考，右邊移出1 個10 克砝碼後，想要維持平衡，最簡單的做法是將左邊減5 克，右邊加5 克。所以石頭從左邊移出，加入右邊，代表石頭重為5 克。
解為(A)
題目1-6
威立到小吃店買水餃，他身上帶的錢恰好等於15 粒蝦仁水餃或20 粒韭菜水餃的價錢。若威立先買了9 粒蝦仁水餃，則他身上剩下的錢恰好可買多少粒韭菜水餃？
(A) 6
(B) 8
(C) 9
(D) 12
（106 年會考）
思考邏輯與解題策略
(1) 確認一粒蝦仁水餃與一粒韭菜水餃價格比值，再由剩下的錢等於6 粒蝦仁水餃換算韭菜水餃的數量。
(2) 另類解法，直接假設一粒蝦仁水餃價格，求出一粒韭菜水餃的價格，及身上的錢總數。
解法一
買了9 粒蝦仁水餃，剩餘的錢可買15 - 9 = 6 粒蝦仁水餃。
15 粒蝦仁總價 = 20 粒韭菜總價
6 粒蝦仁 =2/5 × 20 粒韭菜 = 8 粒韭菜
解為(B)
解法二
一粒蝦仁：一粒韭菜 = 4：3
隨意設定一粒蝦仁水餃價格，例如：8 元，
則韭菜水餃價格 = 6 元
剩餘的錢是6 粒蝦仁水餃的錢 = 6 × 8 = 48 元
可以買48÷6 = 8 粒韭菜水餃。
解為(B)
題目1 -10
圖 二 數線上的A、B、C 三點所表示的數分別為a、b、c，且原點為O。根據圖中各點位置，判斷下列四個式子的值何者最大？
(A) |a| + |b|
(B) |a| + |c|
(C) |a - c|
(D) |b - c|
（109 年會考）
思考邏輯與解題策略
(1) 由圖形a > 0，b < 0，c < 0，所以|a| = a，|b| = -b，|c| = -c。
(2) 另類解法，可以依圖示直接設定合理a、b、c 數值。
解法一
|a| + |b| = |OA| + |OB| = AB
|a| + |c| = |OA| + |OC| = AC
|a - c| = |a| + |c| = AC
|b - c| = |b| - |c| = BC
∴ AB 最大
解為(A)
解法二
依照A、B、C 與原點O 位置，假設合理數值a = 2，b = -6，c = -4
|a| + |b| = 2 + 6 = 8
|a| + |c| = 2 + 4 = 6
|a - c| = |2 - (-4)| = 6
|b - c| = |-6 - (-4)| = 2
∴ (A) |a| + |b| 最大
解為(A)
題目1 -14
已知在數線上代表四數a、b、a + b、a - b 的點分別為A、B、C、D。若|b| > |a| > 0，則此四點的關係，下列敘述何者正確？
(A) A 到B 的距離與C 到D 的距離相等
(B) A 到C 的距離與B 到D 的距離相等
(C) B 到C 的距離與B 到原點的距離相等
(D) A 到B 的距離與D 到原點的距離相等
（97 年基測二）
思考邏輯與解題策略
(1) 數線上兩點的距離等於兩數值相減的絕對值。
(2) 另類解法假設a、b 數值直接代入檢測正確性。
解法一
A(a)，B(b)，C(a + b)，D(a - b)
(A) A ∼ B 距離|a - b|，C ∼ D 距離|(a + b) - (a - b)| = |2b|
(B) A ∼ C 距離|a - (a + b)| = |b|，B ∼ D 距離|b - (a - b)| = |2b - a|
(C) B ∼ C 距離|b - (a + b)| = |a| ≠ |b|
(D) A ∼ B 距離|a - b| = D 到原點距離
答案為(D)
解法二
假設符合|b| > |a| > 0 的任意數值
例如： 最簡單的b = 2，a = 1 ∴ C = 2 + 1 = 3
D = 1 - 2 = -1 ∴ A(1)，B(2)，C(3)，D(-1)
(A) AB = |2 - 1| = 1，CD = |3 - (-1)| = 4 ∴ CD > AB
(B) AC = |3 - 1| = 2，BD = |2 - (-1)| = 3 ∴ BO > AC
(C) BC = |3 - 2| = 1，BO = |2| ∴ BO > BC
(D) AB = |2 - 1| = 1，DO = |-1| = 1 ∴ AB = DO
答案為(D)
題目7-14
座標平面上有一個開口向上的二次函數圖形，其頂點為(15, 50)。若此二次函數在x = -30 時的函數值為a，在x = 40 時的函數值為b，在x = 50 時的函數值為c，則下列a、b、c 三數的大小關係，何者正確？
(A) a > b > c
(B) a > c > b
(C) c > a > b
(D) c > b > a
（112 年會考大陸考場）
思考邏輯與解題策略
(1) 利用開口向上，頂點(15, 50) 思考二次函數大略圖形，推論a、b、c 大小。
(2) 利用開口向上，頂點座標，設一簡單二次函數，再將不同x 值代入，求出a、b、c 數值。
解法一
開口向上，頂點(15, 50)，對稱軸x = 15，所以距離x = 15 愈遠的點，函數值（y）愈大。
(-30, a)：-30 - 15 = 45（離對稱軸最遠）
(40, b)：40 - 15 = 25（離對稱軸最近）
(50, c)：50 - 15 = 35 ∴ a > c > b
解為(B)
解法二
開口向上，頂點(15, 50)，設二次函數y = (x - 15)2 + 50
x = -30，y = 2075 = a
x = 40，y = 675 = b
x = 50，y = 1275 = c
∴ a > c > b
解為(B)
補充說明：解法二比較y 值大小，其實是比較| x - 15 | 大小，與解法一相同概念。
負數、數線、絕對值，因數、倍數與分數的四則運算
題目1 - 1
已知甲 = -2 3/8、乙 = -2 + 3/8、丙 = -1.375，請問下列哪一個選項是正確
的解？
(A) 甲 = 乙
(B) 乙 = 丙
(C) 甲 ＜ 乙 ＜ 丙
(D) 甲 ＜ 丙 ＜ 乙
（91 年基測二）
思考邏輯與解題策略
將甲、乙、丙都化為分母為8 的分數或小數。
解法一
將甲、乙、丙都化為小數
甲 = -2 3/8= - 19/8= -2.375
乙 = -2 + 3/8= - 13/8= -1.625
丙 = -1.375
∴ 甲 ＜ 乙 ＜ 丙
解為（C）
解法二
將甲、乙、丙都化為假分數
甲 = - 19/8，乙 = - 13/8，丙 = - 1.375 × 8/8= - 11/8
∴ 甲 ＜ 乙 ＜ 丙
解為（C）
題目1-5
圖 十四 的等臂天平呈平衡狀態，其中左側秤盤有一袋石頭，右側秤盤有一袋石頭和2 個各10 克的砝碼。將左側袋中一顆石頭移至右側的秤盤，並拿走右側秤盤的1 個砝碼後，天平仍呈平衡狀態，如圖 十五 所示。求被移動石頭的重量為多少克？
(A) 5
(B) 10
(C) 15
(D) 20
（102 基測）
思考邏輯與解題策略
依照題意描述，問題中「似乎」出現三個未知數：左袋重量、右袋重量、一顆石頭重量，其中石頭重量是解題重點。
解法一
兩個天平平衡圖形，可列出兩個方程式
上圖 十四 左袋 = 右袋 + 20，設石頭重 = x
下圖 十五 左袋- x = 右袋 + 10 + x
兩式相減 x = 10 - x ∴ x = 5
解為(A)
解法二
直接利用左袋取代右袋，由下圖 十五
左袋- x = 左袋- 10 + x
∴ x = 5
解為(A)
解法三
依照天平平衡觀念直覺思考，右邊移出1 個10 克砝碼後，想要維持平衡，最簡單的做法是將左邊減5 克，右邊加5 克。所以石頭從左邊移出，加入右邊，代表石頭重為5 克。
解為(A)
題目1-6
威立到小吃店買水餃，他身上帶的錢恰好等於15 粒蝦仁水餃或20 粒韭菜水餃的價錢。若威立先買了9 粒蝦仁水餃，則他身上剩下的錢恰好可買多少粒韭菜水餃？
(A) 6
(B) 8
(C) 9
(D) 12
（106 年會考）
思考邏輯與解題策略
(1) 確認一粒蝦仁水餃與一粒韭菜水餃價格比值，再由剩下的錢等於6 粒蝦仁水餃換算韭菜水餃的數量。
(2) 另類解法，直接假設一粒蝦仁水餃價格，求出一粒韭菜水餃的價格，及身上的錢總數。
解法一
買了9 粒蝦仁水餃，剩餘的錢可買15 - 9 = 6 粒蝦仁水餃。
15 粒蝦仁總價 = 20 粒韭菜總價
6 粒蝦仁 =2/5 × 20 粒韭菜 = 8 粒韭菜
解為(B)
解法二
一粒蝦仁：一粒韭菜 = 4：3
隨意設定一粒蝦仁水餃價格，例如：8 元，
則韭菜水餃價格 = 6 元
剩餘的錢是6 粒蝦仁水餃的錢 = 6 × 8 = 48 元
可以買48÷6 = 8 粒韭菜水餃。
解為(B)
題目1 -10
圖 二 數線上的A、B、C 三點所表示的數分別為a、b、c，且原點為O。根據圖中各點位置，判斷下列四個式子的值何者最大？
(A) |a| + |b|
(B) |a| + |c|
(C) |a - c|
(D) |b - c|
（109 年會考）
思考邏輯與解題策略
(1) 由圖形a > 0，b < 0，c < 0，所以|a| = a，|b| = -b，|c| = -c。
(2) 另類解法，可以依圖示直接設定合理a、b、c 數值。
解法一
|a| + |b| = |OA| + |OB| = AB
|a| + |c| = |OA| + |OC| = AC
|a - c| = |a| + |c| = AC
|b - c| = |b| - |c| = BC
∴ AB 最大
解為(A)
解法二
依照A、B、C 與原點O 位置，假設合理數值a = 2，b = -6，c = -4
|a| + |b| = 2 + 6 = 8
|a| + |c| = 2 + 4 = 6
|a - c| = |2 - (-4)| = 6
|b - c| = |-6 - (-4)| = 2
∴ (A) |a| + |b| 最大
解為(A)
題目1 -14
已知在數線上代表四數a、b、a + b、a - b 的點分別為A、B、C、D。若|b| > |a| > 0，則此四點的關係，下列敘述何者正確？
(A) A 到B 的距離與C 到D 的距離相等
(B) A 到C 的距離與B 到D 的距離相等
(C) B 到C 的距離與B 到原點的距離相等
(D) A 到B 的距離與D 到原點的距離相等
（97 年基測二）
思考邏輯與解題策略
(1) 數線上兩點的距離等於兩數值相減的絕對值。
(2) 另類解法假設a、b 數值直接代入檢測正確性。
解法一
A(a)，B(b)，C(a + b)，D(a - b)
(A) A ∼ B 距離|a - b|，C ∼ D 距離|(a + b) - (a - b)| = |2b|
(B) A ∼ C 距離|a - (a + b)| = |b|，B ∼ D 距離|b - (a - b)| = |2b - a|
(C) B ∼ C 距離|b - (a + b)| = |a| ≠ |b|
(D) A ∼ B 距離|a - b| = D 到原點距離
答案為(D)
解法二
假設符合|b| > |a| > 0 的任意數值
例如： 最簡單的b = 2，a = 1 ∴ C = 2 + 1 = 3
D = 1 - 2 = -1 ∴ A(1)，B(2)，C(3)，D(-1)
(A) AB = |2 - 1| = 1，CD = |3 - (-1)| = 4 ∴ CD > AB
(B) AC = |3 - 1| = 2，BD = |2 - (-1)| = 3 ∴ BO > AC
(C) BC = |3 - 2| = 1，BO = |2| ∴ BO > BC
(D) AB = |2 - 1| = 1，DO = |-1| = 1 ∴ AB = DO
答案為(D)
題目7-14
座標平面上有一個開口向上的二次函數圖形，其頂點為(15, 50)。若此二次函數在x = -30 時的函數值為a，在x = 40 時的函數值為b，在x = 50 時的函數值為c，則下列a、b、c 三數的大小關係，何者正確？
(A) a > b > c
(B) a > c > b
(C) c > a > b
(D) c > b > a
（112 年會考大陸考場）
思考邏輯與解題策略
(1) 利用開口向上，頂點(15, 50) 思考二次函數大略圖形，推論a、b、c 大小。
(2) 利用開口向上，頂點座標，設一簡單二次函數，再將不同x 值代入，求出a、b、c 數值。
解法一
開口向上，頂點(15, 50)，對稱軸x = 15，所以距離x = 15 愈遠的點，函數值（y）愈大。
(-30, a)：-30 - 15 = 45（離對稱軸最遠）
(40, b)：40 - 15 = 25（離對稱軸最近）
(50, c)：50 - 15 = 35 ∴ a > c > b
解為(B)
解法二
開口向上，頂點(15, 50)，設二次函數y = (x - 15)2 + 50
x = -30，y = 2075 = a
x = 40，y = 675 = b
x = 50，y = 1275 = c
∴ a > c > b
解為(B)
補充說明：解法二比較y 值大小，其實是比較| x - 15 | 大小，與解法一相同概念。
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- 易於腐敗、保存期限較短或解約時即將逾期。（如：生鮮食品）
- 依消費者要求所為之客製化給付。（客製化商品）
- 報紙、期刊或雜誌。（含MOOK、外文雜誌）
- 經消費者拆封之影音商品或電腦軟體。
- 非以有形媒介提供之數位內容或一經提供即為完成之線上服務，經消費者事先同意始提供。（如：電子書、電子雜誌、下載版軟體、虛擬商品…等）
- 已拆封之個人衛生用品。（如：內衣褲、刮鬍刀、除毛刀…等）
- 若非上列種類商品，均享有到貨7天的猶豫期（含例假日）。
- 辦理退換貨時，商品（組合商品恕無法接受單獨退貨）必須是您收到商品時的原始狀態（包含商品本體、配件、贈品、保證書、所有附隨資料文件及原廠內外包裝…等），請勿直接使用原廠包裝寄送，或於原廠包裝上黏貼紙張或書寫文字。
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