質數的音樂：數學史上最大謎題的追尋之旅（20週年紀念版）
活動訊息
全館滿$1,200送150點金幣，4月歡慶兒童節，童書、玩具、文具滿1000元再送200點金幣！
內容簡介
科普經典，終於迎來中文版！
質數，為什麼那麼迷人？黎曼假設又是什麼？一本難能可貴的經典數學書
科學大師Oliver Sacks、數學權威Keith Devlin大力推薦！
專業推薦
洪萬生 臺灣數學史教育學會榮譽理事長、臺灣師範大學數學系退休教授
游森棚 臺灣師範大學數學系教授
賴以威 臺灣師範大學電機系副教授、數感實驗室共同創辦人
質數，彷彿是宇宙深處傳來的神祕音樂，撥動著一代代數學家的心弦。本著追求知識與真理的精神，驅使著無數的數學家在看似雜亂無序的質數中尋找其內在規律。
1859年，德國數學家黎曼（Bernhard Riemann）提交給柏林科學院一篇論文，從此改變了數學界。論文的主題是關於質數的奧祕，然而在這篇論文中，黎曼透露了一個想法但還沒有去證明它——
那就是黎曼假設（Riemann Hypothesis），也是質數的未解之謎，被視為數學研究中的「聖母峰」，吸引了一代代數學家投身於數論的研究。然而，黎曼假設是否為真、如何證明，至今仍是一樁懸案。1900年希爾伯特提出的「23個問題」，以及2000年的千禧年大獎的7大難題（每個難題懸賞100萬美元）中，都有黎曼假設的一席之地。在黎曼假設這座「數學的聖杯」追尋之路上，留下了數學史上鼎鼎大名的人物的足跡。在試圖破解這一謎題的過程中的種種發現，深深影響到近代的電子商務（資訊安全）、量子物理、混沌理論與電腦科學的發展。
在本書中粉墨登場的數學家有：費馬、梅森、歐拉、高斯、柯西、狄利克雷、黎曼、希爾伯特、哈代、李托伍德、拉馬努金、哥德爾、圖靈、艾狄胥、塞爾伯格、孔因……陶哲軒……
在解決黎曼假設的過程中，數論、幾何學、邏輯、機率論、量子物理學……也連結在一起。這場追尋讓我們以全新的眼光理解數學。
作者以生動細膩的筆觸，將質數的故事娓娓道來。閱讀這本書就像是聆聽音樂一般，無須具備數學專業背景即可領略數學之美，還能深刻體會數學家的心路歷程、彼此間的情誼，以及追求數學、科學與真理的精神。
未來AI也會像人類一樣研究數學，但唯有人類，才懂得追尋知識過程中的痛苦與狂歡。
專業好評推薦：
從數學家持續關注的質數問題入手，杜‧索托伊創作出這樣一本引人入勝、令人津津樂道的作品。無論你是否了解數學，都能夠享受這本書帶來的閱讀盛宴。
——基斯‧德夫林（Keith Devlin），史丹佛大學數學家
非常好的一本書！我一開始讀就停不下來。杜‧索托伊帶領讀者踏上一段精彩絕倫的旅程，深入探索質數這個奇妙的世界。
——奧利佛．薩克斯（Oliver Sacks），英國腦神經學家、《錯把太太當帽子的人》作者
這本引人入勝的著作，破解了數學神殿中那難以捉摸的語言，其文字如同最純粹的詩歌一般動人。
——賽門．溫契斯特（Simon Winchester），《天才、瘋子、大字典家》（The Professor and the Madman）作者
這是一本精彩的作品，探討數學當中至今仍未解開的最大謎團之一。
——阿米爾．阿澤爾（Amir Aczel），《費馬最後定理》、《羅盤之謎》作者
出類拔萃……這本書能吸引原本對數學毫無興趣的讀者，投入數學這場充滿冒險的旅程。
——《書單》（Booklist，星級評論）
生動活潑的歷史敘述……數學迷不可錯過。
——《柯克斯書評》（Kirkus Reviews）
扣人心弦、充滿娛樂性且發人深省的一本書。杜‧索托伊無疑是一位傑出的說書人，帶領我們認識一群令人難忘的人物……即使你不懂數學，這本書依然迷人；而如果你能理解其中一部分內容，恐怕會忍不住拿起計算機，試著解開書中沿途出現的謎題。
——《星期日獨立報》（Independent on Sunday）
讀來令人愉悅、極具娛樂性……杜‧索托伊成功塑造了一群極富魅力的數學家，每一位都透過趣聞與精妙的評論被生動刻畫出來。
——《衛報》
杜‧索托伊將數學思想與歷史、軼事與個人故事巧妙交織，形成一種令人愉快的混合，使原本嚴肅的主題變得親切易讀……即使對數學過敏的讀者，也能享受他筆下的人物描寫。
——《泰晤士報》
一本引人入勝、平易近人的質數研究與黎曼假設發展史。
——《經濟學人》
充滿娛樂性……幾乎可以肯定會大獲成功。
——《自然》
質數，為什麼那麼迷人？黎曼假設又是什麼？一本難能可貴的經典數學書
科學大師Oliver Sacks、數學權威Keith Devlin大力推薦！
專業推薦
洪萬生 臺灣數學史教育學會榮譽理事長、臺灣師範大學數學系退休教授
游森棚 臺灣師範大學數學系教授
賴以威 臺灣師範大學電機系副教授、數感實驗室共同創辦人
質數，彷彿是宇宙深處傳來的神祕音樂，撥動著一代代數學家的心弦。本著追求知識與真理的精神，驅使著無數的數學家在看似雜亂無序的質數中尋找其內在規律。
1859年，德國數學家黎曼（Bernhard Riemann）提交給柏林科學院一篇論文，從此改變了數學界。論文的主題是關於質數的奧祕，然而在這篇論文中，黎曼透露了一個想法但還沒有去證明它——
那就是黎曼假設（Riemann Hypothesis），也是質數的未解之謎，被視為數學研究中的「聖母峰」，吸引了一代代數學家投身於數論的研究。然而，黎曼假設是否為真、如何證明，至今仍是一樁懸案。1900年希爾伯特提出的「23個問題」，以及2000年的千禧年大獎的7大難題（每個難題懸賞100萬美元）中，都有黎曼假設的一席之地。在黎曼假設這座「數學的聖杯」追尋之路上，留下了數學史上鼎鼎大名的人物的足跡。在試圖破解這一謎題的過程中的種種發現，深深影響到近代的電子商務（資訊安全）、量子物理、混沌理論與電腦科學的發展。
在本書中粉墨登場的數學家有：費馬、梅森、歐拉、高斯、柯西、狄利克雷、黎曼、希爾伯特、哈代、李托伍德、拉馬努金、哥德爾、圖靈、艾狄胥、塞爾伯格、孔因……陶哲軒……
在解決黎曼假設的過程中，數論、幾何學、邏輯、機率論、量子物理學……也連結在一起。這場追尋讓我們以全新的眼光理解數學。
作者以生動細膩的筆觸，將質數的故事娓娓道來。閱讀這本書就像是聆聽音樂一般，無須具備數學專業背景即可領略數學之美，還能深刻體會數學家的心路歷程、彼此間的情誼，以及追求數學、科學與真理的精神。
未來AI也會像人類一樣研究數學，但唯有人類，才懂得追尋知識過程中的痛苦與狂歡。
專業好評推薦：
從數學家持續關注的質數問題入手，杜‧索托伊創作出這樣一本引人入勝、令人津津樂道的作品。無論你是否了解數學，都能夠享受這本書帶來的閱讀盛宴。
——基斯‧德夫林（Keith Devlin），史丹佛大學數學家
非常好的一本書！我一開始讀就停不下來。杜‧索托伊帶領讀者踏上一段精彩絕倫的旅程，深入探索質數這個奇妙的世界。
——奧利佛．薩克斯（Oliver Sacks），英國腦神經學家、《錯把太太當帽子的人》作者
這本引人入勝的著作，破解了數學神殿中那難以捉摸的語言，其文字如同最純粹的詩歌一般動人。
——賽門．溫契斯特（Simon Winchester），《天才、瘋子、大字典家》（The Professor and the Madman）作者
這是一本精彩的作品，探討數學當中至今仍未解開的最大謎團之一。
——阿米爾．阿澤爾（Amir Aczel），《費馬最後定理》、《羅盤之謎》作者
出類拔萃……這本書能吸引原本對數學毫無興趣的讀者，投入數學這場充滿冒險的旅程。
——《書單》（Booklist，星級評論）
生動活潑的歷史敘述……數學迷不可錯過。
——《柯克斯書評》（Kirkus Reviews）
扣人心弦、充滿娛樂性且發人深省的一本書。杜‧索托伊無疑是一位傑出的說書人，帶領我們認識一群令人難忘的人物……即使你不懂數學，這本書依然迷人；而如果你能理解其中一部分內容，恐怕會忍不住拿起計算機，試著解開書中沿途出現的謎題。
——《星期日獨立報》（Independent on Sunday）
讀來令人愉悅、極具娛樂性……杜‧索托伊成功塑造了一群極富魅力的數學家，每一位都透過趣聞與精妙的評論被生動刻畫出來。
——《衛報》
杜‧索托伊將數學思想與歷史、軼事與個人故事巧妙交織，形成一種令人愉快的混合，使原本嚴肅的主題變得親切易讀……即使對數學過敏的讀者，也能享受他筆下的人物描寫。
——《泰晤士報》
一本引人入勝、平易近人的質數研究與黎曼假設發展史。
——《經濟學人》
充滿娛樂性……幾乎可以肯定會大獲成功。
——《自然》
目錄
序言 賽門．麥克伯尼
第1章 誰想變成百萬富翁？
第2章 算術的原子
第3章 黎曼的虛數鏡中奇遇
第4章 黎曼假設：從隨機的質數到井然有序的零點
第5章 數學接力賽：實現黎曼的革命
第6章 拉馬努金：數學奇人
第7章 數學大遷徙：從哥廷根到普林斯頓
第8章 由心智運作的機器
第9章 計算機時代：從人腦到電腦
第10章 破解大數與密碼
第11章 從有序的零點到量子混沌
第12章 最後一片拼圖
後記：20年來……
致謝（2003）
再版致謝（2023）
進階閱讀
第1章 誰想變成百萬富翁？
第2章 算術的原子
第3章 黎曼的虛數鏡中奇遇
第4章 黎曼假設：從隨機的質數到井然有序的零點
第5章 數學接力賽：實現黎曼的革命
第6章 拉馬努金：數學奇人
第7章 數學大遷徙：從哥廷根到普林斯頓
第8章 由心智運作的機器
第9章 計算機時代：從人腦到電腦
第10章 破解大數與密碼
第11章 從有序的零點到量子混沌
第12章 最後一片拼圖
後記：20年來……
致謝（2003）
再版致謝（2023）
進階閱讀
序／導讀
推薦序
分享有關黎曼猜想的動人故事
洪萬生（臺灣數學史教育學會榮譽理事長、臺灣師範大學數學系退休教授）
多年前，我閱讀本書2003年版的中譯簡體字版（書名《素數的音樂》），留下深刻的印象，儘管該版有些微的數學校對瑕疵。後來，還有幸觀賞本書作者馬庫斯．杜．索托伊（Marcus du Sautoy）為英國BBC製作主播的《數學的故事》（The Story of Maths），發現他始終盡其所能現身說法，進入「歷史現場」（譬如，從埃及的金字塔到中國的長城等等），述說數學的故事，從而熱情分享數學知識活動的價值與意義。
現在，在二十年之後，索托伊從臺灣讀者熟知的科普大師理查．道金斯（Richard Dawkins）手中，接下西蒙義公眾理解科學講座教授（Simonyi Professorship of the Public Understanding of Science）職位。這或許也可以解釋本書2023年版（「20週年紀念版」）的問世，的確充分見證了英國數學界如何利用民間資源，以促成前沿數學的公眾理解。事實上，莎拉．哈特（Sarah Hart）的經歷也不遑多讓。她的《從前從前有個質數》（中譯本貓頭鷹出版）也志在數學普及，那是她榮任格雷沙姆幾何學講座（Gresham Chair of Geometry, 任期2020-2022）的職責所在。那個科普講座創立於西元1597年都鐸王朝，是英國史上最古老的公民講座。
本書《質數的音樂》的「前沿數學」（frontier of mathematics）主題，是指涉及質數分布的「黎曼猜想」（Riemann Hypothesis，書中翻譯成「黎曼假設」）。此一猜想由黎曼（Riemann）於1859年提出，他猜測 ζ函數（ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s + ...，s = a + bi是複數）的「非平凡零點」（non-trivial zero）之實部都等於1/2。令人驚訝的是，出自黎曼十頁論文的這個函數，與質數有著極為深刻的聯繫。當ζ函數的變數從實數擴展到複平面時，它的行為與質數的分布密切相關。
如果此一猜想被證明為真，那麼，正如本書所提及的，這必將為質數的分布以及許多其他領域（甚至包括量子力學），提供深刻的洞見。不過，儘管許多傑出的數學家們努力了150多年，但黎曼猜想至今仍然未被攻克。它被認為是數學中最重要、尚未解決的問題之一。
不過，此一猜想的「源頭」卻可以回溯（連結）到西元前四世紀的歐幾里得（Euclid）。他的《幾何原本》命題IX.20就是運用簡單、但深刻的進路，告訴我們：「任置若干質數，質數必不盡於此。」（Prime numbers are more than any assigned multitude of prime numbers）。這個版本當然相當於「質數個數有無窮多個」。儘管後者是索托伊的解說版本，但他所訴諸的論證，卻是取自歐幾里得的經典手法。「歐幾里得不清楚如何具體產生出質數，但能證明為什麼質數取之不竭，用之不盡。」事實上，歐幾里得僅僅指出：「給他任何一個包含有限個質數的數列，他就可以製造出不在這個數列中的質數所產生的正整數。」
後來的故事，幾乎是由哥廷根大學的師徒高斯（Gauss）及黎曼所主導。譬如，根據本書第4章所進一步說明的「從隨機的質數到井然有序的零點」，黎曼的偉大洞識，顯然為數學家的追尋知識模式乃至結構關聯，重建了信心。不過，傑出數學家對於此一猜想的解決倒是頗為樂觀。以哥廷根的希爾伯特（Hilbert）為例，他在西元1919年公開演講時，提及他相信有生之年，可以樂觀期待黎曼猜想獲得解決，同時，或許這場演講廳的年輕聽講者，也會看到費馬最後定理的解。現在，後者已經解決（西元1994年，英國數學家懷爾斯〔Andrew Wiles〕成功證明此一命題），至於黎曼猜想呢，看起來希爾伯特大師預測失準了。
儘管如此，索托伊在本書中，為追尋質數分布的數學家所羅列的「英雄榜」，氣勢磅礡，相當令人動容。其中，除了數學界的強棒接力賽之外，更是涉及質數的密碼用途，計算機的使用，乃至於有序的「ζ函數零點」及「量子混沌」之連結。至於索托伊將拉馬努金（Ramanujan）這位「數學奇人」的數學知識活動風貌，單獨成立一章（本書第6章）敘事，或許意在凸顯數學知識活動的多元面向吧。
由於黎曼ζ函數在解析數論（analytic number theory）等學科中，扮演樞紐的角色，因此，本書憑藉解析數論來敘說黎曼猜想的故事，尤其是如何發現模式來規範質數的分布，的確是絕佳的切入點。此外，在本書中，索托伊戮力證明：「數論、幾何學、邏輯、機率論、量子物理學 …… 都在我們尋找黎曼假設的過程中彼此連結在一起」。因此，這場追尋之旅讓我們得以運用全新的視角理解數學。「我們驚嘆於數學非凡的相互連結。數學已經從『模式的科學』轉變成『關聯的科學』。」
總之，本書以其內容多元紮實，敘事流暢，乃至於論述全面，非常值得我們大力推薦。作者索托伊是一位絕佳的「數學說書人」，尤其他從容出入相關的數學中心（從哥廷根、巴黎到普林斯頓等等）的歷史脈絡，讓數學知識活動的豐富面貌，有了更加真實的依托。至於質數之音樂面向，以及黎曼猜想所促成的數學與物理的再度連結，由於篇幅所限，只好暫時從略了。
序言
「時值初夏。森林一片寧靜。寂然無聲。細尖的振動聲響漸漸堆疊，化作一整片持續不散的唧唧聲。喧囂愈來愈響亮，逼得人幾乎無法思考。數百萬隻蟬同時奮翅，凱旋般地飛進空中，宛如一朵雲騰空而起，然後轉向，湧向周圍的鄉村。牠們等待這一刻已經等了17年。一個質數。只能被自己和1整除。這個數，這個深深烙印在自然界中的質數，是牠們的生存關鍵。每隔13或17年出土一次，以智慧勝過天敵，讓自己的生存機會提高到最大。如果牠們每10年出土一次，就會成為生命週期1年、2年、5年或10年的天敵的獵物。要是牠們每12年出現一次，就會是生命週期為1、2、3、4、6或12年的任何一種掠食者的美味大餐。17年呢？只有1和17⋯⋯」
我不確定馬庫斯‧杜‧索托伊是不是這麼說的，但意思大致是如此。他站在北倫敦的一間排練室裡，我們的目光都落在他身上，演員，舞臺設計，戲場創作者都在場。我邀請他加入，跟我們一起創作《消失的數字》（A Disappearing Number），一部關於數學，也關於失去的作品，戲中包含了哈代和拉馬努金之間不平凡的謎樣浪漫故事。我們聽得目瞪口呆。
「我的老天，這些鬼蟬怎麼會懂什麼質數啦？」
「就是說嘛，怎麼可能?!太可笑了⋯⋯」
馬庫斯大笑起來，把頭歪向一邊⋯⋯「大概是天擇的結果吧，但確實是謎團。」
馬庫斯喜歡神祕的事物，還有故事，也愛看戲，所以他才答應來到我們的排練室。現在我在我們位於英格蘭西部偏僻山谷旁的小屋，邊寫邊回想起這段往事。我望著窗外，花園盡頭有一棵優雅的老梣樹，枝繁葉茂，我們給了她性別。她的枝椏形態令人迷惑，非常神祕。我和女兒一遍又一遍把她畫下來，每次都會畫出不同的輪廓，然後嘲笑這個想把她的神祕樣態描摹下來的不可能任務。但她有形貌，而且也能預測。我們靠她衡量自己。夏天我們坐在她的樹蔭下，此時正值冬天，從她的光禿枝幹間看得到後方的山谷深處。她的自信，她的存在，還有她拒絕吐露祕密的姿態，令人覺得很療癒。
馬庫斯多年前在排練室裡告訴我們：「在中國，數字有性別之分——對他們來說，數字有不同的性格。他們認為質數很陽剛，或許是因為質數不能再拆解，只能做他們自己⋯⋯」
「那是什麼時候的事？」
「噢，大概是公元前1000年左右。」
身為劇場創作者、說故事的人，我們不但要想辦法講出兩位數學奇才的生平，還想看看數學本身能不能找到戲劇形式。那些定理、證明和概念，有沒有可能成為⋯⋯一則故事，一段敘事？為了找出答案，我們即興表演出方程式。我們在空間裡甩動身體，彼此盤問，去想像我們在做的動作代表什麼數字。馬庫斯站在一旁，全神貫注，充滿好奇，而且不斷拋出建議和質問，所以我們能夠接觸到廣博、豐富的知識寶庫。就像這本書。《質數的音樂》。
我在學校裡和數學的關係，讓我的心得跟哲學家狄德羅的結論一樣。18世紀時，狄德羅曾在聖彼得堡遇見大數學家歐拉。據傳狄德羅曾說數學「在人與自然之間拉起一層面紗」。我年少時覺得，數學不但很難懂，還似乎把我和自己熟悉的實體世界隔開了。但三十年後，我站在一個房間裡，試著和一個我大半輩子完全不會去碰的主題建立關係。為了準備這齣戲，我買了《質數的音樂》，懷著忐忑不安的心情翻開書，目光落在一個數學公式上，我立刻陷入驚慌，就像小時候在數學課看到公式的那種驚慌感。
但我一開始往下讀，就像被帶入一片故事森林，林間的灌木叢和腐葉土彷彿都是歷史上和史前時期的人物和事件。到處是謎團，還有新發現。例如在赤道非洲中部挖掘到、至少有6,500年歷史的伊尚戈骨，上面的刻痕數竟是10到20之間所有的質數：先是11條刻痕，再來是13條，接著是17和19。為什麼？令人費解。刻下那些刻痕的數學家，究竟知道了什麼？
在排練室裡，飾演哈代的演員念出這些話，哈代的這些話出自他在1940年、步入晚年時所寫的《一個數學家的辯白》。演員穿著打板球的白色球衣。板球和球賽的得分、統計紀錄與戰術，是哈代非常著迷的東西。我們都想扮演他。充滿冷幽默，才氣過人，壓抑的欲望；魅力十足的一號人物。就像馬庫斯在描述這段尋找這些偉大質數「模式」的歷程時，為我們勾勒出的那些人物一樣。比方說熱情洋溢、幽默風趣的義大利數學家邦比耶里，他在愚人節那天針對解開這個謎團所開的玩笑，正是這本書的開場白。古怪的高斯、好爭論的哥德爾、埃拉托斯特尼和他的篩子、不按牌理出牌的費曼、歐拉、李托伍德、拉馬努金、凱薩琳大帝、16歲的莎拉．夫蘭納里、為了獲得認真對待而不得不女扮男裝的熱爾曼⋯⋯馬庫斯以簡練靈活的方式介紹了每個人物，描繪出他們的特質。他讓他們躍然紙上，就像我女兒用炭筆勾勒出我家花園盡頭那棵老梣樹難以捉摸的枝幹形態一樣熟練。
《質數的音樂》當中帶有一種殷勤好客的氣息。我們受邀進入一片陌生的複雜數學領域，但很快就感到賓至如歸。每一個數學概念即使以完整的形式呈現，你也不必理解它的深層意義。你會自然而然地接受這些概念存在，有形形色色的人物陪伴在你身邊，有男有女，有生者也有逝者，他們和我們所有人一樣，都在追尋世界裡的意義模式。像希爾伯特這樣的尋覓者，在20世紀之初提出了一組數學問題，「作為在這個新世紀裡要解決的挑戰」。許多問題在隨後幾年解決了，但其中一個問題是黎曼假設，一個關於質數出現頻率和模式的假設。問題要問的是⋯⋯能不能證明？
在尋找質數出現模式的證明時，其他的問題浮現了。為什麼它們會落在一條「音樂線」上？這條線可以幫我們看出模式嗎？或者（這只是我的幻想）它是某種聽得見而非看得到的東西？這個問題依然懸而未決，而這就是那個故事。那個道出了一群最偉大的數學家獻身解決一個始終不肯吐露祕密的問題的故事。
哈代在《一個數學家的辯白》的開頭寫道：「對於職業數學家來說，發覺自己動筆談論數學，是一種令人傷感的經驗。數學家的職責是做出進展，證明出新的定理，做出數學貢獻，而不是談論他自己或其他數學家做過了什麼。」
但這本精采的書讓我們看到，事情未必如此。它不單單是在記述不斷追尋某個定理的證明的努力，儘管這種追尋會像火車一樣推著我們前進。不只如此，它也是個值得造訪的地方，涵蓋內容豐富多彩，描繪生動清晰，讓你能夠看到數學現實與真實世界密不可分的關係。它就在我們周圍，無所不在。它讓我撕下想像中隔在自然與數學之間的「面紗」，協助我開始理解哈代闡述的觀點，包括「數學家如同畫家或詩人，是模式的創造者⋯⋯」，而了解數學真理的唯一最終標準是它的美：「醜陋的數學在世界上沒有容身之地。」質數之謎及質數的出現模式，至今仍難以破解，這反倒是很療癒的一件事。就像花園盡頭的那棵梣樹一樣，我們永遠沒辦法完全理解它，它像質數一樣站在那裡，展現出難以理解的美；而馬庫斯．杜．索托伊憑著一股不可抗拒、極具感染力的熱情揭露這一點，喚起的不是憂鬱，而是喜悅、驚嘆和純然的快樂。
賽門．麥克伯尼（Simon McBurney）
2023年1月於英國格洛斯特郡史拉村（Slad）
分享有關黎曼猜想的動人故事
洪萬生（臺灣數學史教育學會榮譽理事長、臺灣師範大學數學系退休教授）
多年前，我閱讀本書2003年版的中譯簡體字版（書名《素數的音樂》），留下深刻的印象，儘管該版有些微的數學校對瑕疵。後來，還有幸觀賞本書作者馬庫斯．杜．索托伊（Marcus du Sautoy）為英國BBC製作主播的《數學的故事》（The Story of Maths），發現他始終盡其所能現身說法，進入「歷史現場」（譬如，從埃及的金字塔到中國的長城等等），述說數學的故事，從而熱情分享數學知識活動的價值與意義。
現在，在二十年之後，索托伊從臺灣讀者熟知的科普大師理查．道金斯（Richard Dawkins）手中，接下西蒙義公眾理解科學講座教授（Simonyi Professorship of the Public Understanding of Science）職位。這或許也可以解釋本書2023年版（「20週年紀念版」）的問世，的確充分見證了英國數學界如何利用民間資源，以促成前沿數學的公眾理解。事實上，莎拉．哈特（Sarah Hart）的經歷也不遑多讓。她的《從前從前有個質數》（中譯本貓頭鷹出版）也志在數學普及，那是她榮任格雷沙姆幾何學講座（Gresham Chair of Geometry, 任期2020-2022）的職責所在。那個科普講座創立於西元1597年都鐸王朝，是英國史上最古老的公民講座。
本書《質數的音樂》的「前沿數學」（frontier of mathematics）主題，是指涉及質數分布的「黎曼猜想」（Riemann Hypothesis，書中翻譯成「黎曼假設」）。此一猜想由黎曼（Riemann）於1859年提出，他猜測 ζ函數（ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s + ...，s = a + bi是複數）的「非平凡零點」（non-trivial zero）之實部都等於1/2。令人驚訝的是，出自黎曼十頁論文的這個函數，與質數有著極為深刻的聯繫。當ζ函數的變數從實數擴展到複平面時，它的行為與質數的分布密切相關。
如果此一猜想被證明為真，那麼，正如本書所提及的，這必將為質數的分布以及許多其他領域（甚至包括量子力學），提供深刻的洞見。不過，儘管許多傑出的數學家們努力了150多年，但黎曼猜想至今仍然未被攻克。它被認為是數學中最重要、尚未解決的問題之一。
不過，此一猜想的「源頭」卻可以回溯（連結）到西元前四世紀的歐幾里得（Euclid）。他的《幾何原本》命題IX.20就是運用簡單、但深刻的進路，告訴我們：「任置若干質數，質數必不盡於此。」（Prime numbers are more than any assigned multitude of prime numbers）。這個版本當然相當於「質數個數有無窮多個」。儘管後者是索托伊的解說版本，但他所訴諸的論證，卻是取自歐幾里得的經典手法。「歐幾里得不清楚如何具體產生出質數，但能證明為什麼質數取之不竭，用之不盡。」事實上，歐幾里得僅僅指出：「給他任何一個包含有限個質數的數列，他就可以製造出不在這個數列中的質數所產生的正整數。」
後來的故事，幾乎是由哥廷根大學的師徒高斯（Gauss）及黎曼所主導。譬如，根據本書第4章所進一步說明的「從隨機的質數到井然有序的零點」，黎曼的偉大洞識，顯然為數學家的追尋知識模式乃至結構關聯，重建了信心。不過，傑出數學家對於此一猜想的解決倒是頗為樂觀。以哥廷根的希爾伯特（Hilbert）為例，他在西元1919年公開演講時，提及他相信有生之年，可以樂觀期待黎曼猜想獲得解決，同時，或許這場演講廳的年輕聽講者，也會看到費馬最後定理的解。現在，後者已經解決（西元1994年，英國數學家懷爾斯〔Andrew Wiles〕成功證明此一命題），至於黎曼猜想呢，看起來希爾伯特大師預測失準了。
儘管如此，索托伊在本書中，為追尋質數分布的數學家所羅列的「英雄榜」，氣勢磅礡，相當令人動容。其中，除了數學界的強棒接力賽之外，更是涉及質數的密碼用途，計算機的使用，乃至於有序的「ζ函數零點」及「量子混沌」之連結。至於索托伊將拉馬努金（Ramanujan）這位「數學奇人」的數學知識活動風貌，單獨成立一章（本書第6章）敘事，或許意在凸顯數學知識活動的多元面向吧。
由於黎曼ζ函數在解析數論（analytic number theory）等學科中，扮演樞紐的角色，因此，本書憑藉解析數論來敘說黎曼猜想的故事，尤其是如何發現模式來規範質數的分布，的確是絕佳的切入點。此外，在本書中，索托伊戮力證明：「數論、幾何學、邏輯、機率論、量子物理學 …… 都在我們尋找黎曼假設的過程中彼此連結在一起」。因此，這場追尋之旅讓我們得以運用全新的視角理解數學。「我們驚嘆於數學非凡的相互連結。數學已經從『模式的科學』轉變成『關聯的科學』。」
總之，本書以其內容多元紮實，敘事流暢，乃至於論述全面，非常值得我們大力推薦。作者索托伊是一位絕佳的「數學說書人」，尤其他從容出入相關的數學中心（從哥廷根、巴黎到普林斯頓等等）的歷史脈絡，讓數學知識活動的豐富面貌，有了更加真實的依托。至於質數之音樂面向，以及黎曼猜想所促成的數學與物理的再度連結，由於篇幅所限，只好暫時從略了。
序言
「時值初夏。森林一片寧靜。寂然無聲。細尖的振動聲響漸漸堆疊，化作一整片持續不散的唧唧聲。喧囂愈來愈響亮，逼得人幾乎無法思考。數百萬隻蟬同時奮翅，凱旋般地飛進空中，宛如一朵雲騰空而起，然後轉向，湧向周圍的鄉村。牠們等待這一刻已經等了17年。一個質數。只能被自己和1整除。這個數，這個深深烙印在自然界中的質數，是牠們的生存關鍵。每隔13或17年出土一次，以智慧勝過天敵，讓自己的生存機會提高到最大。如果牠們每10年出土一次，就會成為生命週期1年、2年、5年或10年的天敵的獵物。要是牠們每12年出現一次，就會是生命週期為1、2、3、4、6或12年的任何一種掠食者的美味大餐。17年呢？只有1和17⋯⋯」
我不確定馬庫斯‧杜‧索托伊是不是這麼說的，但意思大致是如此。他站在北倫敦的一間排練室裡，我們的目光都落在他身上，演員，舞臺設計，戲場創作者都在場。我邀請他加入，跟我們一起創作《消失的數字》（A Disappearing Number），一部關於數學，也關於失去的作品，戲中包含了哈代和拉馬努金之間不平凡的謎樣浪漫故事。我們聽得目瞪口呆。
「我的老天，這些鬼蟬怎麼會懂什麼質數啦？」
「就是說嘛，怎麼可能?!太可笑了⋯⋯」
馬庫斯大笑起來，把頭歪向一邊⋯⋯「大概是天擇的結果吧，但確實是謎團。」
馬庫斯喜歡神祕的事物，還有故事，也愛看戲，所以他才答應來到我們的排練室。現在我在我們位於英格蘭西部偏僻山谷旁的小屋，邊寫邊回想起這段往事。我望著窗外，花園盡頭有一棵優雅的老梣樹，枝繁葉茂，我們給了她性別。她的枝椏形態令人迷惑，非常神祕。我和女兒一遍又一遍把她畫下來，每次都會畫出不同的輪廓，然後嘲笑這個想把她的神祕樣態描摹下來的不可能任務。但她有形貌，而且也能預測。我們靠她衡量自己。夏天我們坐在她的樹蔭下，此時正值冬天，從她的光禿枝幹間看得到後方的山谷深處。她的自信，她的存在，還有她拒絕吐露祕密的姿態，令人覺得很療癒。
馬庫斯多年前在排練室裡告訴我們：「在中國，數字有性別之分——對他們來說，數字有不同的性格。他們認為質數很陽剛，或許是因為質數不能再拆解，只能做他們自己⋯⋯」
「那是什麼時候的事？」
「噢，大概是公元前1000年左右。」
身為劇場創作者、說故事的人，我們不但要想辦法講出兩位數學奇才的生平，還想看看數學本身能不能找到戲劇形式。那些定理、證明和概念，有沒有可能成為⋯⋯一則故事，一段敘事？為了找出答案，我們即興表演出方程式。我們在空間裡甩動身體，彼此盤問，去想像我們在做的動作代表什麼數字。馬庫斯站在一旁，全神貫注，充滿好奇，而且不斷拋出建議和質問，所以我們能夠接觸到廣博、豐富的知識寶庫。就像這本書。《質數的音樂》。
我在學校裡和數學的關係，讓我的心得跟哲學家狄德羅的結論一樣。18世紀時，狄德羅曾在聖彼得堡遇見大數學家歐拉。據傳狄德羅曾說數學「在人與自然之間拉起一層面紗」。我年少時覺得，數學不但很難懂，還似乎把我和自己熟悉的實體世界隔開了。但三十年後，我站在一個房間裡，試著和一個我大半輩子完全不會去碰的主題建立關係。為了準備這齣戲，我買了《質數的音樂》，懷著忐忑不安的心情翻開書，目光落在一個數學公式上，我立刻陷入驚慌，就像小時候在數學課看到公式的那種驚慌感。
但我一開始往下讀，就像被帶入一片故事森林，林間的灌木叢和腐葉土彷彿都是歷史上和史前時期的人物和事件。到處是謎團，還有新發現。例如在赤道非洲中部挖掘到、至少有6,500年歷史的伊尚戈骨，上面的刻痕數竟是10到20之間所有的質數：先是11條刻痕，再來是13條，接著是17和19。為什麼？令人費解。刻下那些刻痕的數學家，究竟知道了什麼？
在排練室裡，飾演哈代的演員念出這些話，哈代的這些話出自他在1940年、步入晚年時所寫的《一個數學家的辯白》。演員穿著打板球的白色球衣。板球和球賽的得分、統計紀錄與戰術，是哈代非常著迷的東西。我們都想扮演他。充滿冷幽默，才氣過人，壓抑的欲望；魅力十足的一號人物。就像馬庫斯在描述這段尋找這些偉大質數「模式」的歷程時，為我們勾勒出的那些人物一樣。比方說熱情洋溢、幽默風趣的義大利數學家邦比耶里，他在愚人節那天針對解開這個謎團所開的玩笑，正是這本書的開場白。古怪的高斯、好爭論的哥德爾、埃拉托斯特尼和他的篩子、不按牌理出牌的費曼、歐拉、李托伍德、拉馬努金、凱薩琳大帝、16歲的莎拉．夫蘭納里、為了獲得認真對待而不得不女扮男裝的熱爾曼⋯⋯馬庫斯以簡練靈活的方式介紹了每個人物，描繪出他們的特質。他讓他們躍然紙上，就像我女兒用炭筆勾勒出我家花園盡頭那棵老梣樹難以捉摸的枝幹形態一樣熟練。
《質數的音樂》當中帶有一種殷勤好客的氣息。我們受邀進入一片陌生的複雜數學領域，但很快就感到賓至如歸。每一個數學概念即使以完整的形式呈現，你也不必理解它的深層意義。你會自然而然地接受這些概念存在，有形形色色的人物陪伴在你身邊，有男有女，有生者也有逝者，他們和我們所有人一樣，都在追尋世界裡的意義模式。像希爾伯特這樣的尋覓者，在20世紀之初提出了一組數學問題，「作為在這個新世紀裡要解決的挑戰」。許多問題在隨後幾年解決了，但其中一個問題是黎曼假設，一個關於質數出現頻率和模式的假設。問題要問的是⋯⋯能不能證明？
在尋找質數出現模式的證明時，其他的問題浮現了。為什麼它們會落在一條「音樂線」上？這條線可以幫我們看出模式嗎？或者（這只是我的幻想）它是某種聽得見而非看得到的東西？這個問題依然懸而未決，而這就是那個故事。那個道出了一群最偉大的數學家獻身解決一個始終不肯吐露祕密的問題的故事。
哈代在《一個數學家的辯白》的開頭寫道：「對於職業數學家來說，發覺自己動筆談論數學，是一種令人傷感的經驗。數學家的職責是做出進展，證明出新的定理，做出數學貢獻，而不是談論他自己或其他數學家做過了什麼。」
但這本精采的書讓我們看到，事情未必如此。它不單單是在記述不斷追尋某個定理的證明的努力，儘管這種追尋會像火車一樣推著我們前進。不只如此，它也是個值得造訪的地方，涵蓋內容豐富多彩，描繪生動清晰，讓你能夠看到數學現實與真實世界密不可分的關係。它就在我們周圍，無所不在。它讓我撕下想像中隔在自然與數學之間的「面紗」，協助我開始理解哈代闡述的觀點，包括「數學家如同畫家或詩人，是模式的創造者⋯⋯」，而了解數學真理的唯一最終標準是它的美：「醜陋的數學在世界上沒有容身之地。」質數之謎及質數的出現模式，至今仍難以破解，這反倒是很療癒的一件事。就像花園盡頭的那棵梣樹一樣，我們永遠沒辦法完全理解它，它像質數一樣站在那裡，展現出難以理解的美；而馬庫斯．杜．索托伊憑著一股不可抗拒、極具感染力的熱情揭露這一點，喚起的不是憂鬱，而是喜悅、驚嘆和純然的快樂。
賽門．麥克伯尼（Simon McBurney）
2023年1月於英國格洛斯特郡史拉村（Slad）
試閱
質數就像算術的原子，無法再寫成更小的數的乘積。13和17是質數，而15不是質數，因為15可以寫成3乘5。質數是歷來數學家探究由數所組成的無垠宇宙中的瑰寶。對於數學家來說，它們帶來一種驚喜感：2、3、5、7、11、13、17、19、23、⋯⋯這些永恆之數，存在於某個不屬於我們這個物質世界的世界裡。它們是自然界送給數學家的禮物。
質數對於數學的重要性，來自它們建構出其他所有整數的威力。所有的非質數都能從這些基本的質數相乘出來，正如物質世界中的每個分子都可由化學元素週期表中的原子建構而成。質數的數列就像數學家的元素週期表，2、3、5這些質數分別是數學家實驗室裡的氫、氦、鋰。掌握了這些基本要素，數學家就有希望找到新的方法，制定出一條穿越錯綜複雜數學世界的路。
儘管質數看似簡單又根本，但依然神祕難解。質數為這個專門尋找模式與秩序的學科，提供了終極挑戰。看看一串質數，你會發現，根本不可能預測下一個質數何時會出現。這串整數看上去很紊亂隨機，完全沒有提示你怎麼找下一個數。質數序列宛如數學的心跳，但它的脈搏是由強效咖啡因雞尾酒傳送的：
能不能找出一個產生這個數列的公式，讓我們知道下一個質數在哪裡？這個問題一直糾纏著數學家。儘管努力了兩千多年，質數似乎不讓任何人歸納出簡單明瞭的模式，世世代代只能坐著聆聽質數的鼓聲敲打著數列的節奏：2拍，接著是3拍、5拍、7拍、11拍。隨著節拍繼續下去，我們很容易相信那是隨機的白雜訊（white noise），沒有絲毫的內部邏輯。在尋求秩序的數學核心，數學家們只能聽到混沌的聲音。
數學家無法容忍的是，他們竟然要承認自然界選出質數的方式可能無從解釋。如果沒有了結構，沒有漂亮的單純性，數學或許真的不值得研究。聽白雜訊向來就不能當成什麼有趣的消遣活動。正如法國數學家龐加萊所寫的：「科學家研究自然界，不是因為它有用；研究自然界是因為喜歡它，是因為它很美所以喜歡。如果自然界不美，就不值得去了解，而如果自然界不值得了解，生命也就不值得一活。」
數學家也許期盼，質數的心跳在最初的急遽跳動之後能平靜下來，但事與願違—愈往後數，情況看起來就愈糟。我們來看看1000萬前後一百個數當中的質數。首先是1000萬以下的：
9,999,901, 9,999,907, 9,999,929, 9,999,931, 9,999,937,
9,999,943, 9,999,971, 9,999,973, 9,999,991
現在再看看1000萬以上的一百個數中有多少：
10,000,019, 10,000,079
實在很難猜到有哪個公式可以產生出這種模式。事實上，這個質數序列更像隨機的數列，而不像井然有序的模式。你不會因為知道前面99次擲硬幣的結果就猜得到第100次擲出正面還是反面，質數看起來好像也無從預測。
因此，質數讓數學家們感到芒刺在背。一方面，一個數只有兩種情況，要麼是質數，要麼不是。丟硬幣不會讓一個數突然可以被某個比它小的數整除。其二，我們不能否認，這串質數看上去就像是隨機選出的數列。物理學家已漸漸習慣了以下這個觀念：量子骰子會決定宇宙的命運，每次擲骰子都會隨機決定科學家將在什麼地方發現物質。但有點尷尬的是，我們必須承認這些支撐著數學的基本整數，看似是自然界以丟硬幣的方式安排的，每次丟硬幣都是在決定每個數的命運。隨機性和混沌對於數學家是一種詛咒。
儘管有隨機性，質數還是比數學傳統的其他部分更具有永恆、普遍的特性。不論我們是否演進到足以辨認出質數，這些數都會存在。就像劍橋大學數學家哈代（G. H. Hardy）在他的名作《一個數學家的辯白》（A Mathematician’s Apology）中說的：「317之所以是質數，不是因為我們這麼認為，也不是因為我們的思維方式決定了它，而是因為它本來就如此，因為數學現實就是這樣建構的。」
在薩根的經典小說《接觸未來》中，外星人利用質數跟地球上的生命聯繫。女主角艾麗在執行搜尋地外文明（SETI）計畫，探聽來自宇宙的聲響。某天晚上電波望遠鏡對準織女星時，在背景雜訊中突然接收到奇怪的脈波。艾麗馬上就認出這個無線電訊號中的擊鼓聲：先是兩個脈波，接著停頓了一下，然後是3個脈波、5個、7個、11個，一直到907個，全都是質數。接著又從頭開始。
這來自宇宙的鼓聲，是地球人不可能認不出來的音樂。艾麗深信，只有高智慧生命才能奏出這種節拍：「很難想像，像這樣的規律數學訊號會是輻射電漿發送出來的。那些質數就是要引起我們注意。」倘若外星文化傳送的是過去十年的外星樂透中獎號碼，艾麗就不可能從背景雜訊中分辨出來。儘管質數序列看上去像樂透中獎號碼一樣的隨機，但它的普遍性和恆常性，讓外星人在廣播中選取了這些數字。艾麗認出的這個結構，是高智慧生命的標誌。
利用質數來溝通，不僅僅是科幻小說的情節。奧利佛．薩克斯在他的《錯把太太當帽子的人》書中記錄了26歲的雙胞胎兄弟約翰和麥可，他們最深奧的溝通形式是輪流講出六位數的質數。薩克斯談到他第一次發現他們偷偷在房間角落輪流說出質數時的情景：「他們一開始看起來好像兩個鑑賞家在品酒，分享難得嚐到的味道和稀有的品味。」一開始，薩克斯搞不懂這對雙胞胎在做什麼，但當他一破解他們的密碼，他就去找一些八位數的質數把它們背熟了，在他們下次見面時偷偷把這些數安插進交談中。雙胞胎先是驚訝，隨後非常專注，在聽出另一個質數的時候雀躍不已。薩克斯是從質數表上找他要記住的質數，但這對雙胞胎說出的質數是從哪裡來的，就很令人想不透。這些患有自閉症的天才難道掌握了什麼祕密公式，世世代代數學家卻都沒注意到嗎？
這對雙胞胎的故事是邦比耶里最喜歡的故事。
聽到這個故事，我很難不對大腦的運作方式肅然起敬，但我想知道：我那些非數學背景的朋友也會有同樣的反應嗎？他們是否知道這對雙胞胎的天生異稟有多麼奇特、不同凡響、甚至超越凡俗？他們是否知道，數學家千古以來都在拚命尋找一種方法，去做約翰和麥可自然而然就能做到的事：產生並辨識質數？
在眾人還沒弄清楚雙胞胎是怎麼做到的之前，他們在37歲時就被醫生分開了，醫生認為，他們私底下的數字算命語言會阻礙他們的發展。要是這些醫生聽到那種在大學數學系公共休息室的晦澀對話，大概也會建議關閉這些休息室。
這對雙胞胎很可能運用了一個根據「費馬小定理」而來的技巧，來檢驗一個數是不是質數。這對自閉症天才雙胞胎在上電視節目時經常表演的一項技藝，就是很快地說出1922年4月13日是星期四之類的，他們用來判定星期幾的方法就跟檢驗質數的技巧類似：兩個技巧都要靠模算術（modular arithmetic，有時稱為時鐘算術）。即使沒有給出質數的魔術公式，他們的技能依然特異非凡。在兩人分隔兩地之前，他們輪流講出的質數已達到20位數，遠超出薩克斯的質數表上限。
就像薩根筆下聆聽宇宙質數節拍的女主角和偷聽雙胞胎玩質數遊戲的薩克斯，歷來的數學家一直拚命想從這種雜訊中聽出一點秩序，但就像西方人的耳朵聽東方音樂一樣，似乎怎麼聽都聽不出個所以然。到了19世紀中葉，總算出現重大突破，伯恩哈德．黎曼（Bernhard Riemann）開始用全新的角度思索這個問題。從這個新的觀點，他開始稍微理解是什麼模式導致質數的雜亂無章。在質數雜訊的表象底下，有隱微又出乎意料的和諧之聲。儘管向前邁了一大步，這首新樂曲仍然隱藏了許多祕密不讓人聽見。黎曼這位「數學界的華格納」，無畏無懼，對自己發現的神祕樂曲做出大膽的預言。這個預言，後來就被稱為黎曼假設。不管是誰證明出黎曼對這種音樂的本質的直覺是對的，這個人都必須解釋為何質數會有如此明顯的隨機表象。
黎曼的洞見產生自他發現的一面數學鏡子，他可以透過這面鏡子觀察質數。比起愛麗絲穿進鏡子後到了一個翻天覆地的世界，在黎曼鏡子的奇特數學世界中，質數的雜亂無序似乎變成了數學家都會期盼的井然有序模式。黎曼猜測，無論凝視鏡中永無止境的世界到多麼遠的地方，這種秩序都會持續下去。他對於鏡子另一邊遙遠處有著內在和諧的預言，能夠解釋為何質數表面上看來如此無序。黎曼的鏡子提供了從無序到有序的變形，大部分的數學家都覺得非常不可思議。黎曼留給數學界的挑戰，就是去證明他認為能看出的那種秩序確實存在。
邦比耶里在1997年4月7日發出的電子郵件，讓人期待看到新時代的展開。黎曼的憧憬可不是幻景。這位「數學貴族」提供了令數學家心馳神往的可能性，得以解釋質數當中明顯的雜亂無序。數學家知道會有其他許多寶藏因為這個重要問題得到解決而出土，全都渴望去搶奪。
黎曼假設的解決，對於其他許多數學問題也是意義非凡。因為質數對於做研究的數學家來說是最根本的東西，對於質數本質的理解一旦有任何突破，都會帶來非常大的影響。因此黎曼假設似乎是個迴避不了的問題。當數學家在數學領域四處探索，在某一刻，所有的路徑好像必然會殊途同歸，走到黎曼假設這片令人敬畏的美景。
很多人把黎曼假設比喻成攀登聖母峰，越是無人登頂，就越多人想去挑戰它，而最後成功登上黎曼峰的數學家，當然會比首登聖母峰的艾德蒙．希拉瑞（Edmund Hillary）留名更久。征服聖母峰令人驚嘆的原因不在於山頂特別刺激，而是因為它帶來的挑戰，就這方面來說，黎曼假設與攀登世界最高峰迥然不同。我們都想登上黎曼峰，因為我們已經知道登頂之後眼前會有怎樣的美景—證明出黎曼假設，將會讓許許多多仰賴它證明為真的定理當中的漏洞得以填補起來。許多數學家為了達到自己的目標，已經先直接假定黎曼假設為真了。
由於太多的數學工作仰賴黎曼所給出的難題，因此數學家把它稱為假設（hypothesis），而不是猜想（conjecture）。「假設」帶有更強烈的意涵，暗指它是數學家為了建構一套理論而提出的必要假定。相較之下，「猜想」僅僅代表對數學家所認為的世界運作方式的一種預測。許多數學家已不得不接受他們無法解開黎曼拋出的謎題，只能先拿他的預言當作初步假設。如果有人能把黎曼假設變成定理，那麼那些未能證明的結果全都會證實是對的。
質數對於數學的重要性，來自它們建構出其他所有整數的威力。所有的非質數都能從這些基本的質數相乘出來，正如物質世界中的每個分子都可由化學元素週期表中的原子建構而成。質數的數列就像數學家的元素週期表，2、3、5這些質數分別是數學家實驗室裡的氫、氦、鋰。掌握了這些基本要素，數學家就有希望找到新的方法，制定出一條穿越錯綜複雜數學世界的路。
儘管質數看似簡單又根本，但依然神祕難解。質數為這個專門尋找模式與秩序的學科，提供了終極挑戰。看看一串質數，你會發現，根本不可能預測下一個質數何時會出現。這串整數看上去很紊亂隨機，完全沒有提示你怎麼找下一個數。質數序列宛如數學的心跳，但它的脈搏是由強效咖啡因雞尾酒傳送的：
能不能找出一個產生這個數列的公式，讓我們知道下一個質數在哪裡？這個問題一直糾纏著數學家。儘管努力了兩千多年，質數似乎不讓任何人歸納出簡單明瞭的模式，世世代代只能坐著聆聽質數的鼓聲敲打著數列的節奏：2拍，接著是3拍、5拍、7拍、11拍。隨著節拍繼續下去，我們很容易相信那是隨機的白雜訊（white noise），沒有絲毫的內部邏輯。在尋求秩序的數學核心，數學家們只能聽到混沌的聲音。
數學家無法容忍的是，他們竟然要承認自然界選出質數的方式可能無從解釋。如果沒有了結構，沒有漂亮的單純性，數學或許真的不值得研究。聽白雜訊向來就不能當成什麼有趣的消遣活動。正如法國數學家龐加萊所寫的：「科學家研究自然界，不是因為它有用；研究自然界是因為喜歡它，是因為它很美所以喜歡。如果自然界不美，就不值得去了解，而如果自然界不值得了解，生命也就不值得一活。」
數學家也許期盼，質數的心跳在最初的急遽跳動之後能平靜下來，但事與願違—愈往後數，情況看起來就愈糟。我們來看看1000萬前後一百個數當中的質數。首先是1000萬以下的：
9,999,901, 9,999,907, 9,999,929, 9,999,931, 9,999,937,
9,999,943, 9,999,971, 9,999,973, 9,999,991
現在再看看1000萬以上的一百個數中有多少：
10,000,019, 10,000,079
實在很難猜到有哪個公式可以產生出這種模式。事實上，這個質數序列更像隨機的數列，而不像井然有序的模式。你不會因為知道前面99次擲硬幣的結果就猜得到第100次擲出正面還是反面，質數看起來好像也無從預測。
因此，質數讓數學家們感到芒刺在背。一方面，一個數只有兩種情況，要麼是質數，要麼不是。丟硬幣不會讓一個數突然可以被某個比它小的數整除。其二，我們不能否認，這串質數看上去就像是隨機選出的數列。物理學家已漸漸習慣了以下這個觀念：量子骰子會決定宇宙的命運，每次擲骰子都會隨機決定科學家將在什麼地方發現物質。但有點尷尬的是，我們必須承認這些支撐著數學的基本整數，看似是自然界以丟硬幣的方式安排的，每次丟硬幣都是在決定每個數的命運。隨機性和混沌對於數學家是一種詛咒。
儘管有隨機性，質數還是比數學傳統的其他部分更具有永恆、普遍的特性。不論我們是否演進到足以辨認出質數，這些數都會存在。就像劍橋大學數學家哈代（G. H. Hardy）在他的名作《一個數學家的辯白》（A Mathematician’s Apology）中說的：「317之所以是質數，不是因為我們這麼認為，也不是因為我們的思維方式決定了它，而是因為它本來就如此，因為數學現實就是這樣建構的。」
在薩根的經典小說《接觸未來》中，外星人利用質數跟地球上的生命聯繫。女主角艾麗在執行搜尋地外文明（SETI）計畫，探聽來自宇宙的聲響。某天晚上電波望遠鏡對準織女星時，在背景雜訊中突然接收到奇怪的脈波。艾麗馬上就認出這個無線電訊號中的擊鼓聲：先是兩個脈波，接著停頓了一下，然後是3個脈波、5個、7個、11個，一直到907個，全都是質數。接著又從頭開始。
這來自宇宙的鼓聲，是地球人不可能認不出來的音樂。艾麗深信，只有高智慧生命才能奏出這種節拍：「很難想像，像這樣的規律數學訊號會是輻射電漿發送出來的。那些質數就是要引起我們注意。」倘若外星文化傳送的是過去十年的外星樂透中獎號碼，艾麗就不可能從背景雜訊中分辨出來。儘管質數序列看上去像樂透中獎號碼一樣的隨機，但它的普遍性和恆常性，讓外星人在廣播中選取了這些數字。艾麗認出的這個結構，是高智慧生命的標誌。
利用質數來溝通，不僅僅是科幻小說的情節。奧利佛．薩克斯在他的《錯把太太當帽子的人》書中記錄了26歲的雙胞胎兄弟約翰和麥可，他們最深奧的溝通形式是輪流講出六位數的質數。薩克斯談到他第一次發現他們偷偷在房間角落輪流說出質數時的情景：「他們一開始看起來好像兩個鑑賞家在品酒，分享難得嚐到的味道和稀有的品味。」一開始，薩克斯搞不懂這對雙胞胎在做什麼，但當他一破解他們的密碼，他就去找一些八位數的質數把它們背熟了，在他們下次見面時偷偷把這些數安插進交談中。雙胞胎先是驚訝，隨後非常專注，在聽出另一個質數的時候雀躍不已。薩克斯是從質數表上找他要記住的質數，但這對雙胞胎說出的質數是從哪裡來的，就很令人想不透。這些患有自閉症的天才難道掌握了什麼祕密公式，世世代代數學家卻都沒注意到嗎？
這對雙胞胎的故事是邦比耶里最喜歡的故事。
聽到這個故事，我很難不對大腦的運作方式肅然起敬，但我想知道：我那些非數學背景的朋友也會有同樣的反應嗎？他們是否知道這對雙胞胎的天生異稟有多麼奇特、不同凡響、甚至超越凡俗？他們是否知道，數學家千古以來都在拚命尋找一種方法，去做約翰和麥可自然而然就能做到的事：產生並辨識質數？
在眾人還沒弄清楚雙胞胎是怎麼做到的之前，他們在37歲時就被醫生分開了，醫生認為，他們私底下的數字算命語言會阻礙他們的發展。要是這些醫生聽到那種在大學數學系公共休息室的晦澀對話，大概也會建議關閉這些休息室。
這對雙胞胎很可能運用了一個根據「費馬小定理」而來的技巧，來檢驗一個數是不是質數。這對自閉症天才雙胞胎在上電視節目時經常表演的一項技藝，就是很快地說出1922年4月13日是星期四之類的，他們用來判定星期幾的方法就跟檢驗質數的技巧類似：兩個技巧都要靠模算術（modular arithmetic，有時稱為時鐘算術）。即使沒有給出質數的魔術公式，他們的技能依然特異非凡。在兩人分隔兩地之前，他們輪流講出的質數已達到20位數，遠超出薩克斯的質數表上限。
就像薩根筆下聆聽宇宙質數節拍的女主角和偷聽雙胞胎玩質數遊戲的薩克斯，歷來的數學家一直拚命想從這種雜訊中聽出一點秩序，但就像西方人的耳朵聽東方音樂一樣，似乎怎麼聽都聽不出個所以然。到了19世紀中葉，總算出現重大突破，伯恩哈德．黎曼（Bernhard Riemann）開始用全新的角度思索這個問題。從這個新的觀點，他開始稍微理解是什麼模式導致質數的雜亂無章。在質數雜訊的表象底下，有隱微又出乎意料的和諧之聲。儘管向前邁了一大步，這首新樂曲仍然隱藏了許多祕密不讓人聽見。黎曼這位「數學界的華格納」，無畏無懼，對自己發現的神祕樂曲做出大膽的預言。這個預言，後來就被稱為黎曼假設。不管是誰證明出黎曼對這種音樂的本質的直覺是對的，這個人都必須解釋為何質數會有如此明顯的隨機表象。
黎曼的洞見產生自他發現的一面數學鏡子，他可以透過這面鏡子觀察質數。比起愛麗絲穿進鏡子後到了一個翻天覆地的世界，在黎曼鏡子的奇特數學世界中，質數的雜亂無序似乎變成了數學家都會期盼的井然有序模式。黎曼猜測，無論凝視鏡中永無止境的世界到多麼遠的地方，這種秩序都會持續下去。他對於鏡子另一邊遙遠處有著內在和諧的預言，能夠解釋為何質數表面上看來如此無序。黎曼的鏡子提供了從無序到有序的變形，大部分的數學家都覺得非常不可思議。黎曼留給數學界的挑戰，就是去證明他認為能看出的那種秩序確實存在。
邦比耶里在1997年4月7日發出的電子郵件，讓人期待看到新時代的展開。黎曼的憧憬可不是幻景。這位「數學貴族」提供了令數學家心馳神往的可能性，得以解釋質數當中明顯的雜亂無序。數學家知道會有其他許多寶藏因為這個重要問題得到解決而出土，全都渴望去搶奪。
黎曼假設的解決，對於其他許多數學問題也是意義非凡。因為質數對於做研究的數學家來說是最根本的東西，對於質數本質的理解一旦有任何突破，都會帶來非常大的影響。因此黎曼假設似乎是個迴避不了的問題。當數學家在數學領域四處探索，在某一刻，所有的路徑好像必然會殊途同歸，走到黎曼假設這片令人敬畏的美景。
很多人把黎曼假設比喻成攀登聖母峰，越是無人登頂，就越多人想去挑戰它，而最後成功登上黎曼峰的數學家，當然會比首登聖母峰的艾德蒙．希拉瑞（Edmund Hillary）留名更久。征服聖母峰令人驚嘆的原因不在於山頂特別刺激，而是因為它帶來的挑戰，就這方面來說，黎曼假設與攀登世界最高峰迥然不同。我們都想登上黎曼峰，因為我們已經知道登頂之後眼前會有怎樣的美景—證明出黎曼假設，將會讓許許多多仰賴它證明為真的定理當中的漏洞得以填補起來。許多數學家為了達到自己的目標，已經先直接假定黎曼假設為真了。
由於太多的數學工作仰賴黎曼所給出的難題，因此數學家把它稱為假設（hypothesis），而不是猜想（conjecture）。「假設」帶有更強烈的意涵，暗指它是數學家為了建構一套理論而提出的必要假定。相較之下，「猜想」僅僅代表對數學家所認為的世界運作方式的一種預測。許多數學家已不得不接受他們無法解開黎曼拋出的謎題，只能先拿他的預言當作初步假設。如果有人能把黎曼假設變成定理，那麼那些未能證明的結果全都會證實是對的。
配送方式
-
台灣
- 國內宅配：本島、離島
-
到店取貨：
不限金額免運費
-
海外
- 國際快遞：全球
-
港澳店取：
訂購/退換貨須知
加入金石堂 LINE 官方帳號『完成綁定』，隨時掌握出貨動態：
提醒您！！
金石堂及銀行均不會請您操作ATM! 如接獲電話要求您前往ATM提款機，請不要聽從指示，以免受騙上當！
退換貨須知：
**提醒您，鑑賞期不等於試用期，退回商品須為全新狀態**
-
依據「消費者保護法」第19條及行政院消費者保護處公告之「通訊交易解除權合理例外情事適用準則」，以下商品購買後，除商品本身有瑕疵外，將不提供7天的猶豫期：
- 易於腐敗、保存期限較短或解約時即將逾期。（如：生鮮食品）
- 依消費者要求所為之客製化給付。（客製化商品）
- 報紙、期刊或雜誌。（含MOOK、外文雜誌）
- 經消費者拆封之影音商品或電腦軟體。
- 非以有形媒介提供之數位內容或一經提供即為完成之線上服務，經消費者事先同意始提供。（如：電子書、電子雜誌、下載版軟體、虛擬商品…等）
- 已拆封之個人衛生用品。（如：內衣褲、刮鬍刀、除毛刀…等）
- 若非上列種類商品，均享有到貨7天的猶豫期（含例假日）。
- 辦理退換貨時，商品（組合商品恕無法接受單獨退貨）必須是您收到商品時的原始狀態（包含商品本體、配件、贈品、保證書、所有附隨資料文件及原廠內外包裝…等），請勿直接使用原廠包裝寄送，或於原廠包裝上黏貼紙張或書寫文字。
- 退回商品若無法回復原狀，將請您負擔回復原狀所需費用，嚴重時將影響您的退貨權益。
商品評價