這才是數學：從不知道到想知道的探索之旅
活動訊息
內容簡介
暢銷書《一個數學家的嘆息》作者的最新力作！
還原數學的本質，就是一種好奇、探索、發現的過程。
近幾年來，保羅・拉克哈特的《一個數學家的嘆息》在數學圈子裡祕密流傳，直到成書出版後，更引爆了廣泛的好評，因為它批判了今日僵化的數學教育（背公 式、大量的習題），忽略了帶領學生思考問題的過程；而且數學課程太片段化、瑣碎、缺乏脈絡。我們本來可以給孩子更好的數學體驗，讓他們喜歡上數學，產生好 奇心，不是嗎？
在這本新書中，作者寫出了數學教育正向積極的一面，帶領我們體會，數學是一種充滿趣味的探索以及思考方式。
作者現身說法提出了他心目中的數學，應該是什麼樣子。他先談數學世界與現實世界有何不同，然後從三角形、圓、幾何、代數、三角函數、向量、到微積分，不斷地引導我們問「為什麼？」。
他和你說話，用平易近人的語氣，運用手繪的圖形，就像是自己在玩數學似的，呈現他心目中理想、有意義的數學問題，以及思考過程。他不會假裝數學很簡 單，但也大方展現數學的美。在他筆下，複雜的數學概念變得符合直覺、容易掌握，數學概念不再是東一塊、西一塊，各個單元彼此可以連結，形成有意義的動人故 事。他針對數學推理和古典幾何主題的討論很有意思，正呼應了他所堅信的：數學不僅是科學，也是藝術。
在這個新天地裡，漂亮的圖形和模式在我們的腦海中閃過，做出一些令人驚訝的事！當我們注意對稱性、圓形、圓柱、圓錐，會發現幾乎每個人都有辦法「做數學」，當我們一頭栽進去，盡情思考之後，將獲得極大的喜悅，並得到情感和美感上的回報。
名人推薦
任維勇 北一女中數學教師
洪萬生 師大數學系退休教授
游森棚 師大數學系教授
無論你受過什麼樣的數學教育，或是沒有上過數學課，你都會從這本迷人的書中得到樂趣。只要你接受作者的邀請，浸淫在書裡散發出的數學感受中，並親自動 手嘗試看看──不只是解題，更積極的，一面探索數學世界一面構思問題。──貝利‧馬祖爾（Barry Mazur )，哈佛大學校聘數學教授
這本書是一首情歌，一篇哲學宣言，以及關於做數學的甘苦，但甘甜占了大多數。──史蒂芬•史特格茲（Steven Strogatz），康乃爾大學講座教授
充滿趣味和巧思的寫法，不僅讓數學不再令人感到害怕，也優雅地描繪出作者樂在其中的世界。──《出版人週刊》（Publishers Weekly）
影音介紹
編輯推薦
本書作者，美國的數學家保羅‧拉克哈特，有感於美國中小學的數學課裡「根本沒有數學」，只有背公式和習題，因此他先寫了《一個數學家的嘆息》，哀嘆數學本來是很好玩的，是有趣的心智練習、探險，可以從孩子們天生的好奇心出發，好好教他們，結果變成了考試、比賽！課堂上教的根本不是數學！
到了這本書《這才是數學》，他展開了他理想中的數學的美好，解釋數學究竟是什麼。一開始他講的事情就很有趣。數學世界跟現實世界有很大的區別：「實體世界是個災難。它太複雜，物體熱脹冷縮，原子不時飛舞。尤其是，沒有哪樣東西可以真正測量得出來。我們不知道一根草的精確長度。這個宇宙中的任何一個量測值，必定都是近似值。在這裡，最小的斑點不是點，最細的絲線也不是線。」
然而數學世界，「則是一種假想的世界，我可以隨自己高興，把它想像成簡單又美好。我可以擁有現實生活裡不可能擁有的完美事物。我手裡不可能握著一個圓，但腦袋裡可以，甚至還能度量這個圓。我的心智可以看到數學世界，美麗的幾何形狀與模式翱翔其間，做出讓我驚嘆的有趣行徑。這個世界很讚，我真的很喜歡。」
從這裡開始，我們會發現，我們數學課上學的證明跟本不堪一擊、死氣沉沉。三角形的面積、人類對於圓的測量所發揮的無限想像力，都是太有趣太有趣的故事。數學的確跟「證明」有關，但是問「為什麼」、試圖解釋它，則是跟每個人與生俱來的好奇心有關。
看這本書也會了解，令人痛苦的三角函數，根本不需要用到六個符號，用兩個：sin、cos就夠了，而且一目瞭然。他們還可以走得很遠很遠，做出一些令人驚訝的事！如果你對數學有一些興趣，你會發現你在數學課上可能錯過了什麼。若是中小學、高中的教師們，則可從這本書挖掘到一些寶藏，如何教學的點點滴滴收穫。（文／經濟新潮社總編輯林博華）
目錄
推薦序 從「測量」看數學與數學之美 游森棚
推薦序 去掉條條框框，看見數學的本質 洪萬生
真實與想像
漫談數學問題
上篇 大小與形狀
我們一開始先談抽象幾何圖形；
對稱鋪磚和角度；
縮放和比例；
長度、面積與體積；
窮盡法及其結果；
多邊形和三角學；
圓錐曲線與射影幾何；
力學曲線。
下篇 時間與空間
這一篇涵蓋了數學上的運動；
以數值關係描述運動；
向量表示法和力學相對性；
速度；
微分法及其各式各樣的應用；
最後是給讀者的一點鼓勵。
英中譯名對照
序／導讀
〔推薦序〕
從「測量」看數學與數學之美
游森棚／任教於國立台灣師範大學與空軍官校
測量是人類的本能：到那棵樹有多遠？有幾頭獅子？我有多高多胖？測量也是人類的挑戰：那個池塘面積有多大？海岸線有多長？下一次的日蝕是什麼時候？
讀者手上的這本書《這才是數學》，原文的書名就是「測量」(Measurement)。這本書用「測量」為經，帶領讀者穿越時光隧道，縱覽了從古希臘時代開始，一路到微積分的數學。
這本書的作者Paul Lockhart曾是幾何學家，寫過幾篇相當好的學術論文，並且曾在名校布朗大學任教。2000年起他離開學術界，到紐約布魯克林的Saint Ann's中學教書。他感嘆美國中小學的數學教學現場光怪陸離，根本摧毀了學生對數學的熱情與想像力，於是寫下了一份手稿「一位數學家的嘆息」（A Mathematician’s Lament），這份有名的手稿先在數學圈中流傳，而後於2009年出版。這本《Measurement》是他最新的，也是談數學與數學教育的科普書籍。
這是一本相當特別的數學科普書。不少數學科普書籍因為讀者程度的設定，常常花大量的時間在打轉：或者編造數學問題的情境；或者鋪陳數學家的生平，怪 癖，或軼事。但是這些故事通常和「數學」本身沒有關係。這本書不然。作者非常明白地告訴讀者，他只談數學：數學的發現，數學的內容，數學為何美麗。
作者開宗明義說，數學世界只存在於心智中，點就是一個點，線就是一條完美的線，圓就是一個完美的圓，不像現實世界充滿了近似值。在這個世界中，你可以 盡情玩耍，觀察後發現一些現象，然後做出猜測，然後證明，這一路的過程正是數學迷人的原因。更神奇的是，一旦論證是對的，所有的發現就是斬釘截鐵，就變成 絕對正確的真理：三角形的三條中線就是會交於一點，直角三角形的兩短邊的平方和就剛好等於斜邊的平方和。作者雖未言說，但這正是柏拉圖的思想：在理型世界 中，各種關係是永恆不變的，是絕對的真理。
作者帶領我們從簡單的形狀開始測量，線段的長度，三角形的角度和，多邊形與多面體。為了測量正方形的對角線就出現了無理數。為了測量圓周長出現了超越 數。接著是面積，體積，開始有代數，三角，圓錐曲線和射影幾何。把曲線看成是質點的運動軌跡，就出現了函數，速度，微分，積分。最終停在指數與對數。
數學的發展一日千里，當代數學百家爭鳴，不僅有抽象數學的理論高度，更有應用數學的興起，與跨領域的整合。本書的題材從規則形狀的測量一路談到微積 分，取材相當豐富，卻也是相當古典的，事實上，這離當代的數學的研究對象已經非常遙遠了。但是正因為這些是古典題材，更足以讓我們依循著古人的發現腳步， 一窺數學的堂奧。但本書不掉書袋，娓娓道來，雖沒有太多人名和歷史故事，實際上卻橫跨了數學史數千年的發展，份量已經足以開一門數學史的課程了。
我極佩服作者能夠信手拈來，用非常直觀的方法把許多概念講得清清楚楚，用簡單的例子說明重要概念是怎麼成形的，以及一些根本的結果為什麼會是對的。比 如說：怎麼對小學生解釋為什麼三角形的面積剛好是底乘以高的一半；怎麼對國中生解釋圓的面積是圓周率乘以半徑的平方；為什麼圓，橢圓，拋物線，雙曲線在射 影之下是同一件事；微分公式是怎麼來的。有好多個結果解釋得非常漂亮，我自己都眼睛一亮。
作者堅持只談數學本身，這也是不少數學家面對數學教育的堅持，輔助的教學方法不能反客為主。此外，正如同欣賞音樂或文學要先能理解音樂或文學的語言： 要能欣賞數學，也需要理解數學的語言，否則終究是碰不到核心。作者期待讀者也一起「動手做」，才能體會由發現到證明的數學之美，於是文中穿插了許多有趣的 習題 (有些還不太容易)。以上這些，對於讀者都是不小的挑戰。
但無論如何，作者努力向我們傳達他的信念：數學是來自於觀察，發現，證明的心智活動，它的的美麗來自自身，來自過程中滿溢的想像與創造，以及對簡單真理的渴望。
數學是科學的根本，牽涉到邏輯思考，抽象力，想像力，觀察與創造或審美等等最基本重要的素養。但是台灣的教學現場上，教師常常急著呈現結果，而忘了帶 領學生探索概念的形成，以及體會發現的樂趣。不少學生以為數學就是背公式解類似題，完全無法體會有何樂趣可言。更糟糕的是這就磨掉了觀察力與創造力，以及 主動探索的能力——這真是令人遺憾的事。希望這本書的出版，能帶給第一線的數學教師們一些鼓舞與啟示。
〔推薦序〕
去掉條條框框，看見數學的本質
洪萬生／國立台灣師範大學數學系退休教授
何謂數學？保羅・拉克哈特現身說法，利用本書來解說他的答案：數學是一門研究模式的科學（science of pattern）。
不過，想要回答此一問題，我們也可以簡短回顧這種知識活動的歷史軌跡。考察古埃及、巴比倫乃至中國的數學的發展歷程，到公元前500年左右，所謂數學 是指與數目相關的一種學問。以中國漢代數學經典《九章算術》為例，數學所指涉的活動幾乎都以「算術」為主。顯然，它的內容以實用為依歸，至於方法則依循 「食譜」的特色：「對一個數目這樣做、那樣做，那麼，你將會得到答案。」
從大約公元前500年到公元300年間，是希臘數學的輝煌時期。古希臘的數學家主要關心幾何學，而且訴諸於嚴密推理與形式證明，以建立牢固的數學知識結構。因此，對於古希臘人而言，除了研究數目之外，數學主要是有關形狀的一門學問。
儘管如此，到十七世紀為止，數學大都侷限於計算、度量和形狀之描述的靜態問題。相對地，牛頓與萊布尼茲在各自獨立發明的微積分這一門學問中，引進處理 運動和變化的方法之後，數學家終於可以研究行星的運行、地球的落體運動、液體的流動、氣體的擴散、電力和磁力、飛行，乃至於動植物的生長等等自然現象。因 此，在這兩位發明微積分的偉大數學家之後，數學變成了研究數目、形狀、運動、變化以及空間的一門學問。
不過，大約十八世紀中葉之後，有感於微積分的無遠弗屆威力，數學家著手瞭解其背後的原因究竟，從而對數學知識本身產生了遞增的興趣。於是，古希臘形式 證明的傳統，捲土重來掌握了優勢。因此，到了十九世紀末為止，數學已經成為有關數目、形狀、運動、變化、空間、以及研究數學的工具的一門學問了。
在最近的四十年間，數學家對於「何謂數學」之說法，則一如前述：數學是研究模式的一門科學。誠如拉克哈特指出，數學家的職責就是探索或檢視抽象的模 式。這些模式可以是真實存在或想像的、視覺性或心智性的、靜態或動態的、定性或定量的、純粹功利或有點超乎娛樂趣味的。它們可以源自我們的周遭世界，或者 源自心靈的內部運作。不同種類的模式當然引出不同的數學分支，譬如說吧，幾何學研究形狀的模式；微積分允許我們處理運動的模式。而這兩種模式，正是拉克哈 特在本書中現身說法之主要依據。
針對幾何學研究，拉克哈特強調它「與其說是關於形狀本身，不如說是關於定義形狀的遣詞用字模式（vocal pattern）。幾何的中心問題，是抓住這些模式並做出量度——這些數本身，也必須具有遣詞用字模式。」至於在本書下篇中，作者引進微（積）分方法，部 分原因顯然出自對比（量度）方法論的考量。請看拉克哈特如何說明：「我總是喜歡拿古代研究幾何量度的方式，來和近代的研究方式比較一下。希臘古典想法是把 量度按住，然後做分割；十七世紀的方法則是任它四處跑，觀察它的變化。」儘管如此，他在說明如何「量度」圓面積時，還是指出古典方法（如窮盡法）的深刻動 人：「我們做的近似值並不只是少少幾個，而是無窮多個。我們其實做了一連串無止境的近似值，一次比一次接近，而從這些近似值可以看出一種模式，告訴我們最 終會趨向什麼結果。換句話說，透露出某種模式的無窮多個『謊言』（lies），竟能告訴我們真理。」
對於拉克哈特來說，模式之為用大矣！在說明餘弦定律針對銳角、直角與鈍角三角形都有效時，拉克哈特強調：「要讓模式來決定我們對於意義的選擇。數學這門學問就是圍繞這個主題；我們甚至可以說，這是這門藝術的本質——聽從模式，來調整自己的定義和直觀。」
我希望上述簡短的說明及引述，多少可以傳達我如何喜愛這一本數學普及著作。事實上，作者罕見的敘事功力，讓本書處處洋溢著極其睿智的洞識，譬如在說明 餘弦定律的意義時，拉克哈特就指出：「這個公式告訴我們一件事：角度與長度彼此沒有直接關係；角度必須透過餘弦，來間接傳遞訊息。就好像角度需要一位裝扮 成餘弦的律師，代替它們去和長度打交道。角度與長度身處不同的世界，說著不同的語言。正弦和餘弦擔任字典的角色，把角度的語言轉換成長度語言。」我想一般 的數學老師大概都能說出上引文字上半部分的含
試閱
何謂數學問題？對數學家而言，問題就是一種試探──去檢驗數學實在，看看它做出什麼行為。就好像「拿棍子戳一下」，看會發生什麼事。我們看到了數學實在的一小角，可能是幾何形狀的排列方式，或是數字模式之類的，想要進一步了解它背後的運作，於是我們戳它一下──只不過沒用手或是棍子，而是運用心智。
舉例來說，假設你在畫三角形，在這些三角形上進行各種實驗，譬如切割成小三角形，結果偶然發現了一件事：
你把各邊中點和它的對角連起來時，三條連線（中線）似乎全交於一點。又試了各式各樣的三角形，發現好像都會如此。這下子你遇到了一個謎團！但是我們先來釐清這個謎團的本質。它跟你畫在紙上的圖無關。用紙筆畫出的三角形能做或不能做些什麼，是和實體世界有關的科學問題。譬如你畫得很草率，三條中線就不會相交成一個點。我想你大可以畫得非常小心謹慎，再放在顯微鏡下看，但頂多只會把紙纖維和鉛筆的石墨成分看得更清楚，卻不會因此而更了解三角形。
真正的謎團，是環繞著這些過於完美、不存在於現實的三角形，而我們想問的問題是：在數學實在中，這三條完美的直線是否會交於一個完美的點。鉛筆或顯微鏡現在都派不上用場。（在整本書我會一直強調這種區別，可能會到讓你嫌囉唆的地步。）我們該如何解決這樣的問題？對於這樣的假想物件，有任何已知的知識嗎？是哪種形式的知識？
在繼續檢視這些提問之前，我們先花點時間，欣賞一下這道問題，領略何謂「數學實在」的本質。
我們撞見了一個密謀，顯然暗中有某種（未知的）結構上的運作，使這種情況發生。我認為這很了不起，但也有點嚇人。三角形究竟知道什麼事，是我們所不知道的？想到有這麼多漂亮而深奧的真理，等著我們去發現並融會貫通，有時還真讓我有點忐忑不安。
這個謎團究竟是什麼？我們想知道為什麼。為什麼一個三角形想這麼做？假如你是隨便把三根棍子丟到地上，棍子通常不會交疊在某一點，而是兩兩交叉，中間形成一個小三角形，不是嗎？
我們所尋找的是一種解釋。當然，倘若這現象根本不真確，我們可能就找不到解釋了。譬如我們只是一廂情願，或是被拙劣的繪圖手法給愚弄了。在實體世界裡有很多「敷衍之事」，所以也許只是三條直線相交成的那個三角形太小了，被鉛筆屑擋住，我們看不到罷了。但另一方面，它當然也有可能為真；它具備了數學家會去尋找的很多元素：自然性、優雅、簡單，以及某種令人信服的特質。所以它可能是對的，但問題同樣是：為什麼？
現在，學問來了。為了做出解釋，我們得創造某樣東西──要以某種方式建構一套論證或推理，可讓我們回答為什麼三角形會產生這種行為。這項任務非常艱鉅。其中一個理由是，若只是畫或做出一堆實體三角形，然後看它對不對，這樣是不夠的。這並不是在解釋，反而比較像是「近似驗證」。我們的疑問，是個更為嚴肅的哲學問題。
如果不知道為什麼三中線交於一點，又怎麼知道它們真的相交呢？「數學實在」不像實體世界，沒有實物可觀察。我們該如何了解一個純想像的領域？重點是，什麼是真確的，其實沒那麼重要。真正重要的是為什麼它為真。理由才是我們該問的。
我並不是要貶低人類感官的價值。我們十分需要繪圖、模型、影片等任何可取得的素材，來輔助直覺和想像。我們只需明白，這些東西並不是討論的主體，並不能告訴我們數學實在的真相。
所以，現在我們真的面臨困境了。我們認為自己可能發現了一個漂亮的真理，現在需要證明它。這就是數學家的工作，我希望你也樂在其中。
這件事做起來非常困難嗎？是很困難。有沒有撇步或方法可依循？並沒有。這是不折不扣的抽象藝術。藝術始終是一場奮戰。沒有什麼系統化的方法，可幫助你創作出充滿美感和意義的繪畫或雕塑作品，也沒有哪個方法可以讓你做出具備美感和意義的數學論證。很抱歉。數學是最難的藝術，這也是我喜愛它的原因之一。
所以對不起，我不能告訴你怎麼做，而且我不打算陪著你，或是在書末附上一堆提示或詳解。如果你打心底想畫一幅畫，畫布的背面也不會有畫帖讓你照著畫。假如你題目做到一半卡住了，苦思不得其解，那就歡迎你加入我們的行列。數學家也都不知道怎麼解自己的題目。如果能解開，就不叫做問題了！我們始終在未知的邊緣奮戰，我們總是陷入苦思，直到有所突破。我也希望你有很多突破，這感覺很棒。但是，做數學並沒有什麼特別的撇步，你必須多思考，希望靈感找上門。
不過我不會把你送進叢林之後就撒手不管。你必須帶著智慧和好奇心，這些都是你賴以求生的裝備，而我也許可以提供幾點普通的建議，替你指引方向。
我的第一個建議是：你自己訂的題目就是最好的題目。你是勇敢的心智探險家；這是你的腦袋和冒險。「數學實在」是你自己腦袋裡的產物，你想去探索就可以去。你的問題是什麼？目標在哪裡？我是很喜歡出題讓你思考，但這些僅只是拋磚引玉，讓你可以繼續自己栽種出叢林來。別怕解不開自己訂的題目──數學家經常如此。另外，盡量讓自己同時思考五或六個問題。假如你的頭反覆撞同一面牆，你會非常沮喪。（有五、六面牆輪流讓你撞，情況就好多了！）說正經的，一個問題做一段時間然後休息一下，總是有幫助的。還有一個重要的建議是：互相幫忙。如果你有朋友也想要做數學，你們可以一起討論，分享當中的快樂和挫折，就像一起玩音樂一樣。有時候，我會耗六到八個小時與朋友研究一個題目，即使只有一丁點進展，我們還是會因為有另一個傻瓜作伴而感到很開心。
所以，難就難吧。盡量不要氣餒或是把失敗看得太嚴重。不只你無法理解數學實在，我們所有的人都跟你一樣。別擔心自己經驗不足或是「不夠格」。數學家的特質並不是學術技能或淵博知識，而是永不滿足的好奇心，以及對簡單之美的渴望。做自己，去你想去的地方。與其裹足不前、害怕挫折或是困惑，不如試著擁抱這份恐懼和神祕感，開開心心大玩特玩一番。是沒錯，你的想法會行不通，你的直覺會出錯，歡迎你加入我們的行列！我一天會有十幾個不成熟的想法，其他的數學家也都跟我一樣。
好了，我知道你在想什麼：什麼美啦、藝術啦、創作過程必經的痛苦，說得如此浪漫動聽，但到底我該怎麼做？我這輩子還沒有做過半個數學論證，你就不能多給我一點提示嗎？
讓我們回到剛才的三角形和三中線。該如何堆砌出一個論證？我們可以先看對稱三角形的情形。
這種三角形也稱為等邊三角形。好了，我知道這個做法不太尋常，但整個概念是，如果能想辦法解釋這種特殊三角形的三條中線為什麼會相交，也許就會得到一點線索，知道怎麼處理一般三角形的情形。但也可能得不到線索，你永遠不會知道，只能花時間跟它磨──我們數學家喜歡稱之為「做研究」。
無論如何，我們總要有個起點，而等邊三角形的特例至少比較容易。這個特殊情形裡有非常多對稱性。不要小看對稱性！在許多方面，對稱是最強大的數學工具。（請把它放進你的求生背包裡。）
在這裡，對稱性會告訴我們：發生在三角形其中一側的任何事情，一定也會發生在另一側。換一種說法就是：如果我們沿著對稱線翻轉三角形，翻轉後的結果看起來和原來的三角形一模一樣。
尤其是，兩個邊的中點會交換位置，而相對應的兩條中線也會互換。不過，這就表示這兩條中線的交點不可能落在對稱線的任一側，否則這個交點在翻轉之後會跑到另一側，而讓我們看出來三角形被翻轉了！
因此，交點必定落在對稱線上，而對稱線顯然就是這個三角形的第三條中線（連接頂角與底邊中點），所以三中線交於一點。這個解釋很不錯吧？
以上就是一個數學論證，或稱為證明。數學證明就像在說故事。題目裡的元素就是人物角色，故事情節則由你決定。就像任何一篇文學小說，我們的目標是寫出在陳述上令人信服的故事；在數學上，這表示情節不僅要合乎邏輯，還必須簡明而優雅。沒有人喜歡看拐彎抹角又龐雜的證明。我們當然想看到理性的思路，但也希望感受到美的震懾。一個證明應該兼顧美感及邏輯。
這讓我想到另一個建議：修潤你的證明。有了一個解釋，並不代表它是最好的解釋。可以刪掉什麼不必要的雜念或複雜度嗎？能不能找到完全不同的切入點，給你更深入的了解？多做幾次證明。畫家、雕塑家和詩人都在做同樣的事情。
比方說，我們剛才的證明雖然邏輯清楚、簡單明瞭，但稍嫌武斷。儘管我們主要運用到對稱性，但整個證明有那麼一點不對稱（至少對我來說這有點討厭）。說得具體些，論證只挑了其中一角，並以相應的中線為對稱線。倒不是這個做法非常不好，而是我們用的三角形太對稱了；我們不該做這麼隨心所欲的選擇。
譬如我們也可以想到，這個三角形除了具有翻轉對稱性，也有旋轉對稱。意思就是，如果我們把它旋轉三分之一圈，看起來會和原來完全一樣。這表示我們的三角形必定有一個中心。
現在，如果我們沿著任意一條對稱線（不特別偏好哪一條）旋轉三角形，三角形不會改變，所以它的中心必定留在原處不動。意思是，這個中心點落在三條對稱線上，因此三中線相交於一點！
好了，我並不是要告訴你，第二種論證多好甚至多麼不同。（事實上，還有很多其他的證明方法。）我想說的是，藉由不止一種方法，能夠對問題有更深一層的理解和認識。尤其是，第二個論證不僅告訴我三中線相交，還告訴我相交在哪裡──即旋轉中心。這把我帶向另一個問題：旋轉中心的位置在哪裡？更確切的問法是，一個等邊三角形的中心在多高的位置上？
在整本書裡，類似的問題會不斷出現。要成為數學家，多少就是在學習丟出這樣的提問，用你的棍子四處試探，尋找尚待發現的真理。我所想到的題目和問題，會以粗體字標示。你可以想一想，如果想解，就做做看。我也希望你自己出題。以下就是給你的第一道題目：
等邊三角形的中心在哪裡？
現在回到原來的問題，我們發現幾乎沒有任何進展。雖然解釋了為什麼等邊三角形的三中線會相交，但是我們的論證太依賴對稱性，很難看出這對於一般的情形有何幫助。其實我覺得，如果換成等腰三角形，我們的第一個論證仍然有效：
原因是，這種三角形仍然有一條對稱線。這叫做一般化（generalization）──讓一個問題或論證在更廣泛的情況下也說得通。不過，對於一般的非對稱三角形，上面兩種論證顯然行不通。
現在這種處境，數學家都很熟悉──我們卡住了。我們需要新的想法，最好不要這麼仰賴對稱性。那麼就從頭開始吧。
我們有一個三角形、各邊的中點，以及連接各頂點與對邊中點的中線。對於這些元素，還可以做些什麼事呢？
這裡有個提議。如果把中點連起來呢？會發生什麼有趣的事情？既然身為數學家，你就必須做一件事：進行嘗試。這樣行得通嗎？會產生有用的資訊嗎？通常不會。但總不能光坐在那裡，盯著幾何圖形或數字吧。要設法嘗試各種可能。做的數學越多，你的直覺和本能會更敏銳，想法會更成熟。怎麼知道該試哪些想法？沒辦法知道，只能猜測。經驗豐富的數學家對於結構十分敏感，所以猜對的機會較大，但我們一樣得猜。所以，就大膽猜吧。
最重要的是不要害怕。好了，假設你試過某個瘋狂的想法，結果行不通。在這方面你一點也不孤單！阿基米德、高斯、你和我，我們全都在「數學實在」摸索前進，試圖理解這個世界裡的現象，做出猜測，嘗試各種想法，而且多半失敗。然後，你偶爾成功了。（如果你是阿基米德或高斯，成功的次數也許更頻繁些。）解開一個千古之謎所帶來的感覺，會讓你重返叢林，再探一次險。
好，想像你已經做過各種嘗試，有一天你突發奇想，何不把中點連起來。
看到了沒？好，我們把原來的三角形分割成四個小三角形了。若是對稱三角形，四個小三角形顯然全等。那麼對於一般的三角形呢？
這四個小三角形長相都一樣嗎？事實上，其中三個看上去就像原來三角形的縮小版（縮小了一半）。果真如此嗎？中間那個小三角形呢？它可不可能也長得一樣，只是旋轉了一百八十度？我們無意間發現了什麼結果？
我們碰巧遇上了一點點真理、模式和美，如此而已。這也許會導向某個意想不到、可能與原始問題無關的結果。就由它去吧。三中線的問題並不神聖，和其他問題沒什麼兩樣。如果思緒把你帶到另一個問題，那很好啊！這下你就有兩個題目可以想了。我的建議是：保持靈活，不要先入為主。讓問題帶著你走。如果在叢林裡無意間遇到一條河，就順著河往前走！這四個小三角形全等嗎？
不妨假設它們全等。而且附帶一提，你當然可以這樣做。數學家總是先做假設，再看看會發生什麼情況（古希臘人甚至創了一個詞來形容它──稱為分析，analysis）。幾千年來我們人類發現了許許多多看似事實的數學陳述，並且相信是事實，但至今仍然無法證明。這些陳述稱為猜想（conjecture）──也就是關於數學實在的一段陳述，你相信是真確的（通常也舉出一些例子來佐證，所以它是個合理的猜測）。我希望你除了一邊讀這本書、一邊做數學，也會發現自己隨時在提出猜想。也許你還會證明出自己所提的一些猜想，那就可以改稱為定理（theorem）。
假定我們的猜想是對的，四個小三角形的確全等（這當然也需要做個證明），接下來的問題是，這對於解決原來的題目有沒有幫助？也許有，也許沒有，得看你接著有什麼發現。
本質上說，做數學就是在玩耍、觀察和發現、建構例子（以及反例）、提出猜想，然後證明──這也是最困難的部分。我希望你漸漸發覺這個過程很好玩，充滿挑戰，而且獲益良多。
好啦，這個三角形三中線相交的問題，就留給你慢慢想。
我的下一個建議是：自我評價。讓你的論證接受自己和他人的嚴苛批評。所有的藝術家都要經歷這個階段，尤其是數學家。正如我說過的，一個數學論證要能合格，必須禁得起兩種非常不同的審核標準：它既得是一個理性的論證，必須具備正確的邏輯和說服力，同時它也必須是巧妙的，具啟示性，能提供情感上的滿足。對不起，這種標準十分苛刻，但這門藝術的本質就是如此。
你會說，美學判斷顯然因人而異，而且可能隨時空環境改變。的確，這種事在數學上也發生過，就像其他的人類活動一樣。一千年甚至一百年前視為漂亮的論證，今天來看說不定覺得拙劣、不優雅。（例如很多古典希臘數學，在我的現代眼光看來就顯得相當可怕。）
我的建議是，不要老想給自己超高的審美標準。如果你喜歡自己的證明（大多數人都會為自己辛苦的創作感到相當自豪），這樣很好。如果你有某些地方不怎麼滿意（大多數人也都如此），你就還有可努力的空間。經驗越多，品味也會提升，而可能開始覺得先前所做的論證不夠好。照理說就該如此。
我認為這也同樣適用於邏輯有效性。做的數學越多，你會變得更聰明。你的邏輯推理會更嚴謹，而且會開始發展出數學「嗅覺」。你將學會心存懷疑，去察覺是不是有一些重要的細節被掩蓋住。一切順其自然吧。
不可否認，還是有某些惹人厭的數學家，完全無法容忍錯誤。我不屬於這類型。我是放任派的──偉大的藝術就是這樣產生的。因此，你剛開始寫出來的數學論證很可能是邏輯上的大災難。你可能相信事實就是如此，但其實不是。你的推理可能會漏洞百出。你會直接跳到結論。那好，就放膽做和跳吧。你必須討好的人只有你自己。相信我，你會在自己的推導過程中發現很多錯誤。可能你早上還自認是天才，到了中午就發現自己是白痴。我們全都做過這種蠢事。
問題的部分原因是，我們太在意是不是簡單、漂亮，因而一有漂亮的想法，就很想相信它是對的。又因為一心希望它為真，難免沒有再仔細檢視。這是「氮醉」的數學版。潛水的人看著眼前的奇景，會忘了回到海面調整呼吸。這麼說吧，邏輯是我們的空氣，審慎的推理是我們的呼吸方法。因此，不要忘記呼吸！
你和數學家之間的真正差別在於，數學家非常清楚在哪些情況下會自我蒙蔽，因此我們心存更多的疑慮，在邏輯嚴謹程度方面會堅守更高的標準。我們學會扮演魔鬼代言人。
每當我研究一個猜想，我總會樂於假設它可能是錯的，有時候我努力證明，其他時候則試著推翻，來證明自己錯了。偶爾我會發現一個反例，代表我確實被誤導了，需要再琢磨，或可能該捨棄這個猜想。不過有的時候，我試圖建構一個反例，卻不斷遇到同一個障礙，後來這個障礙竟成為最後做出證明的關鍵。重點是要保持開放的心態，不要讓自己的期望干擾你對真理的追求。
當然，儘管數學家對於邏輯清楚的要求可能相當挑剔，但從自己的經驗我們也會「嗅到」一個證明是不是有希望，如果願意的話，我們顯然可以補充必要的細節。數學是一種人類活動，而人類會犯錯，這是不爭的事實。大數學家都曾做出毫無意義的「證明」，你也免不了。（這也是與他人合作的好理由──他們可以針對你的疏忽之處提出反駁。）
重要的是踏進數學實在，做出一些新發現，樂在其中。對邏輯嚴謹度的渴望會隨著經驗增長，不用擔心。
那麼就出發吧，做出你的數學藝術品。用自己的理性和審美標準來評斷。你覺得滿意嗎？那太棒了！你是個陷入瓶頸的藝術家？那更好。歡迎來到叢林！
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