質數就像算術的原子，無法再寫成更小的數的乘積。13和17是質數，而15不是質數，因為15可以寫成3乘5。質數是歷來數學家探究由數所組成的無垠宇宙中的瑰寶。對於數學家來說，它們帶來一種驚喜感：2、3、5、7、11、13、17、19、23、⋯⋯這些永恆之數，存在於某個不屬於我們這個物質世界的世界裡。它們是自然界送給數學家的禮物。
質數對於數學的重要性，來自它們建構出其他所有整數的威力。所有的非質數都能從這些基本的質數相乘出來，正如物質世界中的每個分子都可由化學元素週期表中的原子建構而成。質數的數列就像數學家的元素週期表，2、3、5這些質數分別是數學家實驗室裡的氫、氦、鋰。掌握了這些基本要素，數學家就有希望找到新的方法，制定出一條穿越錯綜複雜數學世界的路。
儘管質數看似簡單又根本，但依然神祕難解。質數為這個專門尋找模式與秩序的學科，提供了終極挑戰。看看一串質數，你會發現，根本不可能預測下一個質數何時會出現。這串整數看上去很紊亂隨機，完全沒有提示你怎麼找下一個數。質數序列宛如數學的心跳，但它的脈搏是由強效咖啡因雞尾酒傳送的：
能不能找出一個產生這個數列的公式，讓我們知道下一個質數在哪裡？這個問題一直糾纏著數學家。儘管努力了兩千多年，質數似乎不讓任何人歸納出簡單明瞭的模式，世世代代只能坐著聆聽質數的鼓聲敲打著數列的節奏：2拍，接著是3拍、5拍、7拍、11拍。隨著節拍繼續下去，我們很容易相信那是隨機的白雜訊（white noise），沒有絲毫的內部邏輯。在尋求秩序的數學核心，數學家們只能聽到混沌的聲音。
數學家無法容忍的是，他們竟然要承認自然界選出質數的方式可能無從解釋。如果沒有了結構，沒有漂亮的單純性，數學或許真的不值得研究。聽白雜訊向來就不能當成什麼有趣的消遣活動。正如法國數學家龐加萊所寫的：「科學家研究自然界，不是因為它有用；研究自然界是因為喜歡它，是因為它很美所以喜歡。如果自然界不美，就不值得去了解，而如果自然界不值得了解，生命也就不值得一活。」
數學家也許期盼，質數的心跳在最初的急遽跳動之後能平靜下來，但事與願違—愈往後數，情況看起來就愈糟。我們來看看1000萬前後一百個數當中的質數。首先是1000萬以下的：
9,999,901, 9,999,907, 9,999,929, 9,999,931, 9,999,937,
9,999,943, 9,999,971, 9,999,973, 9,999,991
現在再看看1000萬以上的一百個數中有多少：
10,000,019, 10,000,079
實在很難猜到有哪個公式可以產生出這種模式。事實上，這個質數序列更像隨機的數列，而不像井然有序的模式。你不會因為知道前面99次擲硬幣的結果就猜得到第100次擲出正面還是反面，質數看起來好像也無從預測。
因此，質數讓數學家們感到芒刺在背。一方面，一個數只有兩種情況，要麼是質數，要麼不是。丟硬幣不會讓一個數突然可以被某個比它小的數整除。其二，我們不能否認，這串質數看上去就像是隨機選出的數列。物理學家已漸漸習慣了以下這個觀念：量子骰子會決定宇宙的命運，每次擲骰子都會隨機決定科學家將在什麼地方發現物質。但有點尷尬的是，我們必須承認這些支撐著數學的基本整數，看似是自然界以丟硬幣的方式安排的，每次丟硬幣都是在決定每個數的命運。隨機性和混沌對於數學家是一種詛咒。
儘管有隨機性，質數還是比數學傳統的其他部分更具有永恆、普遍的特性。不論我們是否演進到足以辨認出質數，這些數都會存在。就像劍橋大學數學家哈代（G. H. Hardy）在他的名作《一個數學家的辯白》（A Mathematician’s Apology）中說的：「317之所以是質數，不是因為我們這麼認為，也不是因為我們的思維方式決定了它，而是因為它本來就如此，因為數學現實就是這樣建構的。」
在薩根的經典小說《接觸未來》中，外星人利用質數跟地球上的生命聯繫。女主角艾麗在執行搜尋地外文明（SETI）計畫，探聽來自宇宙的聲響。某天晚上電波望遠鏡對準織女星時，在背景雜訊中突然接收到奇怪的脈波。艾麗馬上就認出這個無線電訊號中的擊鼓聲：先是兩個脈波，接著停頓了一下，然後是3個脈波、5個、7個、11個，一直到907個，全都是質數。接著又從頭開始。
這來自宇宙的鼓聲，是地球人不可能認不出來的音樂。艾麗深信，只有高智慧生命才能奏出這種節拍：「很難想像，像這樣的規律數學訊號會是輻射電漿發送出來的。那些質數就是要引起我們注意。」倘若外星文化傳送的是過去十年的外星樂透中獎號碼，艾麗就不可能從背景雜訊中分辨出來。儘管質數序列看上去像樂透中獎號碼一樣的隨機，但它的普遍性和恆常性，讓外星人在廣播中選取了這些數字。艾麗認出的這個結構，是高智慧生命的標誌。
利用質數來溝通，不僅僅是科幻小說的情節。奧利佛．薩克斯在他的《錯把太太當帽子的人》書中記錄了26歲的雙胞胎兄弟約翰和麥可，他們最深奧的溝通形式是輪流講出六位數的質數。薩克斯談到他第一次發現他們偷偷在房間角落輪流說出質數時的情景：「他們一開始看起來好像兩個鑑賞家在品酒，分享難得嚐到的味道和稀有的品味。」一開始，薩克斯搞不懂這對雙胞胎在做什麼，但當他一破解他們的密碼，他就去找一些八位數的質數把它們背熟了，在他們下次見面時偷偷把這些數安插進交談中。雙胞胎先是驚訝，隨後非常專注，在聽出另一個質數的時候雀躍不已。薩克斯是從質數表上找他要記住的質數，但這對雙胞胎說出的質數是從哪裡來的，就很令人想不透。這些患有自閉症的天才難道掌握了什麼祕密公式，世世代代數學家卻都沒注意到嗎？
這對雙胞胎的故事是邦比耶里最喜歡的故事。
聽到這個故事，我很難不對大腦的運作方式肅然起敬，但我想知道：我那些非數學背景的朋友也會有同樣的反應嗎？他們是否知道這對雙胞胎的天生異稟有多麼奇特、不同凡響、甚至超越凡俗？他們是否知道，數學家千古以來都在拚命尋找一種方法，去做約翰和麥可自然而然就能做到的事：產生並辨識質數？
在眾人還沒弄清楚雙胞胎是怎麼做到的之前，他們在37歲時就被醫生分開了，醫生認為，他們私底下的數字算命語言會阻礙他們的發展。要是這些醫生聽到那種在大學數學系公共休息室的晦澀對話，大概也會建議關閉這些休息室。
這對雙胞胎很可能運用了一個根據「費馬小定理」而來的技巧，來檢驗一個數是不是質數。這對自閉症天才雙胞胎在上電視節目時經常表演的一項技藝，就是很快地說出1922年4月13日是星期四之類的，他們用來判定星期幾的方法就跟檢驗質數的技巧類似：兩個技巧都要靠模算術（modular arithmetic，有時稱為時鐘算術）。即使沒有給出質數的魔術公式，他們的技能依然特異非凡。在兩人分隔兩地之前，他們輪流講出的質數已達到20位數，遠超出薩克斯的質數表上限。
就像薩根筆下聆聽宇宙質數節拍的女主角和偷聽雙胞胎玩質數遊戲的薩克斯，歷來的數學家一直拚命想從這種雜訊中聽出一點秩序，但就像西方人的耳朵聽東方音樂一樣，似乎怎麼聽都聽不出個所以然。到了19世紀中葉，總算出現重大突破，伯恩哈德．黎曼（Bernhard Riemann）開始用全新的角度思索這個問題。從這個新的觀點，他開始稍微理解是什麼模式導致質數的雜亂無章。在質數雜訊的表象底下，有隱微又出乎意料的和諧之聲。儘管向前邁了一大步，這首新樂曲仍然隱藏了許多祕密不讓人聽見。黎曼這位「數學界的華格納」，無畏無懼，對自己發現的神祕樂曲做出大膽的預言。這個預言，後來就被稱為黎曼假設。不管是誰證明出黎曼對這種音樂的本質的直覺是對的，這個人都必須解釋為何質數會有如此明顯的隨機表象。
黎曼的洞見產生自他發現的一面數學鏡子，他可以透過這面鏡子觀察質數。比起愛麗絲穿進鏡子後到了一個翻天覆地的世界，在黎曼鏡子的奇特數學世界中，質數的雜亂無序似乎變成了數學家都會期盼的井然有序模式。黎曼猜測，無論凝視鏡中永無止境的世界到多麼遠的地方，這種秩序都會持續下去。他對於鏡子另一邊遙遠處有著內在和諧的預言，能夠解釋為何質數表面上看來如此無序。黎曼的鏡子提供了從無序到有序的變形，大部分的數學家都覺得非常不可思議。黎曼留給數學界的挑戰，就是去證明他認為能看出的那種秩序確實存在。
邦比耶里在1997年4月7日發出的電子郵件，讓人期待看到新時代的展開。黎曼的憧憬可不是幻景。這位「數學貴族」提供了令數學家心馳神往的可能性，得以解釋質數當中明顯的雜亂無序。數學家知道會有其他許多寶藏因為這個重要問題得到解決而出土，全都渴望去搶奪。
黎曼假設的解決，對於其他許多數學問題也是意義非凡。因為質數對於做研究的數學家來說是最根本的東西，對於質數本質的理解一旦有任何突破，都會帶來非常大的影響。因此黎曼假設似乎是個迴避不了的問題。當數學家在數學領域四處探索，在某一刻，所有的路徑好像必然會殊途同歸，走到黎曼假設這片令人敬畏的美景。
很多人把黎曼假設比喻成攀登聖母峰，越是無人登頂，就越多人想去挑戰它，而最後成功登上黎曼峰的數學家，當然會比首登聖母峰的艾德蒙．希拉瑞（Edmund Hillary）留名更久。征服聖母峰令人驚嘆的原因不在於山頂特別刺激，而是因為它帶來的挑戰，就這方面來說，黎曼假設與攀登世界最高峰迥然不同。我們都想登上黎曼峰，因為我們已經知道登頂之後眼前會有怎樣的美景—證明出黎曼假設，將會讓許許多多仰賴它證明為真的定理當中的漏洞得以填補起來。許多數學家為了達到自己的目標，已經先直接假定黎曼假設為真了。
由於太多的數學工作仰賴黎曼所給出的難題，因此數學家把它稱為假設（hypothesis），而不是猜想（conjecture）。「假設」帶有更強烈的意涵，暗指它是數學家為了建構一套理論而提出的必要假定。相較之下，「猜想」僅僅代表對數學家所認為的世界運作方式的一種預測。許多數學家已不得不接受他們無法解開黎曼拋出的謎題，只能先拿他的預言當作初步假設。如果有人能把黎曼假設變成定理，那麼那些未能證明的結果全都會證實是對的。
質數對於數學的重要性，來自它們建構出其他所有整數的威力。所有的非質數都能從這些基本的質數相乘出來，正如物質世界中的每個分子都可由化學元素週期表中的原子建構而成。質數的數列就像數學家的元素週期表，2、3、5這些質數分別是數學家實驗室裡的氫、氦、鋰。掌握了這些基本要素，數學家就有希望找到新的方法，制定出一條穿越錯綜複雜數學世界的路。
儘管質數看似簡單又根本，但依然神祕難解。質數為這個專門尋找模式與秩序的學科，提供了終極挑戰。看看一串質數，你會發現，根本不可能預測下一個質數何時會出現。這串整數看上去很紊亂隨機，完全沒有提示你怎麼找下一個數。質數序列宛如數學的心跳，但它的脈搏是由強效咖啡因雞尾酒傳送的：
能不能找出一個產生這個數列的公式，讓我們知道下一個質數在哪裡？這個問題一直糾纏著數學家。儘管努力了兩千多年，質數似乎不讓任何人歸納出簡單明瞭的模式，世世代代只能坐著聆聽質數的鼓聲敲打著數列的節奏：2拍，接著是3拍、5拍、7拍、11拍。隨著節拍繼續下去，我們很容易相信那是隨機的白雜訊（white noise），沒有絲毫的內部邏輯。在尋求秩序的數學核心，數學家們只能聽到混沌的聲音。
數學家無法容忍的是，他們竟然要承認自然界選出質數的方式可能無從解釋。如果沒有了結構，沒有漂亮的單純性，數學或許真的不值得研究。聽白雜訊向來就不能當成什麼有趣的消遣活動。正如法國數學家龐加萊所寫的：「科學家研究自然界，不是因為它有用；研究自然界是因為喜歡它，是因為它很美所以喜歡。如果自然界不美，就不值得去了解，而如果自然界不值得了解，生命也就不值得一活。」
數學家也許期盼，質數的心跳在最初的急遽跳動之後能平靜下來，但事與願違—愈往後數，情況看起來就愈糟。我們來看看1000萬前後一百個數當中的質數。首先是1000萬以下的：
9,999,901, 9,999,907, 9,999,929, 9,999,931, 9,999,937,
9,999,943, 9,999,971, 9,999,973, 9,999,991
現在再看看1000萬以上的一百個數中有多少：
10,000,019, 10,000,079
實在很難猜到有哪個公式可以產生出這種模式。事實上，這個質數序列更像隨機的數列，而不像井然有序的模式。你不會因為知道前面99次擲硬幣的結果就猜得到第100次擲出正面還是反面，質數看起來好像也無從預測。
因此，質數讓數學家們感到芒刺在背。一方面，一個數只有兩種情況，要麼是質數，要麼不是。丟硬幣不會讓一個數突然可以被某個比它小的數整除。其二，我們不能否認，這串質數看上去就像是隨機選出的數列。物理學家已漸漸習慣了以下這個觀念：量子骰子會決定宇宙的命運，每次擲骰子都會隨機決定科學家將在什麼地方發現物質。但有點尷尬的是，我們必須承認這些支撐著數學的基本整數，看似是自然界以丟硬幣的方式安排的，每次丟硬幣都是在決定每個數的命運。隨機性和混沌對於數學家是一種詛咒。
儘管有隨機性，質數還是比數學傳統的其他部分更具有永恆、普遍的特性。不論我們是否演進到足以辨認出質數，這些數都會存在。就像劍橋大學數學家哈代（G. H. Hardy）在他的名作《一個數學家的辯白》（A Mathematician’s Apology）中說的：「317之所以是質數，不是因為我們這麼認為，也不是因為我們的思維方式決定了它，而是因為它本來就如此，因為數學現實就是這樣建構的。」
在薩根的經典小說《接觸未來》中，外星人利用質數跟地球上的生命聯繫。女主角艾麗在執行搜尋地外文明（SETI）計畫，探聽來自宇宙的聲響。某天晚上電波望遠鏡對準織女星時，在背景雜訊中突然接收到奇怪的脈波。艾麗馬上就認出這個無線電訊號中的擊鼓聲：先是兩個脈波，接著停頓了一下，然後是3個脈波、5個、7個、11個，一直到907個，全都是質數。接著又從頭開始。
這來自宇宙的鼓聲，是地球人不可能認不出來的音樂。艾麗深信，只有高智慧生命才能奏出這種節拍：「很難想像，像這樣的規律數學訊號會是輻射電漿發送出來的。那些質數就是要引起我們注意。」倘若外星文化傳送的是過去十年的外星樂透中獎號碼，艾麗就不可能從背景雜訊中分辨出來。儘管質數序列看上去像樂透中獎號碼一樣的隨機，但它的普遍性和恆常性，讓外星人在廣播中選取了這些數字。艾麗認出的這個結構，是高智慧生命的標誌。
利用質數來溝通，不僅僅是科幻小說的情節。奧利佛．薩克斯在他的《錯把太太當帽子的人》書中記錄了26歲的雙胞胎兄弟約翰和麥可，他們最深奧的溝通形式是輪流講出六位數的質數。薩克斯談到他第一次發現他們偷偷在房間角落輪流說出質數時的情景：「他們一開始看起來好像兩個鑑賞家在品酒，分享難得嚐到的味道和稀有的品味。」一開始，薩克斯搞不懂這對雙胞胎在做什麼，但當他一破解他們的密碼，他就去找一些八位數的質數把它們背熟了，在他們下次見面時偷偷把這些數安插進交談中。雙胞胎先是驚訝，隨後非常專注，在聽出另一個質數的時候雀躍不已。薩克斯是從質數表上找他要記住的質數，但這對雙胞胎說出的質數是從哪裡來的，就很令人想不透。這些患有自閉症的天才難道掌握了什麼祕密公式，世世代代數學家卻都沒注意到嗎？
這對雙胞胎的故事是邦比耶里最喜歡的故事。
聽到這個故事，我很難不對大腦的運作方式肅然起敬，但我想知道：我那些非數學背景的朋友也會有同樣的反應嗎？他們是否知道這對雙胞胎的天生異稟有多麼奇特、不同凡響、甚至超越凡俗？他們是否知道，數學家千古以來都在拚命尋找一種方法，去做約翰和麥可自然而然就能做到的事：產生並辨識質數？
在眾人還沒弄清楚雙胞胎是怎麼做到的之前，他們在37歲時就被醫生分開了，醫生認為，他們私底下的數字算命語言會阻礙他們的發展。要是這些醫生聽到那種在大學數學系公共休息室的晦澀對話，大概也會建議關閉這些休息室。
這對雙胞胎很可能運用了一個根據「費馬小定理」而來的技巧，來檢驗一個數是不是質數。這對自閉症天才雙胞胎在上電視節目時經常表演的一項技藝，就是很快地說出1922年4月13日是星期四之類的，他們用來判定星期幾的方法就跟檢驗質數的技巧類似：兩個技巧都要靠模算術（modular arithmetic，有時稱為時鐘算術）。即使沒有給出質數的魔術公式，他們的技能依然特異非凡。在兩人分隔兩地之前，他們輪流講出的質數已達到20位數，遠超出薩克斯的質數表上限。
就像薩根筆下聆聽宇宙質數節拍的女主角和偷聽雙胞胎玩質數遊戲的薩克斯，歷來的數學家一直拚命想從這種雜訊中聽出一點秩序，但就像西方人的耳朵聽東方音樂一樣，似乎怎麼聽都聽不出個所以然。到了19世紀中葉，總算出現重大突破，伯恩哈德．黎曼（Bernhard Riemann）開始用全新的角度思索這個問題。從這個新的觀點，他開始稍微理解是什麼模式導致質數的雜亂無章。在質數雜訊的表象底下，有隱微又出乎意料的和諧之聲。儘管向前邁了一大步，這首新樂曲仍然隱藏了許多祕密不讓人聽見。黎曼這位「數學界的華格納」，無畏無懼，對自己發現的神祕樂曲做出大膽的預言。這個預言，後來就被稱為黎曼假設。不管是誰證明出黎曼對這種音樂的本質的直覺是對的，這個人都必須解釋為何質數會有如此明顯的隨機表象。
黎曼的洞見產生自他發現的一面數學鏡子，他可以透過這面鏡子觀察質數。比起愛麗絲穿進鏡子後到了一個翻天覆地的世界，在黎曼鏡子的奇特數學世界中，質數的雜亂無序似乎變成了數學家都會期盼的井然有序模式。黎曼猜測，無論凝視鏡中永無止境的世界到多麼遠的地方，這種秩序都會持續下去。他對於鏡子另一邊遙遠處有著內在和諧的預言，能夠解釋為何質數表面上看來如此無序。黎曼的鏡子提供了從無序到有序的變形，大部分的數學家都覺得非常不可思議。黎曼留給數學界的挑戰，就是去證明他認為能看出的那種秩序確實存在。
邦比耶里在1997年4月7日發出的電子郵件，讓人期待看到新時代的展開。黎曼的憧憬可不是幻景。這位「數學貴族」提供了令數學家心馳神往的可能性，得以解釋質數當中明顯的雜亂無序。數學家知道會有其他許多寶藏因為這個重要問題得到解決而出土，全都渴望去搶奪。
黎曼假設的解決，對於其他許多數學問題也是意義非凡。因為質數對於做研究的數學家來說是最根本的東西，對於質數本質的理解一旦有任何突破，都會帶來非常大的影響。因此黎曼假設似乎是個迴避不了的問題。當數學家在數學領域四處探索，在某一刻，所有的路徑好像必然會殊途同歸，走到黎曼假設這片令人敬畏的美景。
很多人把黎曼假設比喻成攀登聖母峰，越是無人登頂，就越多人想去挑戰它，而最後成功登上黎曼峰的數學家，當然會比首登聖母峰的艾德蒙．希拉瑞（Edmund Hillary）留名更久。征服聖母峰令人驚嘆的原因不在於山頂特別刺激，而是因為它帶來的挑戰，就這方面來說，黎曼假設與攀登世界最高峰迥然不同。我們都想登上黎曼峰，因為我們已經知道登頂之後眼前會有怎樣的美景—證明出黎曼假設，將會讓許許多多仰賴它證明為真的定理當中的漏洞得以填補起來。許多數學家為了達到自己的目標，已經先直接假定黎曼假設為真了。
由於太多的數學工作仰賴黎曼所給出的難題，因此數學家把它稱為假設（hypothesis），而不是猜想（conjecture）。「假設」帶有更強烈的意涵，暗指它是數學家為了建構一套理論而提出的必要假定。相較之下，「猜想」僅僅代表對數學家所認為的世界運作方式的一種預測。許多數學家已不得不接受他們無法解開黎曼拋出的謎題，只能先拿他的預言當作初步假設。如果有人能把黎曼假設變成定理，那麼那些未能證明的結果全都會證實是對的。
