數學女孩秘密筆記：圓圓的三角函數篇
高中生必讀《數學女孩》系列大解析！三角函數與「圓」有關，透析圖形本質，掌握複雜公式！
活動訊息
內容簡介
高中生必讀《數學女孩》系列大解析！
三角函數不困難
高中數學老師忽略的細節
助你打通數學任督二脈
日本出版協會貢獻獎得主──結城浩！
三角形與圓形有不為人知的關係！
三角形→圓→螺旋，
透析圖形本質、釐清觀念！
平面座標→向量→函數，
融會貫通，掌握脈絡！
提問→算式→本質，
介紹「波利亞解題」，教你學習的方法！
數學女孩再次帶你深入數學，由淺入深
高中數學的瓶頸，輕鬆突破！
座標平面、圖形與向量，都是表示點的方法，
它們各自適合解什麼樣的題目呢？
利薩如圖形(Lissajous)有多巧妙？
sin的記憶方法是什麼？
函數、圖形、向量的關聯！
求圓周率的概略值，助你了解三角函數！
正九十六邊形的奧秘大公開！
米爾迦、蒂蒂、由梨，
攜手波利亞、阿基米德，
變換圖形、把玩公式，
讓數學幻化成青春的蝶影，
教人不得不迷戀、追求！
日本出版協會貢獻獎得主──結城浩，所出版「數學女孩」系列的數學讀物，用一群高中生的浪漫青春故事，結合詳細、有趣的數學辯論，講述費馬最後定理、哥德爾不完備定理、隨機演算法、伽羅瓦理論等主題。而數學女孩「秘密筆記」系列是作者集結網路上，讀者針對數學女孩系列提出的問題，整理成篇，以人物談話的方式，再次深入淺出地解說各數學概念。
本書為「圓圓的三角函數」篇，集中討論讀者對三角函數的疑惑，貫通座標平面、向量、矩陣、螺旋等觀念，切中要點，詳細說明，延伸補充，讓讀者從各個角度認識三角函數，掌握圖形與公式，融會貫通，不用死背便能學好數學。
名人推薦
前師範大學數學系教授兼主任 洪萬生 審訂
目錄
前言
序章
第1章 圓圓的三角形
1.1在圖書室
1.2直角三角形
1.3角的名稱
1.4頂點與邊的名稱
1.5關於sin
1.6sin的記憶方法
1.7關於cos
1.8拿掉限制
1.9sin曲線
●第1章的問題
第2章 來來回回的軌跡
2.1我的房間
2.2畫成圖案
2.3再往前一點會有什麼變化呢？
2.4往後一點又會有什麼變化呢？
2.5變成兩倍的話會有什麼變化呢？
2.6畫出各種圖形吧
●第2章的問題
第3章 繞世界一圈
3.1在圖書室
3.2向量
3.3向量的實數倍
3.4向量的加法
3.5旋轉
3.6點的旋轉
3.7利用座標
3.8我們的問題
3.9x軸上的點
3.10y軸上的點
●第3章的問題
第4章 算算看圓周率
4.1我的房間
4.2圓周率
4.3圓面積
4.4圓周率的計算方法
4.5半徑為10的圓
4.6半徑為50的圓
4.7求出更精準的圓周率
4.8用阿基米德的方法求出圓周率
4.9使用正96邊形的理由
4.10由內接正n邊形求出外接正n邊形
4.11內接正n邊形
4.12由內接正n邊形求出內接正2n邊形
4.13終於得到3.14
●第4章的問題
第5章 繞著圈子前進
5.1在圖書室
5.2和角定理
5.3從單位圓開始
5.4波利亞的提問
5.5解出問題的一部分
5.6回顧解題過程
5.7表示旋轉的公式
5.8矩陣
5.9旋轉公式
5.10新的觀點
●第5章的問題
尾聲
解答
獻給想要深入思考的你
後記
索引
序／導讀
【序章】
映照於瞳眸的圖。
雙眼所見的圖。
三角形是三角形，圓是圓。
這些圖，誰都看得見。
這些圖，誰都能分辨。
三角形是三角形，圓是圓——真是如此嗎？
去尋找雙眼無法捉摸的圖吧。
去尋找無法一眼看穿的圖吧。
尋找、尋找，尋找圓。
在九十六個角中，尋找圓。
睜大雙眼、睜大雙眼。
睜大雙眼，透析圖的本質。
去發現眼睛無法辨認的圖。
去探索虛幻圖形的本質。
從三角形開始，認識圓，
最後，理解螺旋。
從提問開始，切入算式，
最後，理解世界。
理解我們所生存的世界——表象之下的本質。
試閱
1.1 在圖書室
我是一個高二生。放學後，我一如往常前往圖書室，看見學妹蒂蒂正在筆記本上，寫下許多數學算式。
我：「蒂蒂，又在算數學嗎？」
蒂蒂：「啊，學長！是啊，因為學長教我很多東西，讓我覺得學數學變好玩了……」
我：「真是太好了。妳最近學什麼呢？」
蒂蒂：「嗯……最近在想三角函數的問題。」
我很喜歡數學，也很擅長，唸書一定先唸數學。以前蒂蒂不太擅長數學，不過和我討論幾次後，她愛上了數學。
我：「原來如此，例如sin和cos嗎？」
蒂蒂：「是啊……」
蒂蒂的臉色突然暗下來。
我：「怎麼了？」
蒂蒂：「因為……雖然聽學長說明很有趣……可是三角函數實在好難。」
我：「說的也是，不過，習慣就不會覺得難囉。」
蒂蒂：「三角函數這個名稱似乎和圖形有關，又好像沒有關係。
三角函數究竟是什麼呢？」
我：「這個問題很難用一句話回答呢──不如我們一起想想看吧！」
蒂蒂：「好，麻煩學長了！」
蒂蒂對我深深一鞠躬。
1.2 直角三角形
我：「我不曉得蒂蒂有多瞭解三角函數，所以我們從基礎開始討論吧？」
蒂蒂：「好的。」
我：「首先，請妳畫一個直角三角形。」
蒂蒂：「嗯……這樣嗎？」
我：「嗯，這看起來『很像』直角三角形。」
蒂蒂：「是啊……咦？這樣畫不對嗎？」
我：「畫直角三角形要明確標示『直角記號』，告訴別人『這裡是直角』，比較好喔。」
蒂蒂：「啊，你說的對。『這裡是直角』……我標好了。」
乖巧的蒂蒂立刻標上「直角記號」。
我：「沒錯，這樣就對了。標示『直角記號』能夠幫助理解！」
蒂蒂：「好，我明白！」
蒂蒂精神抖擻地回答，把重點寫進《秘密筆記》。蒂蒂只要學到、發現新事物都會記錄於這本筆記本。1.3 角的表示法
我：「首先，從基礎開始說明吧！三角形有三個角，而直角三角形有一個角是直角──角度為90°！」
蒂蒂：「是啊，有一個角是直角。」
我：「接著，我們看看另外兩個角的其中之一，把這個角表示為。」
蒂蒂：「（theta）……學長，這是希臘字母嗎？」
我：「是啊，一般都用希臘字母來代表角，但不一定要用希臘字母啦。」
蒂蒂：「原來如此。」
我：「數學常出現字母、符號、名稱等，很多人看到這些名詞便會退縮。」
蒂蒂：「啊……其實我不擅長應付有一大堆符號的題目。我想掌握這些符號，它們卻躲著我，讓我忍不住想叫它們『等等我』。」
我：「這樣啊……放心，符號不會一直躲妳啦。」
蒂蒂：「沒錯啦……」
我：「如果一堆符號讓妳覺得煩躁，可以放慢閱讀符號的速度。」
蒂蒂：「放慢閱讀的速度？」
我：「嗯，妳必須『別急著跳過熟悉的符號』。」
蒂蒂：「原來如此！我會努力和所有符號交『朋友』！」
蒂蒂滴溜溜的雙眼閃爍光芒，露出迷人的微笑。
1.4 頂點與邊的表示法
我：「既然提到角的表示法，順便講頂點和邊的表示法吧。以蒂蒂畫的三角形為例，頂點和邊可以如此表示……」
蒂蒂：「A、B、C是頂點吧？」
我：「沒錯，頂點通常以大寫字母表示，而且大多是英文字母，而非希臘字母。三個頂點依照A→B→C的順序，圍成三角形ABC，此順序通常是逆時針繞一圈，不過並非強制規定。」
蒂蒂：「嗯，我明白了。」
我：「如果圖形旁邊有記載文字，一定要『圖文對照閱讀』，這點很重要。」
蒂蒂：「圖文對照閱讀是什麼意思？」
我：「例如，圖的旁邊寫著『三角形ABC』，必須一個個確認頂點A、B、C在哪裡。」
蒂蒂：「我知道了，A在這裡，B在這裡，C在這裡！」
蒂蒂精神抖擻地「用手指確認」每個頂點位置。
我：「頂點和邊的命名方式有點不同。頂點通常以大寫字母表示，邊則以小寫字母表示。」
蒂蒂：「這樣啊……」
我：「與頂點相對的邊，其表示方法是，把頂點的英文大寫改成小寫。」
蒂蒂：「這樣嗎？頂點A和邊a……」
我：「沒錯，與頂點B相對的是邊b。」
蒂蒂：「與頂點C相對的是邊c！
我：「不過，不一定要用A、B、C來表示，用其他字母也可解數學題目，不會產生任何問題。只是在多數情況下，這種表示法比較方便。若題目沒有特別限制，通常會用A、B、C來表示。」
蒂蒂：「嗯，我明白。」
我是一個高二生。放學後，我一如往常前往圖書室，看見學妹蒂蒂正在筆記本上，寫下許多數學算式。
我：「蒂蒂，又在算數學嗎？」
蒂蒂：「啊，學長！是啊，因為學長教我很多東西，讓我覺得學數學變好玩了……」
我：「真是太好了。妳最近學什麼呢？」
蒂蒂：「嗯……最近在想三角函數的問題。」
我很喜歡數學，也很擅長，唸書一定先唸數學。以前蒂蒂不太擅長數學，不過和我討論幾次後，她愛上了數學。
我：「原來如此，例如sin和cos嗎？」
蒂蒂：「是啊……」
蒂蒂的臉色突然暗下來。
我：「怎麼了？」
蒂蒂：「因為……雖然聽學長說明很有趣……可是三角函數實在好難。」
我：「說的也是，不過，習慣就不會覺得難囉。」
蒂蒂：「三角函數這個名稱似乎和圖形有關，又好像沒有關係。
三角函數究竟是什麼呢？」
我：「這個問題很難用一句話回答呢──不如我們一起想想看吧！」
蒂蒂：「好，麻煩學長了！」
蒂蒂對我深深一鞠躬。
1.2 直角三角形
我：「我不曉得蒂蒂有多瞭解三角函數，所以我們從基礎開始討論吧？」
蒂蒂：「好的。」
我：「首先，請妳畫一個直角三角形。」
蒂蒂：「嗯……這樣嗎？」
我：「嗯，這看起來『很像』直角三角形。」
蒂蒂：「是啊……咦？這樣畫不對嗎？」
我：「畫直角三角形要明確標示『直角記號』，告訴別人『這裡是直角』，比較好喔。」
蒂蒂：「啊，你說的對。『這裡是直角』……我標好了。」
乖巧的蒂蒂立刻標上「直角記號」。
我：「沒錯，這樣就對了。標示『直角記號』能夠幫助理解！」
蒂蒂：「好，我明白！」
蒂蒂精神抖擻地回答，把重點寫進《秘密筆記》。蒂蒂只要學到、發現新事物都會記錄於這本筆記本。1.3 角的表示法
我：「首先，從基礎開始說明吧！三角形有三個角，而直角三角形有一個角是直角──角度為90°！」
蒂蒂：「是啊，有一個角是直角。」
我：「接著，我們看看另外兩個角的其中之一，把這個角表示為。」
蒂蒂：「（theta）……學長，這是希臘字母嗎？」
我：「是啊，一般都用希臘字母來代表角，但不一定要用希臘字母啦。」
蒂蒂：「原來如此。」
我：「數學常出現字母、符號、名稱等，很多人看到這些名詞便會退縮。」
蒂蒂：「啊……其實我不擅長應付有一大堆符號的題目。我想掌握這些符號，它們卻躲著我，讓我忍不住想叫它們『等等我』。」
我：「這樣啊……放心，符號不會一直躲妳啦。」
蒂蒂：「沒錯啦……」
我：「如果一堆符號讓妳覺得煩躁，可以放慢閱讀符號的速度。」
蒂蒂：「放慢閱讀的速度？」
我：「嗯，妳必須『別急著跳過熟悉的符號』。」
蒂蒂：「原來如此！我會努力和所有符號交『朋友』！」
蒂蒂滴溜溜的雙眼閃爍光芒，露出迷人的微笑。
1.4 頂點與邊的表示法
我：「既然提到角的表示法，順便講頂點和邊的表示法吧。以蒂蒂畫的三角形為例，頂點和邊可以如此表示……」
蒂蒂：「A、B、C是頂點吧？」
我：「沒錯，頂點通常以大寫字母表示，而且大多是英文字母，而非希臘字母。三個頂點依照A→B→C的順序，圍成三角形ABC，此順序通常是逆時針繞一圈，不過並非強制規定。」
蒂蒂：「嗯，我明白了。」
我：「如果圖形旁邊有記載文字，一定要『圖文對照閱讀』，這點很重要。」
蒂蒂：「圖文對照閱讀是什麼意思？」
我：「例如，圖的旁邊寫著『三角形ABC』，必須一個個確認頂點A、B、C在哪裡。」
蒂蒂：「我知道了，A在這裡，B在這裡，C在這裡！」
蒂蒂精神抖擻地「用手指確認」每個頂點位置。
我：「頂點和邊的命名方式有點不同。頂點通常以大寫字母表示，邊則以小寫字母表示。」
蒂蒂：「這樣啊……」
我：「與頂點相對的邊，其表示方法是，把頂點的英文大寫改成小寫。」
蒂蒂：「這樣嗎？頂點A和邊a……」
我：「沒錯，與頂點B相對的是邊b。」
蒂蒂：「與頂點C相對的是邊c！
我：「不過，不一定要用A、B、C來表示，用其他字母也可解數學題目，不會產生任何問題。只是在多數情況下，這種表示法比較方便。若題目沒有特別限制，通常會用A、B、C來表示。」
蒂蒂：「嗯，我明白。」
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