1.2.1 由梨的提問
「那麼，讓我來向喜歡證明的哥哥提問。你能證明質數有無限多個嗎？」
問題1-1（質數有無限多個）
質數有無限多個。請證明這件事。
「嗯，我能證明喔。數學家歐幾里得整理出來的《幾何原本》這本書中，就有提到相關證明。這是個有名的問題呢。」
「咦，你還記得證明喔？真無聊。我還想讓你動腦想想看的說。」
「我第一次知道這個證明的時候，真的非常感動喔。」
「還感動勒，哥哥太誇張了啦喵。」由梨笑了。
「不不不，一點都不誇張喔。」我忍不住提高音量。「質數有無限多個，這在數學上是非常重要的事實。而且啊，我是對於能證明出某種東西『有無限多個』這件事，覺得十分感動。」
「什麼意思？」
「妳想想看—若要證明某種東西『有無限多個』，該怎麼證明才好呢？不限於質數，任何東西都行。要怎麼闡述，才能說我們證明了『有無限多個』？」
「嗯⋯⋯無限多是什麼意思啊？」由梨皺起了眉頭。
「沒錯。為了在數學領域中主張某種東西『有無限多個』，就必須先明確定義『有無限多個』是什麼意思。其實啊，歐幾里得的證明裡，並沒有提到『質數有無限多個』喔。」
「蛤？不然上面寫了什麼？」由梨探出身子。
「上面寫的是『質數的個數，比任何一個給定的質數數量都還要多』。而且書中還示範，如果給定3 個質數，就能計算出第4 個質數喔。從這裡就能輕易地推論出，如果給定n 個質數，就能計算出第n + 1 個質數。」
「哥哥，這到底有什麼好感動的啊……」
「它巧妙地轉換了『有無限多個』的意義，這點讓我覺得感動。歐幾里得證明了，只要給定有限個質數，就能再計算出1 個新的質數。無論收集了多少個，都還能再計算出1個新的—這確實表達了我們想像中『有無限多個』的意義。我覺得這種轉換相當厲害，不是只靠印象模糊地思考，而是明確描述了出來。就是這點讓我感動到發抖啊！」
「喔喔！那是怎麼樣的證明啊？」由梨也揚起聲來。
1.2.2 質數無限性的證明（歐幾里得）
「這就是歐幾里得的證明喔*4。首先，假設給定的質數如下。
p1、p2、p3
也就是給定了3 個質數。只要能由這3 個質數得到第4 個新的質數就行了。」
「嗯嗯。」
「將所有給定的質數相乘後再加1，設這個數為m。我們可以用式子表示如下。
m=p1p2p3+1
如此一來，我們就可以說—
• m 無法被p1 整除。
—妳知道這是為什麼嗎？」
「因為m 除以p1 會餘1。」由梨立刻回答。
「沒錯，正是如此。同樣的，我們也可以說—
• m 無法被p2 整除。
• m 無法被p3 整除。
—也就是說，m 無法被p1、p2、p3 中的任何一個整除。」
我說。
「……」由梨沉默地聽著。
「這裡， 若假設m 可以被某個質數p 整除。也就是說—
• m 可被p 整除。
p是能整除m 的質數，所以它並非p1、p2、p3 中的任何一個。也就是說，我們得到了第4 個新的質數p。」
「……」
「剛才是從3個質數開始推論，但就算從100 個質數、1億個質數開始推論，也能得到同樣的結論。也就是說，無論收集了多少個質數，都還能再得到一個新的質數。這樣我們就證明了『質數有無限多個』！」
「我反對！」由梨高聲說。「很奇怪耶。在剛才的證明途中，你有提到『假設m 可以被某個質數p 整除』這點對吧？可是，能夠整除m 的質數，『絕對』存在嗎？」
「哦，由梨果然厲害。」我說。由梨在這種邏輯細節上很敏銳。「能夠整除m的質數絕對存在。能整除m 的質數也稱作m的質因數，任何大於等於2的自然數都必定擁有質因數。這件事可以從質數的定義出發，用數學歸納法來證明。」
「哦……」
「當然，歐幾里得在《幾何原本》裡也證明了這件事。」
「歐幾里得，真有你的喵。」
「那麼，讓我來向喜歡證明的哥哥提問。你能證明質數有無限多個嗎？」
問題1-1（質數有無限多個）
質數有無限多個。請證明這件事。
「嗯，我能證明喔。數學家歐幾里得整理出來的《幾何原本》這本書中，就有提到相關證明。這是個有名的問題呢。」
「咦，你還記得證明喔？真無聊。我還想讓你動腦想想看的說。」
「我第一次知道這個證明的時候，真的非常感動喔。」
「還感動勒，哥哥太誇張了啦喵。」由梨笑了。
「不不不，一點都不誇張喔。」我忍不住提高音量。「質數有無限多個，這在數學上是非常重要的事實。而且啊，我是對於能證明出某種東西『有無限多個』這件事，覺得十分感動。」
「什麼意思？」
「妳想想看—若要證明某種東西『有無限多個』，該怎麼證明才好呢？不限於質數，任何東西都行。要怎麼闡述，才能說我們證明了『有無限多個』？」
「嗯⋯⋯無限多是什麼意思啊？」由梨皺起了眉頭。
「沒錯。為了在數學領域中主張某種東西『有無限多個』，就必須先明確定義『有無限多個』是什麼意思。其實啊，歐幾里得的證明裡，並沒有提到『質數有無限多個』喔。」
「蛤？不然上面寫了什麼？」由梨探出身子。
「上面寫的是『質數的個數，比任何一個給定的質數數量都還要多』。而且書中還示範，如果給定3 個質數，就能計算出第4 個質數喔。從這裡就能輕易地推論出，如果給定n 個質數，就能計算出第n + 1 個質數。」
「哥哥，這到底有什麼好感動的啊……」
「它巧妙地轉換了『有無限多個』的意義，這點讓我覺得感動。歐幾里得證明了，只要給定有限個質數，就能再計算出1 個新的質數。無論收集了多少個，都還能再計算出1個新的—這確實表達了我們想像中『有無限多個』的意義。我覺得這種轉換相當厲害，不是只靠印象模糊地思考，而是明確描述了出來。就是這點讓我感動到發抖啊！」
「喔喔！那是怎麼樣的證明啊？」由梨也揚起聲來。
1.2.2 質數無限性的證明（歐幾里得）
「這就是歐幾里得的證明喔*4。首先，假設給定的質數如下。
p1、p2、p3
也就是給定了3 個質數。只要能由這3 個質數得到第4 個新的質數就行了。」
「嗯嗯。」
「將所有給定的質數相乘後再加1，設這個數為m。我們可以用式子表示如下。
m=p1p2p3+1
如此一來，我們就可以說—
• m 無法被p1 整除。
—妳知道這是為什麼嗎？」
「因為m 除以p1 會餘1。」由梨立刻回答。
「沒錯，正是如此。同樣的，我們也可以說—
• m 無法被p2 整除。
• m 無法被p3 整除。
—也就是說，m 無法被p1、p2、p3 中的任何一個整除。」
我說。
「……」由梨沉默地聽著。
「這裡， 若假設m 可以被某個質數p 整除。也就是說—
• m 可被p 整除。
p是能整除m 的質數，所以它並非p1、p2、p3 中的任何一個。也就是說，我們得到了第4 個新的質數p。」
「……」
「剛才是從3個質數開始推論，但就算從100 個質數、1億個質數開始推論，也能得到同樣的結論。也就是說，無論收集了多少個質數，都還能再得到一個新的質數。這樣我們就證明了『質數有無限多個』！」
「我反對！」由梨高聲說。「很奇怪耶。在剛才的證明途中，你有提到『假設m 可以被某個質數p 整除』這點對吧？可是，能夠整除m 的質數，『絕對』存在嗎？」
「哦，由梨果然厲害。」我說。由梨在這種邏輯細節上很敏銳。「能夠整除m的質數絕對存在。能整除m 的質數也稱作m的質因數，任何大於等於2的自然數都必定擁有質因數。這件事可以從質數的定義出發，用數學歸納法來證明。」
「哦……」
「當然，歐幾里得在《幾何原本》裡也證明了這件事。」
「歐幾里得，真有你的喵。」
