【電子書】一個數學家的嘆息：如何讓孩子好奇、想學習，走進數學的美麗世界
數學是一門藝術，重要的是過程，是遊戲，是玩，是去做
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內容簡介
為什麼有趣的數學，會變成無趣的科目，讓許多學生討厭、害怕？
這本薄薄的小書，用最簡潔的方式描述數學之美與樂趣所在，並且批判今日僵化的數學教育（背公式、大量的習題），忽略了帶領學生思考問題的過程：然而，正是在對數學的思考當中，人才是活著的，孩子的心智會打開，主動產生興趣。
本書對於美國K-12（從幼稚園到十二年級）的數學教育做出了強烈的批判，然而在台灣，問題也是一樣嚴重。我們本來可以給孩子更好的數學體驗，讓他們喜歡上數學，有好奇心，這全看我們怎麼教。只要那一點點的改變。
作者是一位傑出的數學家，他發願來教中小學的數學，希望呈現給孩子們數學的趣味、和充滿想像力的一面，因為：
數學是一門藝術，重要的是過程，是遊戲，是玩，是去做。
因此他非常批判「死記硬背」、「給答案」、「省略思考過程」的教學方式。
他於2002年寫成本書的初稿，只有薄薄的25頁，然而在史丹佛大學的齊斯．德福林教授的推薦下，於美國數學協會（Mathematical Association of America）的網誌上發布後，在數學社群中引起極大的迴響，因而出版成書。
如何尋回數學課堂上的遊戲與歡樂？如何領略數學之美？
這本書，既是為孩子抱不平，也為數學這門偉大的藝術平反。本書可帶領孩子們認識數學具有創意、想像力的一面，也讓成年人重新發現——數學的樂趣。
這本薄薄的小書，用最簡潔的方式描述數學之美與樂趣所在，並且批判今日僵化的數學教育（背公式、大量的習題），忽略了帶領學生思考問題的過程：然而，正是在對數學的思考當中，人才是活著的，孩子的心智會打開，主動產生興趣。
本書對於美國K-12（從幼稚園到十二年級）的數學教育做出了強烈的批判，然而在台灣，問題也是一樣嚴重。我們本來可以給孩子更好的數學體驗，讓他們喜歡上數學，有好奇心，這全看我們怎麼教。只要那一點點的改變。
作者是一位傑出的數學家，他發願來教中小學的數學，希望呈現給孩子們數學的趣味、和充滿想像力的一面，因為：
數學是一門藝術，重要的是過程，是遊戲，是玩，是去做。
因此他非常批判「死記硬背」、「給答案」、「省略思考過程」的教學方式。
他於2002年寫成本書的初稿，只有薄薄的25頁，然而在史丹佛大學的齊斯．德福林教授的推薦下，於美國數學協會（Mathematical Association of America）的網誌上發布後，在數學社群中引起極大的迴響，因而出版成書。
如何尋回數學課堂上的遊戲與歡樂？如何領略數學之美？
這本書，既是為孩子抱不平，也為數學這門偉大的藝術平反。本書可帶領孩子們認識數學具有創意、想像力的一面，也讓成年人重新發現——數學的樂趣。
目錄
前言 齊斯．德福林
推薦序 大破大立：難得一見的數學教育好書 洪萬生
上篇 悲歌
數學與文化
學校?的數學
數學課程
中學幾何：邪惡的工具
「標準」數學課程
下篇 鼓舞
推薦序 大破大立：難得一見的數學教育好書 洪萬生
上篇 悲歌
數學與文化
學校?的數學
數學課程
中學幾何：邪惡的工具
「標準」數學課程
下篇 鼓舞
序／導讀
推薦序
一個數學家的嘆息：難得一見的數學教育好書
洪萬生
台灣師大數學系退休教授
本書《一堂令人難忘的數學課》應該是我所見過的數學教育宣言中最基進的（radical）一篇了。作者保羅‧拉克哈特（Paul Lockhart）是一位成功的專業數學家，公元2000年，他毅然轉入紐約市一所涵蓋K-12年級的中小學任教，身體力行他認為有意義的數學教學活動。本書即是他的現身說法，因此，他對於美國目前中小學數學教育的現實之沉重但真誠的嘆息，似乎沒有幾個有識之士敢視而不見。
事實上，本書（分上、下兩篇）所呈現的願景，乃是中小學數學教育的一種烏托邦。通常我們面對烏托邦，似乎總是看看就好，大可不必認真。然而，我仔細閱讀（英文原文⊕中譯文）之後，對於邀約寫序，多少有些猶豫與掙扎。對照我自己的數學經驗，我將如何推薦本書呢？我自己曾在台灣師大數學系任教將近四十年，主要授課如數學史都涉及未來與現職的中學教師之專業發展，而且也曾指導過幾十位在職教師班的碩士生，所以，我對於（台灣）數學教育現實的興革，當然也有相當清晰的理想與願景。不過，經歷過那麼多的數學教育改革爭議之後，我覺得務實地訓練與提升教師的數學素養，恐怕是最值得把握的一條可行進路。
話說回來，作者的願景所引伸出來的策略，也並非完全不可行！譬如說吧，在本書結束時，作者語重心長地鼓勵老師「需要在數學實在（Mathematical Reality）中悠遊。你的教學應該是從你自己在叢林中的體驗很自然地湧出，而不是出自那些在緊閉窗戶車廂中的假遊客觀點。」因此，「丟掉那些愚蠢的課程大綱和教科書吧！」因為「如果你沒有興趣探索你自己個人的想像宇宙，沒有興趣去發現和嘗試了解你的發現，那麼你幹嘛稱自己為數學教師？」
對許多數學教師來說，要是丟掉課程大綱與教科書，大概會有一起丟掉洗澡水與嬰兒的制式（conventional）焦慮感，儘管有一些教師平常教學時，根本不太理會課程大綱與教科書內容，而只是使用自己或同仁共同編輯的講義。然而，不管你是否贊同拉克哈特的主張，也不管他的主張是否能夠付諸實現，本書是老師、家長與學生都不容錯過的金玉良言，值得我們咀嚼再三。底下，我要稍加說明我大力推薦本書的三個理由。
本書上篇主題是「悲歌」，依序有〈數學與文化〉、〈學校裏的數學〉、〈數學課程〉、〈中學幾何：邪惡的工具〉以及〈「標準」數學課程〉等五節。下篇主題是「鼓舞」，但不分節論述。上篇文字曾由齊斯‧德福林（Keith Devlin）安排，在MAA線上（MAA Online）每月專欄「德福林觀點」全文披露（2008年3月），獲得大大超乎預期的迴響。在上篇一開始，作者拉克哈特利用虛構的音樂與繪畫之學習夢境，說明相關語言或工具的吹毛求疵，讓這些藝術課程之學習，變得既愚蠢又無趣，最終摧毀了孩子們對於創作模式那種天生的好奇心。或許上述夢魘並非真實，但是，「類比」到數學教育現場，卻是千真萬確。而拉克哈特的立論，是一般人容易忽略的數學知識活動特性：數學是一門藝術！至於它和音樂和繪畫的差別，只在於我們的文化並不認同它是一門藝術。拉克哈特進一步指出：
事實上，沒有什麼像數學那樣夢幻及詩意，那樣基進、具破壞力和帶有奇幻色彩。我們覺得天文學或物理學很震撼人心，在這一點上，數學完全一樣（在天文學發現黑洞之前，數學家老早就有黑洞的構想了），而且數學比詩、美術、或音樂容許更多的表現自由，後者高度依賴這個世界的物理性質。數學是最純粹的藝術，同時也最容易受到誤解。
這種主張呼應了英國數學家哈帝（G. H. Hardy）之觀點：數學家是理念模式（patterns of ideas）的創造者。在他的《一個數學家的辯白》（A Mathematician’s Apology）中，哈帝藉此宣揚他的柏拉圖主義（Platonism）。不過，拉克哈特卻將柏拉圖的理念（ideas）拉回到人類玩遊戲的層次：「我純粹就是在玩。這就是數學——想知道、遊戲、用自己的想像力來娛樂自己。」事實上，在遊戲的情境中，吾人會基於天生的好奇，而開始探索。而這無非是人類學習活動的最重要本質所在。反過來，如果數學學習只是要求學生死背公式，然後在「習題」中反覆「套用」，那麼，「興奮之情、樂趣、甚至創造的過程會有的痛苦與挫折，全都消磨殆盡了。再也沒有困難了。問題在提出來時也同時被解答了——學生沒事可做。」對於這種強調精準卻無靈魂地操弄符號的文化及其價值觀，拉克哈特利用簡單例證戳破它的虛幻，這是我大力推薦本書的第一個理由。
在〈學校裏的數學〉這一節中，拉克哈特指出教改迷思，在於它企圖「要讓數學變有趣」，以及「與孩子們的生活產生關連」。針對這兩點，他的批判非常犀利：「你不需要讓數學有趣——它本來就遠超過你了解的有趣！而它的驕傲就在與我們的生活完全無關。這就是為什麼它是如此有趣！」顯然為了達到「有趣」與「關連」的目的，教科書的編寫難免「牽強而做作」。譬如，為了幫助學生記憶圓面積和圓周公式，拉克哈特認為：與其發明一套圓周先生（Mr. C）和面積太太（Mrs. A）的故事，不如敘說阿基米德甚至劉徽有關圓周率的探索史實，說不定更能觸動學生的好奇心靈。這種強調發生認識論（genetic epistemology）的歷史關懷，也與他批判數學課程的缺乏歷史感互相呼應。
拉克哈特對於數學課程的僵化之批判，還擴及它所連結的「階梯迷思」，他認為這種一個主題接一個主題的進階安排，除了淘汰「失敗的」學生之外，根本沒有（其他）目標可言。因此，學校裏的數學教育所依循的，「是一套沒有歷史觀點、沒有主題連貫性的數學課程，支離破碎地收集了分類的主題和技巧，依解題程序的難易度湊合在一起」。相反地，「數學結構，不論是否具有實用性，都是在問題背景之內發明及發展出來的，然後從那個背景衍生出它們的意義」。
或許有人說，中學的幾何課程可以滿足此一智性需求，不過，拉克哈特卻將它稱為「邪惡的工具」。作者在〈中學幾何：邪惡的工具〉這節中，指出數學證明的意義在於「說明，而且應該說明得清楚、巧妙且直截了當」，同時，只有當你想像的物件之行為違反了直覺，或者有矛盾出現時，嚴謹的證明才有其必要，而這當然也符合歷史真實。基於此，他嚴厲批判「兩欄式證明」（two-column proof）既沉悶又「沒有靈魂」，學生只是被訓練去模仿，而不是去想出論證！
在作者深刻批判學校數學、課程綱要以及幾何證明之後，他還揭露了一個目前通行的「標準數學課程」之真相，這個戳破學校數學（school mathematics）神話的深刻反思，是我大力推薦本書的第二個理由。
在上篇解構性的「大破」之後，拉克哈特在本書下篇當中，為我們貢獻了令人鼓舞的「大立」，這是我大力推薦本書的第三個理由。在本篇中，拉克哈特想像了一個數學實在（mathematical reality），其中「充滿了我們為了娛樂自己而建構出來（或是偶然發現）的有趣又可愛的架構。我們觀察它們、留意它們的模式、嘗試做出簡捷又令人信服的敘述，來解釋它們的行為」。至於如何做數學？拉克哈特利用實例演示，啟發我們「與模式遊戲、注意觀察事物、做出猜測、尋找正反例、被激發去發明和探索、製作出論證並分析論證，然後提出新的問題」。此外，他還特別提醒：小孩子都知道學習和遊戲是同一回事。可惜，成年人已然忘卻。因此，他最後給讀者的實用忠告是：玩遊戲就對了！做數學不需要證照。數學實在是你的，往後的人生你都可以悠遊其中。
總之，本書作者分享了他自己基於好奇，探索數學知識活動被忽略面向的深刻體會，其中他認為數學如同音樂、繪畫及詩歌一樣，也是一門藝術。同時，學習與遊戲是同一回事。因此，在遊戲的情境中，基於人類天生的好奇心而探索模式，才是學習數學的正道。這也部分解釋了何以他那麼重視數學史的殷鑑，因為數學都是從歷史脈絡（context）產生，並因而獲得意義。
對於教師或甚至家長來說，如果你覺得本書的主張太過基進，不妨參考作者的玩數學比喻，那麼，你對數學學習一定會有全新的體會。根據寵物書籍的說明，離開幼兒階段還喜歡遊戲的物種，只有成年人和成犬而已。人類幼童利用遊戲來學習包括數學在內的各種事物。如今，我們身為成年人，甚至有幸帶領小孩子學習，為什麼不可以繼續玩下去呢？
推薦序
數學差，不是你的錯——別讓學校扼殺了創意！
文／鄭國威
先說個我自己的真實故事吧。
我小學的時候在學校功課排名前列，主要的原因是因為我就讀的學校規模非常小，一個年級才兩班，競爭不激烈，另一個原因是我的確有點小聰明，而且蠻喜歡唸書。那年頭，學業功課好，加上比較聽老師的話，很容易就獲得其他課外表現的機會，代表班級或學校去外頭參加比賽，也因此當了好幾年的模範生，拿了個縣長獎畢業。囂張的咧。數學？對學過珠心算的我太簡單了！
但一上了國中，全都變了。我依舊很用功、大部分的科目考試成績不是滿分就是逼近滿分，但唯有數學，我連及格的一半都拿不到。「數學」，光是看到這兩個字就足以讓我產生頭昏想吐的感覺，甚至還更嚴重些，會緊張到冒汗、肚子痛。老師在黑板上用大大的三角尺跟大圓規畫的圖依舊精美，板書我能抄得都抄了，但我就是沒辦法理解這些數字跟圖形的邏輯。我慌了。
於是我開始竄改成績單、竄改考卷分數，或是跟大雄一樣，總是以考卷沒帶回家或是丟了為藉口，不讓父母簽名。雖然現在回想起來真是很傻，但當時的我真的快被數學逼瘋了，每天提心吊膽。
一個數學家的嘆息：難得一見的數學教育好書
洪萬生
台灣師大數學系退休教授
本書《一堂令人難忘的數學課》應該是我所見過的數學教育宣言中最基進的（radical）一篇了。作者保羅‧拉克哈特（Paul Lockhart）是一位成功的專業數學家，公元2000年，他毅然轉入紐約市一所涵蓋K-12年級的中小學任教，身體力行他認為有意義的數學教學活動。本書即是他的現身說法，因此，他對於美國目前中小學數學教育的現實之沉重但真誠的嘆息，似乎沒有幾個有識之士敢視而不見。
事實上，本書（分上、下兩篇）所呈現的願景，乃是中小學數學教育的一種烏托邦。通常我們面對烏托邦，似乎總是看看就好，大可不必認真。然而，我仔細閱讀（英文原文⊕中譯文）之後，對於邀約寫序，多少有些猶豫與掙扎。對照我自己的數學經驗，我將如何推薦本書呢？我自己曾在台灣師大數學系任教將近四十年，主要授課如數學史都涉及未來與現職的中學教師之專業發展，而且也曾指導過幾十位在職教師班的碩士生，所以，我對於（台灣）數學教育現實的興革，當然也有相當清晰的理想與願景。不過，經歷過那麼多的數學教育改革爭議之後，我覺得務實地訓練與提升教師的數學素養，恐怕是最值得把握的一條可行進路。
話說回來，作者的願景所引伸出來的策略，也並非完全不可行！譬如說吧，在本書結束時，作者語重心長地鼓勵老師「需要在數學實在（Mathematical Reality）中悠遊。你的教學應該是從你自己在叢林中的體驗很自然地湧出，而不是出自那些在緊閉窗戶車廂中的假遊客觀點。」因此，「丟掉那些愚蠢的課程大綱和教科書吧！」因為「如果你沒有興趣探索你自己個人的想像宇宙，沒有興趣去發現和嘗試了解你的發現，那麼你幹嘛稱自己為數學教師？」
對許多數學教師來說，要是丟掉課程大綱與教科書，大概會有一起丟掉洗澡水與嬰兒的制式（conventional）焦慮感，儘管有一些教師平常教學時，根本不太理會課程大綱與教科書內容，而只是使用自己或同仁共同編輯的講義。然而，不管你是否贊同拉克哈特的主張，也不管他的主張是否能夠付諸實現，本書是老師、家長與學生都不容錯過的金玉良言，值得我們咀嚼再三。底下，我要稍加說明我大力推薦本書的三個理由。
本書上篇主題是「悲歌」，依序有〈數學與文化〉、〈學校裏的數學〉、〈數學課程〉、〈中學幾何：邪惡的工具〉以及〈「標準」數學課程〉等五節。下篇主題是「鼓舞」，但不分節論述。上篇文字曾由齊斯‧德福林（Keith Devlin）安排，在MAA線上（MAA Online）每月專欄「德福林觀點」全文披露（2008年3月），獲得大大超乎預期的迴響。在上篇一開始，作者拉克哈特利用虛構的音樂與繪畫之學習夢境，說明相關語言或工具的吹毛求疵，讓這些藝術課程之學習，變得既愚蠢又無趣，最終摧毀了孩子們對於創作模式那種天生的好奇心。或許上述夢魘並非真實，但是，「類比」到數學教育現場，卻是千真萬確。而拉克哈特的立論，是一般人容易忽略的數學知識活動特性：數學是一門藝術！至於它和音樂和繪畫的差別，只在於我們的文化並不認同它是一門藝術。拉克哈特進一步指出：
事實上，沒有什麼像數學那樣夢幻及詩意，那樣基進、具破壞力和帶有奇幻色彩。我們覺得天文學或物理學很震撼人心，在這一點上，數學完全一樣（在天文學發現黑洞之前，數學家老早就有黑洞的構想了），而且數學比詩、美術、或音樂容許更多的表現自由，後者高度依賴這個世界的物理性質。數學是最純粹的藝術，同時也最容易受到誤解。
這種主張呼應了英國數學家哈帝（G. H. Hardy）之觀點：數學家是理念模式（patterns of ideas）的創造者。在他的《一個數學家的辯白》（A Mathematician’s Apology）中，哈帝藉此宣揚他的柏拉圖主義（Platonism）。不過，拉克哈特卻將柏拉圖的理念（ideas）拉回到人類玩遊戲的層次：「我純粹就是在玩。這就是數學——想知道、遊戲、用自己的想像力來娛樂自己。」事實上，在遊戲的情境中，吾人會基於天生的好奇，而開始探索。而這無非是人類學習活動的最重要本質所在。反過來，如果數學學習只是要求學生死背公式，然後在「習題」中反覆「套用」，那麼，「興奮之情、樂趣、甚至創造的過程會有的痛苦與挫折，全都消磨殆盡了。再也沒有困難了。問題在提出來時也同時被解答了——學生沒事可做。」對於這種強調精準卻無靈魂地操弄符號的文化及其價值觀，拉克哈特利用簡單例證戳破它的虛幻，這是我大力推薦本書的第一個理由。
在〈學校裏的數學〉這一節中，拉克哈特指出教改迷思，在於它企圖「要讓數學變有趣」，以及「與孩子們的生活產生關連」。針對這兩點，他的批判非常犀利：「你不需要讓數學有趣——它本來就遠超過你了解的有趣！而它的驕傲就在與我們的生活完全無關。這就是為什麼它是如此有趣！」顯然為了達到「有趣」與「關連」的目的，教科書的編寫難免「牽強而做作」。譬如，為了幫助學生記憶圓面積和圓周公式，拉克哈特認為：與其發明一套圓周先生（Mr. C）和面積太太（Mrs. A）的故事，不如敘說阿基米德甚至劉徽有關圓周率的探索史實，說不定更能觸動學生的好奇心靈。這種強調發生認識論（genetic epistemology）的歷史關懷，也與他批判數學課程的缺乏歷史感互相呼應。
拉克哈特對於數學課程的僵化之批判，還擴及它所連結的「階梯迷思」，他認為這種一個主題接一個主題的進階安排，除了淘汰「失敗的」學生之外，根本沒有（其他）目標可言。因此，學校裏的數學教育所依循的，「是一套沒有歷史觀點、沒有主題連貫性的數學課程，支離破碎地收集了分類的主題和技巧，依解題程序的難易度湊合在一起」。相反地，「數學結構，不論是否具有實用性，都是在問題背景之內發明及發展出來的，然後從那個背景衍生出它們的意義」。
或許有人說，中學的幾何課程可以滿足此一智性需求，不過，拉克哈特卻將它稱為「邪惡的工具」。作者在〈中學幾何：邪惡的工具〉這節中，指出數學證明的意義在於「說明，而且應該說明得清楚、巧妙且直截了當」，同時，只有當你想像的物件之行為違反了直覺，或者有矛盾出現時，嚴謹的證明才有其必要，而這當然也符合歷史真實。基於此，他嚴厲批判「兩欄式證明」（two-column proof）既沉悶又「沒有靈魂」，學生只是被訓練去模仿，而不是去想出論證！
在作者深刻批判學校數學、課程綱要以及幾何證明之後，他還揭露了一個目前通行的「標準數學課程」之真相，這個戳破學校數學（school mathematics）神話的深刻反思，是我大力推薦本書的第二個理由。
在上篇解構性的「大破」之後，拉克哈特在本書下篇當中，為我們貢獻了令人鼓舞的「大立」，這是我大力推薦本書的第三個理由。在本篇中，拉克哈特想像了一個數學實在（mathematical reality），其中「充滿了我們為了娛樂自己而建構出來（或是偶然發現）的有趣又可愛的架構。我們觀察它們、留意它們的模式、嘗試做出簡捷又令人信服的敘述，來解釋它們的行為」。至於如何做數學？拉克哈特利用實例演示，啟發我們「與模式遊戲、注意觀察事物、做出猜測、尋找正反例、被激發去發明和探索、製作出論證並分析論證，然後提出新的問題」。此外，他還特別提醒：小孩子都知道學習和遊戲是同一回事。可惜，成年人已然忘卻。因此，他最後給讀者的實用忠告是：玩遊戲就對了！做數學不需要證照。數學實在是你的，往後的人生你都可以悠遊其中。
總之，本書作者分享了他自己基於好奇，探索數學知識活動被忽略面向的深刻體會，其中他認為數學如同音樂、繪畫及詩歌一樣，也是一門藝術。同時，學習與遊戲是同一回事。因此，在遊戲的情境中，基於人類天生的好奇心而探索模式，才是學習數學的正道。這也部分解釋了何以他那麼重視數學史的殷鑑，因為數學都是從歷史脈絡（context）產生，並因而獲得意義。
對於教師或甚至家長來說，如果你覺得本書的主張太過基進，不妨參考作者的玩數學比喻，那麼，你對數學學習一定會有全新的體會。根據寵物書籍的說明，離開幼兒階段還喜歡遊戲的物種，只有成年人和成犬而已。人類幼童利用遊戲來學習包括數學在內的各種事物。如今，我們身為成年人，甚至有幸帶領小孩子學習，為什麼不可以繼續玩下去呢？
推薦序
數學差，不是你的錯——別讓學校扼殺了創意！
文／鄭國威
先說個我自己的真實故事吧。
我小學的時候在學校功課排名前列，主要的原因是因為我就讀的學校規模非常小，一個年級才兩班，競爭不激烈，另一個原因是我的確有點小聰明，而且蠻喜歡唸書。那年頭，學業功課好，加上比較聽老師的話，很容易就獲得其他課外表現的機會，代表班級或學校去外頭參加比賽，也因此當了好幾年的模範生，拿了個縣長獎畢業。囂張的咧。數學？對學過珠心算的我太簡單了！
但一上了國中，全都變了。我依舊很用功、大部分的科目考試成績不是滿分就是逼近滿分，但唯有數學，我連及格的一半都拿不到。「數學」，光是看到這兩個字就足以讓我產生頭昏想吐的感覺，甚至還更嚴重些，會緊張到冒汗、肚子痛。老師在黑板上用大大的三角尺跟大圓規畫的圖依舊精美，板書我能抄得都抄了，但我就是沒辦法理解這些數字跟圖形的邏輯。我慌了。
於是我開始竄改成績單、竄改考卷分數，或是跟大雄一樣，總是以考卷沒帶回家或是丟了為藉口，不讓父母簽名。雖然現在回想起來真是很傻，但當時的我真的快被數學逼瘋了，每天提心吊膽。
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