主題一：整數與概數
1 老師說
六年乙班有25位學生，課堂上正在進行「老師說」的遊戲。小安當老師：「4位同學為一組，4人座號中必須是2個質數和2個合數，且座號合起來的總數是偶數就可以過關。」
邦邦這組的座號是「2號、6號、11號、15號。」
花花這組的座號是「7號、9號、21號、25號。」
邦邦和花花哪一組可以過關？請寫出你的想法。
邦邦和花花哪一組可以過關？
我的想法：
教授的留言板
學童學過因數、公因數後，會進一步學習質因數；所以開始認識質數、合數，它們最大區別在於該數的因數只有1和本身，或是還有其他因數。學童對質數、合數的辨別不能只憑記憶定義，每次都要先找因數才能確知；最好要有一些直觀的判斷能力，這種能力可以透過百數表的操作和觀察來建立。親師可提供一張百數表，讓學童瞭解每一個數都有1和本身是它們的因數，學童先確認2是因數後，刪除2的倍數；再確認3是因數後，刪除3的倍數；接著確認5是因數後，刪除5的倍數；接著確認7是因數後，刪除7的倍數；除了質數2、3、5、7外，這些刪除的倍數（≥2）都是合數，剩下來的數11、13、17、19、23、29、31、
37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97都是質數，若不記得用2、3、5、7除一除就可確認，100以內的質數共有25個。本題就想評量學童的質數、合數，還有奇數、偶數概念，能否正確的用來解決問題？
學童作答舉隅
正確例一
邦邦這組可以過關
2和11是質數，6和15是合數
11和15是奇數，2和6是偶數
所以，奇＋奇＋偶＋偶＝偶數
花花這組9、21、25都是合數，
跟老師說的2個合數的條件不符合
作答說明
學童觀察題目中的兩組座號，發現邦邦這組數字2、11是質數，6、15是合數，並能知道奇、偶數的加法關係，因此判斷邦
邦這組的座號都符合條件，可以順利過關。
正確例二
邦邦可以過關
2＋6＋11＋15＝34……偶數
7＋9＋25＋21＝62……偶數
2、7、11只有1和自己2個因數，所以是質數
6、9、15、21、25都有2個以上的因數，所以是合數
花花這組只有1個質數，不能過關。
作答說明
學童將兩組的座號數字各自加起來，得知兩組的總和皆為偶數；接著依據質數和合數的意義，判斷兩組的數字2、7、11為質數，6、9、15、21、25為合數，發現花花這組只有1個質數、3個合數，不符合老師說的2個質數和2個合數的條件。
部分正確
邦邦
邦邦這組有2個質數和2個合數。
花花這組有1個質數和3個合數，所以錯了。
作答說明
學童能指出兩組質數與合數的個數，並正確回答邦邦這組過關，但是並未說明哪些數字是質數？哪些是合數？說明理由不夠完整。
回答錯誤一
花花
邦邦這組有2，偶數都是合數，不可能是質數。
7＋9＋21＋25＝62 加起來62是偶數，
所以花花可以過關。
作答說明
學童認為只要是偶數就是合數，錯將2視為合數，未從質數的定義去判斷，2除了1與自己只有2個因數，所以是質數。
回答錯誤二
兩組都可以過關
2＋6＋11＋15＝34……偶數
7＋9＋25＋21＝62……偶數
兩組都是偶數
作答說明
學童僅以「合起來是偶數」的訊息作為判斷的條件，因此錯誤回答兩組都可以過關，忽略了分辨兩組質數與合數的個數也需符合條件，才能順利過關。
8 哪一個便宜
楊阿姨想要購買炒菜用的芥花油，大賣場有三款品質都不錯的商品，商品的價錢及容量如下：
甲品牌：3L，售價324元。
乙品牌：0.6L，售價108元。
丙品牌：5L，售價480元。
楊阿姨應該選哪一個品牌的芥花油最便宜？
請說明你的理由。
楊阿姨應該選哪一個品牌的芥花油最便宜？
我的理由：
教授的留言板
學童想瞭解購買哪個品牌的商品較划算，通常是在商品品質都不錯或差不多的條件下，再比較單位價格（簡稱單價）來判斷，這單位在生活上通常是每100克、每100毫升、……。在數學解題上，可以用商品的「價格÷數量」算單價，也可以「數量÷價格」算每一元能買多少，再進行比較。若利用比值來解題，將後項定為數量，比值就是單價；將後項定為價格，比值就是每一元可買多少數量。學童觀念清楚，解題的想法就會靈活、多元，也可以掌握比值和單價、比值和每一元可購買數量，來進行比較。本題的評量目標是比值的應用，想瞭解學童能否用比值和單價概念，來解決生活中相關的問題？
學童作答舉隅
正確例一
丙品牌
324：3＝108：1
108：0.6＝180：1
480：5＝96：1
96＜108＜180
作答說明
學童利用比值算出1公升芥花油的價錢，再進行比較，發現乙品牌的價錢180元最高，其次是甲品牌的108元，最便宜的是丙品牌96元。
正確例二
丙品牌
3：324＝30：3240
0.6：108＝30：5400
5：480＝30：2880
5400＞3240＞2880
作答說明
學童利用相等的比進行比較，找出0.6、3、5的最小公倍數30，將芥花油都以30公升為參考依據，再進行價錢的比較，得知丙品牌的2880元最便宜。
13 拔河比賽人數
學校舉辦班際拔河比賽，每班須推派12位男生和8位女生參加，六年甲班男生人數是女生的2/3倍，全班人數是25人。
大強說：「我們班男女生人數可以參加比賽。」
你贊成大強的說法嗎？請寫出你的想法或作法。
你贊成大強的說法嗎？
我的想法或作法：
教授的留言板
學童的分數倍問題會有兩個學習階段，先是某量的分數倍，例如：一包2公斤的糖，媽媽做甜點用了1/3包，他用了多少公斤糖？再來是學習基準量和比較量有關、誰是誰的分數倍問題，例如：哥哥存了3000元，弟弟存的錢是哥哥的3/5倍，弟弟存了多少元？學童對現在學習的第二類分數倍問題，他們常常弄不清楚該用哪個數來乘以分數倍，還有分數倍計算也不一定能正確求解。學童對基準量、比較量問題，可以用「比」來表示兩量的倍數關係，也可以用「相等的比」來表示人數和倍數之間的關係。本題的設計就是想評量學童基準量、比較量的概念，能否用它來解決分數倍問題？
學童作答舉隅
正確例一
不贊成
男生：女生 2/3： 1
全部看成5個1/3，1個1/3是5人
男生10人 ，女生15人
回答錯誤
贊成
2/3是3份中的2份
25÷3＝8…1 8×2＝16 25–16＝9
25人比20人多，人數一定夠
我算男生16人，女生9人，可以參加
作答說明
學童直接擷取情境中的數字25、2/3進行計算，將2/3視為3份中的2份，利用除法算式算出人數16人，誤以為是男生人數，而全班剩下的人數則為女生9人，因此判定男女生人數可以參加比賽。
1 老師說
六年乙班有25位學生，課堂上正在進行「老師說」的遊戲。小安當老師：「4位同學為一組，4人座號中必須是2個質數和2個合數，且座號合起來的總數是偶數就可以過關。」
邦邦這組的座號是「2號、6號、11號、15號。」
花花這組的座號是「7號、9號、21號、25號。」
邦邦和花花哪一組可以過關？請寫出你的想法。
邦邦和花花哪一組可以過關？
我的想法：
教授的留言板
學童學過因數、公因數後，會進一步學習質因數；所以開始認識質數、合數，它們最大區別在於該數的因數只有1和本身，或是還有其他因數。學童對質數、合數的辨別不能只憑記憶定義，每次都要先找因數才能確知；最好要有一些直觀的判斷能力，這種能力可以透過百數表的操作和觀察來建立。親師可提供一張百數表，讓學童瞭解每一個數都有1和本身是它們的因數，學童先確認2是因數後，刪除2的倍數；再確認3是因數後，刪除3的倍數；接著確認5是因數後，刪除5的倍數；接著確認7是因數後，刪除7的倍數；除了質數2、3、5、7外，這些刪除的倍數（≥2）都是合數，剩下來的數11、13、17、19、23、29、31、
37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97都是質數，若不記得用2、3、5、7除一除就可確認，100以內的質數共有25個。本題就想評量學童的質數、合數，還有奇數、偶數概念，能否正確的用來解決問題？
學童作答舉隅
正確例一
邦邦這組可以過關
2和11是質數，6和15是合數
11和15是奇數，2和6是偶數
所以，奇＋奇＋偶＋偶＝偶數
花花這組9、21、25都是合數，
跟老師說的2個合數的條件不符合
作答說明
學童觀察題目中的兩組座號，發現邦邦這組數字2、11是質數，6、15是合數，並能知道奇、偶數的加法關係，因此判斷邦
邦這組的座號都符合條件，可以順利過關。
正確例二
邦邦可以過關
2＋6＋11＋15＝34……偶數
7＋9＋25＋21＝62……偶數
2、7、11只有1和自己2個因數，所以是質數
6、9、15、21、25都有2個以上的因數，所以是合數
花花這組只有1個質數，不能過關。
作答說明
學童將兩組的座號數字各自加起來，得知兩組的總和皆為偶數；接著依據質數和合數的意義，判斷兩組的數字2、7、11為質數，6、9、15、21、25為合數，發現花花這組只有1個質數、3個合數，不符合老師說的2個質數和2個合數的條件。
部分正確
邦邦
邦邦這組有2個質數和2個合數。
花花這組有1個質數和3個合數，所以錯了。
作答說明
學童能指出兩組質數與合數的個數，並正確回答邦邦這組過關，但是並未說明哪些數字是質數？哪些是合數？說明理由不夠完整。
回答錯誤一
花花
邦邦這組有2，偶數都是合數，不可能是質數。
7＋9＋21＋25＝62 加起來62是偶數，
所以花花可以過關。
作答說明
學童認為只要是偶數就是合數，錯將2視為合數，未從質數的定義去判斷，2除了1與自己只有2個因數，所以是質數。
回答錯誤二
兩組都可以過關
2＋6＋11＋15＝34……偶數
7＋9＋25＋21＝62……偶數
兩組都是偶數
作答說明
學童僅以「合起來是偶數」的訊息作為判斷的條件，因此錯誤回答兩組都可以過關，忽略了分辨兩組質數與合數的個數也需符合條件，才能順利過關。
8 哪一個便宜
楊阿姨想要購買炒菜用的芥花油，大賣場有三款品質都不錯的商品，商品的價錢及容量如下：
甲品牌：3L，售價324元。
乙品牌：0.6L，售價108元。
丙品牌：5L，售價480元。
楊阿姨應該選哪一個品牌的芥花油最便宜？
請說明你的理由。
楊阿姨應該選哪一個品牌的芥花油最便宜？
我的理由：
教授的留言板
學童想瞭解購買哪個品牌的商品較划算，通常是在商品品質都不錯或差不多的條件下，再比較單位價格（簡稱單價）來判斷，這單位在生活上通常是每100克、每100毫升、……。在數學解題上，可以用商品的「價格÷數量」算單價，也可以「數量÷價格」算每一元能買多少，再進行比較。若利用比值來解題，將後項定為數量，比值就是單價；將後項定為價格，比值就是每一元可買多少數量。學童觀念清楚，解題的想法就會靈活、多元，也可以掌握比值和單價、比值和每一元可購買數量，來進行比較。本題的評量目標是比值的應用，想瞭解學童能否用比值和單價概念，來解決生活中相關的問題？
學童作答舉隅
正確例一
丙品牌
324：3＝108：1
108：0.6＝180：1
480：5＝96：1
96＜108＜180
作答說明
學童利用比值算出1公升芥花油的價錢，再進行比較，發現乙品牌的價錢180元最高，其次是甲品牌的108元，最便宜的是丙品牌96元。
正確例二
丙品牌
3：324＝30：3240
0.6：108＝30：5400
5：480＝30：2880
5400＞3240＞2880
作答說明
學童利用相等的比進行比較，找出0.6、3、5的最小公倍數30，將芥花油都以30公升為參考依據，再進行價錢的比較，得知丙品牌的2880元最便宜。
13 拔河比賽人數
學校舉辦班際拔河比賽，每班須推派12位男生和8位女生參加，六年甲班男生人數是女生的2/3倍，全班人數是25人。
大強說：「我們班男女生人數可以參加比賽。」
你贊成大強的說法嗎？請寫出你的想法或作法。
你贊成大強的說法嗎？
我的想法或作法：
教授的留言板
學童的分數倍問題會有兩個學習階段，先是某量的分數倍，例如：一包2公斤的糖，媽媽做甜點用了1/3包，他用了多少公斤糖？再來是學習基準量和比較量有關、誰是誰的分數倍問題，例如：哥哥存了3000元，弟弟存的錢是哥哥的3/5倍，弟弟存了多少元？學童對現在學習的第二類分數倍問題，他們常常弄不清楚該用哪個數來乘以分數倍，還有分數倍計算也不一定能正確求解。學童對基準量、比較量問題，可以用「比」來表示兩量的倍數關係，也可以用「相等的比」來表示人數和倍數之間的關係。本題的設計就是想評量學童基準量、比較量的概念，能否用它來解決分數倍問題？
學童作答舉隅
正確例一
不贊成
男生：女生 2/3： 1
全部看成5個1/3，1個1/3是5人
男生10人 ，女生15人
回答錯誤
贊成
2/3是3份中的2份
25÷3＝8…1 8×2＝16 25–16＝9
25人比20人多，人數一定夠
我算男生16人，女生9人，可以參加
作答說明
學童直接擷取情境中的數字25、2/3進行計算，將2/3視為3份中的2份，利用除法算式算出人數16人，誤以為是男生人數，而全班剩下的人數則為女生9人，因此判定男女生人數可以參加比賽。
