數學通俗演義：歐幾里得、劉徽到牛頓，欲知大師們如何拆解造化玄機，且聽下回分解！
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內容簡介
數學家的決鬥，竟會導致身敗名裂？
無理數的出現，為何會導致「真理」動搖？
考卷外的數學，比你以為的更精彩、更瘋狂、更驚心動魄！
▎從數形想像到經典體系
本書從上古文明對河圖洛書、金字塔數字的最初想像談起，引領讀者探索數與形的起源。書中詳細介紹《周髀算經》中的勾股問答與希臘先賢的測量智慧，揭示三角形如何成為丈量世界的工具，並深入淺出地解說畢達哥拉斯學派「萬物皆數」的理念及其引發的無理數危機。隨後，聚焦於歐幾里得《幾何原本》的嚴密公理體系，與中國《九章算術》演算法體系，這兩大古代數學高峰遙相呼應，展現東西方迥異卻同樣璀璨的理性之光，勾勒出古代數學文明的精華。
▎計算技巧的極致
進入實用計算領域，內容涵蓋線性方程組、矩陣消元及盈不足術等中國古代精密演算法。書中特別介紹阿基米德以窮竭法度量球與圓柱體積的幾何光輝，以及劉徽、趙爽在魏晉南北朝時期對勾股定理的證明與出入相補思想。在此基礎上，敘述祖沖之父子結合天文曆法，透過高超的割圓術求得精密圓周率，並在體積計算上取得突破。透過這些人物故事，展示數學如何在文明需求與探索精神中不斷成長與成熟。
▎宋元算學高峰與中西數學交流
後半部承接古代積累，描寫「中國剩餘定理」（大衍求一術）、插值法及高次方程式求解的演算法成就。特別介紹賈憲三角展現的二項展開係數規律，以及楊輝對幻方與縱橫圖的探索。此外，書中亦探討隨着東西知識交流，斐波那契將西方計算方法帶入，以及隨後三次方程式競逐、虛數登場等歐洲數學的發展。從韋達定理到對數發明，數學逐漸超越單純的實用計算，轉向表達抽象關係的語言。
▎解析幾何與微積分的近代革命
笛卡兒創立座標系，實現代數與幾何的交融，帕斯卡與費馬則奠定機率論基礎。牛頓與萊布尼茲建立的微積分，賦予人類描述變化與無窮小量的強大工具，雖引發第二次數學危機，卻推動了分析學的發展。書中展現歐拉、高斯、黎曼等數學巨匠如何拓展微積分應用，並突破非歐幾何的限制。最後，以康托爾的集合論與羅素悖論引發的基礎危機，揭開現代數學更深邃、壯闊的序幕，展現數學在探索真理道路上的不斷革命。
本書特色：數學像一條綿長的河流，從遠古文明的源頭悄然流出，穿過祭祀、曆法、丈量土地、建造城邦與觀測星辰的需求，逐漸匯聚成今日浩瀚的知識海洋。本書既寫數學知識的演進，也寫其背後的人與時代。希望讀者能感受到人類如何在歷史長河中一步步點亮未知。若讀畢之後，能對數學少一分畏懼，多一分好奇，便是本書最大的心願。
無理數的出現，為何會導致「真理」動搖？
考卷外的數學，比你以為的更精彩、更瘋狂、更驚心動魄！
▎從數形想像到經典體系
本書從上古文明對河圖洛書、金字塔數字的最初想像談起，引領讀者探索數與形的起源。書中詳細介紹《周髀算經》中的勾股問答與希臘先賢的測量智慧，揭示三角形如何成為丈量世界的工具，並深入淺出地解說畢達哥拉斯學派「萬物皆數」的理念及其引發的無理數危機。隨後，聚焦於歐幾里得《幾何原本》的嚴密公理體系，與中國《九章算術》演算法體系，這兩大古代數學高峰遙相呼應，展現東西方迥異卻同樣璀璨的理性之光，勾勒出古代數學文明的精華。
▎計算技巧的極致
進入實用計算領域，內容涵蓋線性方程組、矩陣消元及盈不足術等中國古代精密演算法。書中特別介紹阿基米德以窮竭法度量球與圓柱體積的幾何光輝，以及劉徽、趙爽在魏晉南北朝時期對勾股定理的證明與出入相補思想。在此基礎上，敘述祖沖之父子結合天文曆法，透過高超的割圓術求得精密圓周率，並在體積計算上取得突破。透過這些人物故事，展示數學如何在文明需求與探索精神中不斷成長與成熟。
▎宋元算學高峰與中西數學交流
後半部承接古代積累，描寫「中國剩餘定理」（大衍求一術）、插值法及高次方程式求解的演算法成就。特別介紹賈憲三角展現的二項展開係數規律，以及楊輝對幻方與縱橫圖的探索。此外，書中亦探討隨着東西知識交流，斐波那契將西方計算方法帶入，以及隨後三次方程式競逐、虛數登場等歐洲數學的發展。從韋達定理到對數發明，數學逐漸超越單純的實用計算，轉向表達抽象關係的語言。
▎解析幾何與微積分的近代革命
笛卡兒創立座標系，實現代數與幾何的交融，帕斯卡與費馬則奠定機率論基礎。牛頓與萊布尼茲建立的微積分，賦予人類描述變化與無窮小量的強大工具，雖引發第二次數學危機，卻推動了分析學的發展。書中展現歐拉、高斯、黎曼等數學巨匠如何拓展微積分應用，並突破非歐幾何的限制。最後，以康托爾的集合論與羅素悖論引發的基礎危機，揭開現代數學更深邃、壯闊的序幕，展現數學在探索真理道路上的不斷革命。
本書特色：數學像一條綿長的河流，從遠古文明的源頭悄然流出，穿過祭祀、曆法、丈量土地、建造城邦與觀測星辰的需求，逐漸匯聚成今日浩瀚的知識海洋。本書既寫數學知識的演進，也寫其背後的人與時代。希望讀者能感受到人類如何在歷史長河中一步步點亮未知。若讀畢之後，能對數學少一分畏懼，多一分好奇，便是本書最大的心願。
目錄
前言
第一回 河圖洛書 中華文明起源頭；數字奇巧 金字塔裡有謎團──上古文明的神祕數學
第二回 周公問對 商高闡述勾股弦；相似三角 希臘先賢巧測高──古人對三角形的認識與運用
第三回 萬物皆數 希臘學派究數論；地磚啟發 畢氏發現大定理──畢達哥拉斯學派的數學發現
第四回 無理風波 數學首次遇危機；黃金分割 完美比例顯神奇──無理數的發現與黃金分割
第五回 幾何原本 歐幾里得創範式；九章算術 代數算法集大成──東西方文明的兩部數學巨著
第六回 線性方程式 矩陣變換巧消元；盈不足術 中國算法開先河──古代的方程式矩陣與線性插值
第七回 窮竭分割 阿基米德度量圓；球和圓柱 三分之二成絕響──阿基米德的數學成就
第八回 倍立方體 尺規作圖遇疑難；圓錐曲線 幾何再次創輝煌──圓錐曲線的起源與發展
第九回 丟番圖後 希臘數學落帷幕；割圓之術 劉徽算法成謎團──古代東西方兩位代數大家
第十回 出入相補 劉徽證勾股定理；勾股圓方 趙爽注周髀算經──勾股定理的證明與立體體積理論
第十一回 大明曆議 祖沖之巧算冬至；朝堂辯論 戴法興阻撓新法──古代天文學與數學的密切連繫
第十二回 綴術割圓 祖沖之妙算圓周率；祖𣈶原理 開立圓巧算球體積──綴術的千古之謎與立體體積計算原理
第十三回 明算科舉 數學也能登科第；不定方程式 算經之中有趣題──插值法的發展與不定方程式問題
第十四回 數書九章 古代數學創巔峰；大衍求一 中國定理不虛傳──中國剩餘定理與大衍算法程序
第十五回 賈憲三角 二項展開定係數；正負開方 高次方程求數值──二項式展開與高次方程式的數值求解
第十六回 不傳之祕 奇書只渡有緣人；幻方大師 楊輝構造縱橫圖──中國古代的幻方與奇圖研究
第十七回 東學西漸 費波那契開先河；三次方程 歐洲數學起風雲──一元二次方程式與一元三次方程式的求根公式
第十八回 負數開方 虛數助力解方程；排列組合 機率破解擲骰子──虛數的發現與機率論的起源
第十九回 方程奧妙 韋達發現新定理；脫胎天文 三角獨立成學問──韋達定理的發現與三角學的發展
第二十回 化乘為加 指數概念現雛形；按表索驥 對數化解計算難──指數與對數的發明對計算力的解放
第二十一回 我思我在 笛卡兒建立座標系；數形結合 方程式解析幾何學──平面解析幾何的創立
第二十二回 投影幾何 帕斯卡一鳴驚人；費馬定理 業餘王故弄玄虛──投影幾何的創立與機率論的成熟
第二十三回 巨人肩上 牛頓創立微積分；無窮小量 數學再次遇危機──微積分的創立
第二十四回 互逆運算 微分積分有玄機；無窮級數 牛頓發現大祕密──微積分基本定理與函數的無窮級數展開
第二十五回 最速降線 白努利擺擂徵解法；物超所值 羅必達重金買定理──微積分的應用與發展
第二十六回 最美公式 歐拉巧用無窮級數；數論明珠 哥德巴哈提出猜想──哥德巴哈猜想、指數函數與三角函數連繫
第二十七回 數學王子 青年高斯獲美譽；向量問世 物理箭頭進數學──複數與向量理論的發展
第二十八回 幾何奧祕 第五公設藏玄機；機緣巧合 黎曼統一幾何學──幾何學的大變革
第二十九回 天才雙星 五次方程難題解；難兄難弟 才華未展身先死──代數學的大發展
第三十回 無窮集合 誰說不能比大小；羅素悖論 數學三次遇危機──集合論的誕生與爭議
尾聲
參考文獻
第一回 河圖洛書 中華文明起源頭；數字奇巧 金字塔裡有謎團──上古文明的神祕數學
第二回 周公問對 商高闡述勾股弦；相似三角 希臘先賢巧測高──古人對三角形的認識與運用
第三回 萬物皆數 希臘學派究數論；地磚啟發 畢氏發現大定理──畢達哥拉斯學派的數學發現
第四回 無理風波 數學首次遇危機；黃金分割 完美比例顯神奇──無理數的發現與黃金分割
第五回 幾何原本 歐幾里得創範式；九章算術 代數算法集大成──東西方文明的兩部數學巨著
第六回 線性方程式 矩陣變換巧消元；盈不足術 中國算法開先河──古代的方程式矩陣與線性插值
第七回 窮竭分割 阿基米德度量圓；球和圓柱 三分之二成絕響──阿基米德的數學成就
第八回 倍立方體 尺規作圖遇疑難；圓錐曲線 幾何再次創輝煌──圓錐曲線的起源與發展
第九回 丟番圖後 希臘數學落帷幕；割圓之術 劉徽算法成謎團──古代東西方兩位代數大家
第十回 出入相補 劉徽證勾股定理；勾股圓方 趙爽注周髀算經──勾股定理的證明與立體體積理論
第十一回 大明曆議 祖沖之巧算冬至；朝堂辯論 戴法興阻撓新法──古代天文學與數學的密切連繫
第十二回 綴術割圓 祖沖之妙算圓周率；祖𣈶原理 開立圓巧算球體積──綴術的千古之謎與立體體積計算原理
第十三回 明算科舉 數學也能登科第；不定方程式 算經之中有趣題──插值法的發展與不定方程式問題
第十四回 數書九章 古代數學創巔峰；大衍求一 中國定理不虛傳──中國剩餘定理與大衍算法程序
第十五回 賈憲三角 二項展開定係數；正負開方 高次方程求數值──二項式展開與高次方程式的數值求解
第十六回 不傳之祕 奇書只渡有緣人；幻方大師 楊輝構造縱橫圖──中國古代的幻方與奇圖研究
第十七回 東學西漸 費波那契開先河；三次方程 歐洲數學起風雲──一元二次方程式與一元三次方程式的求根公式
第十八回 負數開方 虛數助力解方程；排列組合 機率破解擲骰子──虛數的發現與機率論的起源
第十九回 方程奧妙 韋達發現新定理；脫胎天文 三角獨立成學問──韋達定理的發現與三角學的發展
第二十回 化乘為加 指數概念現雛形；按表索驥 對數化解計算難──指數與對數的發明對計算力的解放
第二十一回 我思我在 笛卡兒建立座標系；數形結合 方程式解析幾何學──平面解析幾何的創立
第二十二回 投影幾何 帕斯卡一鳴驚人；費馬定理 業餘王故弄玄虛──投影幾何的創立與機率論的成熟
第二十三回 巨人肩上 牛頓創立微積分；無窮小量 數學再次遇危機──微積分的創立
第二十四回 互逆運算 微分積分有玄機；無窮級數 牛頓發現大祕密──微積分基本定理與函數的無窮級數展開
第二十五回 最速降線 白努利擺擂徵解法；物超所值 羅必達重金買定理──微積分的應用與發展
第二十六回 最美公式 歐拉巧用無窮級數；數論明珠 哥德巴哈提出猜想──哥德巴哈猜想、指數函數與三角函數連繫
第二十七回 數學王子 青年高斯獲美譽；向量問世 物理箭頭進數學──複數與向量理論的發展
第二十八回 幾何奧祕 第五公設藏玄機；機緣巧合 黎曼統一幾何學──幾何學的大變革
第二十九回 天才雙星 五次方程難題解；難兄難弟 才華未展身先死──代數學的大發展
第三十回 無窮集合 誰說不能比大小；羅素悖論 數學三次遇危機──集合論的誕生與爭議
尾聲
參考文獻
試閱
第一回 河圖洛書 中華文明起源頭；數字奇巧 金字塔裡有謎團──上古文明的神祕數學
數學，是伴隨著人類的進化而出現的。當人類進化到原始部落階段，統計獵物並進行分配已經成為一件必須要解決的事情，因此，數學就應運而生了。發明了十進位制計數，是人類的第一個數學成就；而1+1=2，則是人類發現的第一個運算法則。這些在我們看來簡單得可笑的數學，也是經過漫長的時間才被我們的祖先發現的。
正所謂「道生一，一生二，二生三，三生萬物」。一旦掌握了1+1=2，加減運算就不是什麼難事了。史前數學發展到什麼程度，由於那時候沒有文字，也沒有記錄，我們無從得知。但是，我們從考古發掘的甲骨文中發現，在殷商時期古人已經有了很大數目的統計，已經出現了百、千、萬這樣的計數單位，已經出現了「八日辛亥允戈伐二千六百五十六人」（八日辛亥那天的戰爭中，消滅了敵方2656人）這樣的記錄。可見，在那個時代，人們對於計數已經非常熟練了。
夏商周時期已經形成了國家的概念，土地開墾、田租賦稅、勞役徭役、兵甲物資等各方面的統計與分配都需要數學。這時候，不只出現了乘除法運算，就連分數也出現了。最晚在周朝，人們已經發明了用小竹棍做成的算籌來進行計算。在春秋戰國時期，九九乘法表就已經被廣泛利用，在當時的許多著作中，都有乘法口訣的片段。不過那時候的九九表，是從「九九八十一」開始往回背，到「二二得四」為止，和我們現在的順序剛好相反。因為口訣開頭兩個字是「九九」，因此叫做「九九表」。
在幾何學方面，由於人類要製造器物，營造建築，興建水利，所以逐漸掌握了一些基本的幾何學知識，同時還發明了一些用於幾何測量的工具。古人很早就發明了規、矩、準、繩這四種工具，「規」用來畫圓，類似於我們現在用的圓規；「矩」用來畫直角或方形（所以長方形還叫矩形），和現在木工所用的角尺相似，是由長短兩根木條組成的L形直角尺（圖1-1）；「準」是一種水平測量儀，是古代用的水準器，說不定我們現在使用的水準儀就是直接傳承自古代；「繩」則是垂直測量儀，這個很簡單，繩子吊一個重物懸垂，就能準確確定與地面垂直的方向，也就是我們現在所說的鉛垂線。簡單來說，規矩是用以成圓成方的工具，準繩是用來確定橫平豎直的工具。時至今日，我們還有「無規矩不成方圓」的俗語。
據《史記．夏本紀》記載，大禹治水時就已經廣泛使用了這四種工具，其原文為：「陸行乘車，水行乘舡，泥行乘橇，山行乘檋。左準繩，右規矩，載四時，以開九州，通九道，陂九澤，度九山。」由此可見，大禹不但是治水的總負責人，運籌帷幄、指揮策劃，他還是一位「高級工程師」，可以熟練使用這些工具來指導水利設施的建設。
相傳在大禹治水時期，洛水和伊水氾濫成災。大禹採取以疏導為主的辦法，首先疏通了洛水，使之注入黃河，然後率眾在洛陽鑿開了龍門山，使伊水在龍門南形成湖，湖水再流入洛水。當湖水快要流乾時，從湖底浮出了一隻巨大的神龜，順流而下緩緩遊入洛水。大禹見此龜不是凡物，立即乘船追趕過去。趕到近處，只見神龜的龜殼被深深的紋路分為九塊，每一塊中都有一些黑點和白點，大禹認為這是天賜神圖，趕忙命人把這幅圖案（圖1-2（a））記錄下來，帶回去流傳後世，後人稱之為「洛書」。
洛書中有黑白點45個，用線段連成9個數字，奇數用白點，偶數用黑點，並構成方陣。稍加分析，就會發現這個圖案類似於3×3的格子，將1～9這9個數字放在格子中（圖1-2（b）），它的每一行、每一列及對角線加起來的和都相等，都等於15。現在我們知道，這種九宮格是世界上最早出現的幻方。在一個n×n的正方形格子中，從1開始往裡填整數，最後任意一行、一列及對角線的幾個數之和都相等，這就是n階幻方，對它的研究屬於一個數學分支──組合數學。顯然，洛書是一個3階幻方，這顯示出古人對數字的排列組合有深入的研究。
數學，是伴隨著人類的進化而出現的。當人類進化到原始部落階段，統計獵物並進行分配已經成為一件必須要解決的事情，因此，數學就應運而生了。發明了十進位制計數，是人類的第一個數學成就；而1+1=2，則是人類發現的第一個運算法則。這些在我們看來簡單得可笑的數學，也是經過漫長的時間才被我們的祖先發現的。
正所謂「道生一，一生二，二生三，三生萬物」。一旦掌握了1+1=2，加減運算就不是什麼難事了。史前數學發展到什麼程度，由於那時候沒有文字，也沒有記錄，我們無從得知。但是，我們從考古發掘的甲骨文中發現，在殷商時期古人已經有了很大數目的統計，已經出現了百、千、萬這樣的計數單位，已經出現了「八日辛亥允戈伐二千六百五十六人」（八日辛亥那天的戰爭中，消滅了敵方2656人）這樣的記錄。可見，在那個時代，人們對於計數已經非常熟練了。
夏商周時期已經形成了國家的概念，土地開墾、田租賦稅、勞役徭役、兵甲物資等各方面的統計與分配都需要數學。這時候，不只出現了乘除法運算，就連分數也出現了。最晚在周朝，人們已經發明了用小竹棍做成的算籌來進行計算。在春秋戰國時期，九九乘法表就已經被廣泛利用，在當時的許多著作中，都有乘法口訣的片段。不過那時候的九九表，是從「九九八十一」開始往回背，到「二二得四」為止，和我們現在的順序剛好相反。因為口訣開頭兩個字是「九九」，因此叫做「九九表」。
在幾何學方面，由於人類要製造器物，營造建築，興建水利，所以逐漸掌握了一些基本的幾何學知識，同時還發明了一些用於幾何測量的工具。古人很早就發明了規、矩、準、繩這四種工具，「規」用來畫圓，類似於我們現在用的圓規；「矩」用來畫直角或方形（所以長方形還叫矩形），和現在木工所用的角尺相似，是由長短兩根木條組成的L形直角尺（圖1-1）；「準」是一種水平測量儀，是古代用的水準器，說不定我們現在使用的水準儀就是直接傳承自古代；「繩」則是垂直測量儀，這個很簡單，繩子吊一個重物懸垂，就能準確確定與地面垂直的方向，也就是我們現在所說的鉛垂線。簡單來說，規矩是用以成圓成方的工具，準繩是用來確定橫平豎直的工具。時至今日，我們還有「無規矩不成方圓」的俗語。
據《史記．夏本紀》記載，大禹治水時就已經廣泛使用了這四種工具，其原文為：「陸行乘車，水行乘舡，泥行乘橇，山行乘檋。左準繩，右規矩，載四時，以開九州，通九道，陂九澤，度九山。」由此可見，大禹不但是治水的總負責人，運籌帷幄、指揮策劃，他還是一位「高級工程師」，可以熟練使用這些工具來指導水利設施的建設。
相傳在大禹治水時期，洛水和伊水氾濫成災。大禹採取以疏導為主的辦法，首先疏通了洛水，使之注入黃河，然後率眾在洛陽鑿開了龍門山，使伊水在龍門南形成湖，湖水再流入洛水。當湖水快要流乾時，從湖底浮出了一隻巨大的神龜，順流而下緩緩遊入洛水。大禹見此龜不是凡物，立即乘船追趕過去。趕到近處，只見神龜的龜殼被深深的紋路分為九塊，每一塊中都有一些黑點和白點，大禹認為這是天賜神圖，趕忙命人把這幅圖案（圖1-2（a））記錄下來，帶回去流傳後世，後人稱之為「洛書」。
洛書中有黑白點45個，用線段連成9個數字，奇數用白點，偶數用黑點，並構成方陣。稍加分析，就會發現這個圖案類似於3×3的格子，將1～9這9個數字放在格子中（圖1-2（b）），它的每一行、每一列及對角線加起來的和都相等，都等於15。現在我們知道，這種九宮格是世界上最早出現的幻方。在一個n×n的正方形格子中，從1開始往裡填整數，最後任意一行、一列及對角線的幾個數之和都相等，這就是n階幻方，對它的研究屬於一個數學分支──組合數學。顯然，洛書是一個3階幻方，這顯示出古人對數字的排列組合有深入的研究。
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