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很難明白這其實很簡單

洪萬生 ( 台灣數學史學會理事長 )

本書作者喬丹．艾倫伯格在他的前一本普及書籍中，深入淺出地說明「數學教你不犯錯」，現在他的科普對象擴大成無所不在的「幾何學」，譬如「流行病傳播的幾何學、美國混亂政治過程的幾何學、職業棋士的幾何學、人工智慧的幾何學、英語的幾何學、財金的幾何學、物理的幾何學、甚至詩的幾何學」。儘管這些都是資訊、生物、策略、民主和所有事物背後隱藏的材料，就其繽紛多元的表面現象來看，的確有令人難以下手之處。然而，艾倫伯格在本書的論述與敘事，卻足以印證他對於「機器學習」vs.「人類學習」的（「先天」）強烈對比所給出的評論：「很難明白這其實很簡單」。當然，這句話是針對機器學習而發。

以著名的奇偶問題—也就是判斷X與O組成的字串中X的數量是奇數還是偶數為例，「標準的神經網路建構都把這題目學得很糟」。還有，如將機器學習應用在目前極夯的自駕車上，那也讓我們不無憂心。艾倫伯格的評論值得引述如下：「自駕車也許有95%的機率能做出正確選擇，但這不代表它在往永遠做出正確選擇的路上已走了95%；剩下的5%，也就是那些異常情況，也許正是人類散漫的大腦，比任何當前或近期可能出現的機器，更善於解決的問題。」

或許散漫的大腦更有品味，至於專擅演算法的機器則是完全「不解風情」。這應該也部分解釋了何以本書所引述的西洋棋冠軍拒絕與機器下棋。這是因為儘管「樹形幾何告訴你如何能贏；但不能告訴你是什麼讓一場遊戲變得美麗。那是更奧妙的幾何學，目前還不是電腦能依靠短短幾條規則一步步推出來的」。

當然，奉機器學習為圭臬者可能懷疑莫非艾倫伯格這個數學書呆子之淺見。不過，他就學哈佛大學期間，師承名師馬祖爾（Barry Mazur）主修代數數論，但是卻在研一下學期，選修了從魔術師變成哈佛數學系教授的戴康尼斯（Persi Diaconis）之「洗牌幾何」課程，可見他並非不食「人間煙火」。事實上，在本書第十四章，我們看到他發現「數學如何破壞民主（又如何加以挽救）」，其中更值得注意的，是他對於民主（或反民主）運作的投入瞭解，試圖運用很簡單的數學，解剖政黨競爭的爾虞我詐（他教職所在的威斯康辛州恰好就是「惡名昭彰」的搖擺州）。另一方面，在本書中，他也使用了許多篇幅，說明諾貝爾獎得主羅斯醫生如何利用隨機漫步過程來模擬蚊子的飛行，從而類比到疫病的傳播時間與路徑。「只要蚊子的密度夠低，魔法數字R0就會降到1以下，也就代表病例數會一週比一週少，疫情也會呈指數衰減。

你不必防止所有的傳播；只要防止足夠的傳播就行了。」因此，針對目前還正在肆虐全球的 COVID-19，他的建議與許多專家的看法一致：「我們不需要追求零擴散，雖然這樣當然很好，但不太可能。流行病的控制並不追求完美主義。」

最後，回到本文的主題。我想數學普及作家向讀者介紹很多高度抽象數學甚至只是一般數學知識時，也經常「很難 ( 讓人 ) 明白這其實很簡單」。這個難度涉及作家的數學洞識，有時還需輔以數學史洞識，至於敘事素養則更是不可或缺。本書作者學養博雅，又常能在卑之無甚高論的大眾問題日常中，發現極有意義的數學問題（譬如氣球戳破後有幾個洞？），再加上他擁有創意寫作的專業訓練，同時又十分關注數教育改革議題，因此他在書中總能適時地分享極有價值的點滴心得。譬如，論及海龍公式（本書譯成希羅公式）時強調：「長度的守恆暗示了三角形面積的守恆，因為兩個三角形如果邊長相等，就意謂著這兩個三角形全等，因此有同樣的面積；或者你可以運用亞力山卓的希羅那道優美古老的公式，那告訴你如何以邊長表示面積。」類似這樣的觀察，當然也可充實中學數學及通識教學內容。

再有，本書有關美國選舉制度及疫病（特別是 COVID-19）的數學問題（本書歸類為「幾何學」）之說明，一定可以讓關注或參與類似活動的博雅君子「感同身受」。中學教師也可以在課堂上引進這些例子及其說明，來強調數學並非遠在天邊的彩虹，而是就在我們身邊，與日常生活的推論密不可分。

 因此，我要鄭重推薦本書。這是一部極成功的普及書寫作品（作者想必投注相當的心力），值得我們普及作家仿效，更值得教師引入教育現場，充當閱讀良伴。最後，我要引述作者對〈美國獨立宣言〉的備註，作為我這篇「掛一漏萬」的推薦文之結語：

「我們認為下面這些真理是不證自明的」不是傑佛遜的話；他的獨立宣言第一版草稿寫的是「我們認為下面這些真理是神聖而無可否認的」。

是富蘭克林刪去幾個字後換成「不證自明」，使得這份宣言少了些聖經味，多了點歐幾里得味。富蘭克林刪得好！「神聖而無可否認」vs.「不證自明」當然有著強烈對比，然而，「細節」之於風雅，或許就是本書作者關注之所在。