主題一：整數與概數
2 我是大富翁
小香、大宏和夫夫三個好朋友在假日時一起玩大富翁的遊戲，遊戲結束後他們分別點數得到的錢，下面是他們對自己錢的描述：
小香：「我的錢有九十萬零五十元。」
大宏：「我有8張100000元、15張10000元和1張500元。」
夫夫：「我的錢一共是7050000元。」
比比看誰的錢最多？依照大小排出順序，並寫出你的理由。
比比看誰的錢最多？依照大小排出順序
我的理由：
教授的留言板
學童認識較大的數，已從10000以內，增加到一億以內，此時會出現的位名有「萬位」、「十萬位」、「百萬位」、「千萬位」。當數超過萬，在生活中商業寫法，通常會配合西方的讀法三位一撇，但我們的讀法不適合三位一撇。一般教科書的處理是配合位名表（定位板），引導學童察覺「一、十、百、千」、「萬、十萬、百萬、千萬」的位值概念是四位一組。中文的位名或位值，都很容易掌握前、後二階間的關係，高階是低階的10倍、低階是高階的1/10倍；只有「千」到「萬」時，學童除需認識10個千是1萬外，還要知道9999又1、9990又10、9900又100、9000又1000也是1萬。當然，「千萬」到「億」時，學童要認識10個千萬是1億外，知道9千萬又1千萬是1億即可。本題的數出現讀法、寫法，還有一些數的合成，想要確認學童能否掌握不同表徵較大的數，並能做比較。
學童作答舉隅
正確例一
夫夫＞大宏＞小香
夫夫的錢是7050000元，有7個百萬，大宏是95萬，小香只有90萬，所以夫夫的錢最多。
作答說明
學童依據數字從最大的位值進行判斷，夫夫的錢是7050000，最大位值單位是百萬；大宏有95萬，最大的位值單位是十萬；小香的錢最少，只有90萬。
正確例二
①夫夫 ②大宏 ③小香
九十萬零五十元 → 900050（6位）
8張100000元、15張10000元和1張500元→ 950500（6位）
7050000元（7位）
7050000＞950500＞900050
作答說明
學童將所有的金額用數字表示，再以位數進行比較，夫夫的錢是7位數，大宏和小香都是6位數，從高位開始比較大小，得
知小香最小。
部分正確
夫夫＞大宏＞小香
小香：九十萬零五十元
大宏：8張100000元、15張10000元和1張500元→九十一萬五千五百元
7050000→七百零五萬元
作答說明
學童先將所有的錢以「讀作」的方式呈現，再進行比較，雖然排序的答案正確（夫夫＞大宏＞小香），但是錯將大宏的15張10000元視為十一萬五千元，因此大宏的錢由正確的九十五萬零五百短少成為九十一萬五千五百元，對於大數的化聚還不夠穩固。
回答錯誤
小香＞大宏＞夫夫
小香最大的數字是9，大宏是8，夫夫是7，所以小香的錢最多。
作答說明
學童誤認為比較數字大小時要從高位判斷，就是比較最左邊的數字，而非從數字所代表的位值單位的最高位進行判斷。
4 答案合理嗎
小花的數學作業有一題「用直式算算看3688×392」，小花算出來的答案是「145696」。
哥哥在一旁說：「我不用直式計算就知道你的答案不合理，答案不會只有14萬多。」
你認為哥哥的說法正確嗎？請把你的想法寫下來。
哥哥的說法正確嗎？
我的想法：
教授的留言板
學童在比較大數的運算時，碰到乘法運算往往只記得口訣「滿10進1」，若未注意位名或位值很容易就會出錯。親師需培養學童一些後設認知的能力，學童自己能判斷或檢查計算結果是否正確？檢查計算正確的方法，當然能夠再算一次。不過更高明的方法不是計算，而是透過數感的判斷。數感的判斷，例如：999×36＝（ ），可以用1000×36來估算，計算出來的答案應該比36000小一些。若要培養學童有數學素養，首先要理解數學問題並不是都要靠計算求解，有時在生活中沒有紙筆、沒有計算機，有策略的「心算」很重要。這裡所謂的心算，不是指親師在坊間熟知的珠算式心算，透過特別的訓練讓腦袋中有結構的精
算，而是一種以個人思考來計算的方法。本題是想瞭解學童如何來判斷「不用直式計算就知道答案不合理」？他們多接觸這類題目，較有機會可促進學習。
學童作答舉隅
正確例一
哥哥的說法正確
把3688看成36個百，392看成4個百，1百的1百倍就是1萬
36×4＝144 144個1萬是144萬
作答說明
學童利用估算的方式將數字轉化為「整百」後計算，得知36個百的4百倍是144個萬，再進行判斷小花的答案14萬不合理，因此認為哥哥的說法是正確。
正確例二
哥哥的說法正確
我用直式再算一次得到答案是144萬多，不是14萬
作答說明
學童用直式算出正確答案，得知答案不是14萬，而是144萬多，判斷哥哥的說法正確。
部分正確
哥哥的說法正確
我把3688看成4000，392看成400
把它們乘起來不會是14萬多
作答說明
學童能用估算的方式將數字轉換成整百，但未說明答案大約為多少，說明的理由不完整。
回答錯誤
哥哥說錯了
我用直式算出來的答案和小花一樣
都是14萬，小花是對的
作者說明
學生用直式計算但計算錯誤，所以判別哥哥的說法錯誤，小花正確。
6 有幾個零
老師出了一題乘法計算題「2500×400」，小文看完題目說：「我不用計算就知道這題的答案有4個0，答案應該是10000。」你覺得小文的說法正確嗎？
請寫出你判斷的理由。
你覺得小文的說法正確嗎？
我的判斷理由：
教授的留言板
學童面對大數的乘法，除了被乘數有多階單位的概念外，還要會計算幾倍、十倍、百倍、⋯⋯，例如：234×65＝（ ），234是2個百3個十4個一，「234的5倍」是1個千1個百7個十0個一，「234的60倍」是1個千4個百0個十4個一的10倍，也是1個萬4個千0個百4個十，合起來是1個萬5個千2個百1個十0個一。按照一般的乘法直式，三位數乘以二位數就是前述乘法直式二層的作法。親師要讓學童理解乘法直式算則背後的概念，重要的關鍵是幾個一的10倍是幾個十、幾個十的10倍是幾個百、⋯⋯，還有幾個一的100倍是幾個百、幾個十的100倍是幾個千、⋯⋯，前者是乘法直式的第二層、後者是第三層、⋯⋯。這些規律只要從列出的相關算式，並配合直式的定位板多加觀察，學童一定能瞭然於心。
2 我是大富翁
小香、大宏和夫夫三個好朋友在假日時一起玩大富翁的遊戲，遊戲結束後他們分別點數得到的錢，下面是他們對自己錢的描述：
小香：「我的錢有九十萬零五十元。」
大宏：「我有8張100000元、15張10000元和1張500元。」
夫夫：「我的錢一共是7050000元。」
比比看誰的錢最多？依照大小排出順序，並寫出你的理由。
比比看誰的錢最多？依照大小排出順序
我的理由：
教授的留言板
學童認識較大的數，已從10000以內，增加到一億以內，此時會出現的位名有「萬位」、「十萬位」、「百萬位」、「千萬位」。當數超過萬，在生活中商業寫法，通常會配合西方的讀法三位一撇，但我們的讀法不適合三位一撇。一般教科書的處理是配合位名表（定位板），引導學童察覺「一、十、百、千」、「萬、十萬、百萬、千萬」的位值概念是四位一組。中文的位名或位值，都很容易掌握前、後二階間的關係，高階是低階的10倍、低階是高階的1/10倍；只有「千」到「萬」時，學童除需認識10個千是1萬外，還要知道9999又1、9990又10、9900又100、9000又1000也是1萬。當然，「千萬」到「億」時，學童要認識10個千萬是1億外，知道9千萬又1千萬是1億即可。本題的數出現讀法、寫法，還有一些數的合成，想要確認學童能否掌握不同表徵較大的數，並能做比較。
學童作答舉隅
正確例一
夫夫＞大宏＞小香
夫夫的錢是7050000元，有7個百萬，大宏是95萬，小香只有90萬，所以夫夫的錢最多。
作答說明
學童依據數字從最大的位值進行判斷，夫夫的錢是7050000，最大位值單位是百萬；大宏有95萬，最大的位值單位是十萬；小香的錢最少，只有90萬。
正確例二
①夫夫 ②大宏 ③小香
九十萬零五十元 → 900050（6位）
8張100000元、15張10000元和1張500元→ 950500（6位）
7050000元（7位）
7050000＞950500＞900050
作答說明
學童將所有的金額用數字表示，再以位數進行比較，夫夫的錢是7位數，大宏和小香都是6位數，從高位開始比較大小，得
知小香最小。
部分正確
夫夫＞大宏＞小香
小香：九十萬零五十元
大宏：8張100000元、15張10000元和1張500元→九十一萬五千五百元
7050000→七百零五萬元
作答說明
學童先將所有的錢以「讀作」的方式呈現，再進行比較，雖然排序的答案正確（夫夫＞大宏＞小香），但是錯將大宏的15張10000元視為十一萬五千元，因此大宏的錢由正確的九十五萬零五百短少成為九十一萬五千五百元，對於大數的化聚還不夠穩固。
回答錯誤
小香＞大宏＞夫夫
小香最大的數字是9，大宏是8，夫夫是7，所以小香的錢最多。
作答說明
學童誤認為比較數字大小時要從高位判斷，就是比較最左邊的數字，而非從數字所代表的位值單位的最高位進行判斷。
4 答案合理嗎
小花的數學作業有一題「用直式算算看3688×392」，小花算出來的答案是「145696」。
哥哥在一旁說：「我不用直式計算就知道你的答案不合理，答案不會只有14萬多。」
你認為哥哥的說法正確嗎？請把你的想法寫下來。
哥哥的說法正確嗎？
我的想法：
教授的留言板
學童在比較大數的運算時，碰到乘法運算往往只記得口訣「滿10進1」，若未注意位名或位值很容易就會出錯。親師需培養學童一些後設認知的能力，學童自己能判斷或檢查計算結果是否正確？檢查計算正確的方法，當然能夠再算一次。不過更高明的方法不是計算，而是透過數感的判斷。數感的判斷，例如：999×36＝（ ），可以用1000×36來估算，計算出來的答案應該比36000小一些。若要培養學童有數學素養，首先要理解數學問題並不是都要靠計算求解，有時在生活中沒有紙筆、沒有計算機，有策略的「心算」很重要。這裡所謂的心算，不是指親師在坊間熟知的珠算式心算，透過特別的訓練讓腦袋中有結構的精
算，而是一種以個人思考來計算的方法。本題是想瞭解學童如何來判斷「不用直式計算就知道答案不合理」？他們多接觸這類題目，較有機會可促進學習。
學童作答舉隅
正確例一
哥哥的說法正確
把3688看成36個百，392看成4個百，1百的1百倍就是1萬
36×4＝144 144個1萬是144萬
作答說明
學童利用估算的方式將數字轉化為「整百」後計算，得知36個百的4百倍是144個萬，再進行判斷小花的答案14萬不合理，因此認為哥哥的說法是正確。
正確例二
哥哥的說法正確
我用直式再算一次得到答案是144萬多，不是14萬
作答說明
學童用直式算出正確答案，得知答案不是14萬，而是144萬多，判斷哥哥的說法正確。
部分正確
哥哥的說法正確
我把3688看成4000，392看成400
把它們乘起來不會是14萬多
作答說明
學童能用估算的方式將數字轉換成整百，但未說明答案大約為多少，說明的理由不完整。
回答錯誤
哥哥說錯了
我用直式算出來的答案和小花一樣
都是14萬，小花是對的
作者說明
學生用直式計算但計算錯誤，所以判別哥哥的說法錯誤，小花正確。
6 有幾個零
老師出了一題乘法計算題「2500×400」，小文看完題目說：「我不用計算就知道這題的答案有4個0，答案應該是10000。」你覺得小文的說法正確嗎？
請寫出你判斷的理由。
你覺得小文的說法正確嗎？
我的判斷理由：
教授的留言板
學童面對大數的乘法，除了被乘數有多階單位的概念外，還要會計算幾倍、十倍、百倍、⋯⋯，例如：234×65＝（ ），234是2個百3個十4個一，「234的5倍」是1個千1個百7個十0個一，「234的60倍」是1個千4個百0個十4個一的10倍，也是1個萬4個千0個百4個十，合起來是1個萬5個千2個百1個十0個一。按照一般的乘法直式，三位數乘以二位數就是前述乘法直式二層的作法。親師要讓學童理解乘法直式算則背後的概念，重要的關鍵是幾個一的10倍是幾個十、幾個十的10倍是幾個百、⋯⋯，還有幾個一的100倍是幾個百、幾個十的100倍是幾個千、⋯⋯，前者是乘法直式的第二層、後者是第三層、⋯⋯。這些規律只要從列出的相關算式，並配合直式的定位板多加觀察，學童一定能瞭然於心。
