數學女孩秘密筆記：向量篇
高中生救星《數學女孩》系列精采續作！掌握力學與向量
活動訊息
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內容簡介
高中生救星
《數學女孩》系列精采續作！
掌握力學與向量
函數、切線方程式、內積……
難題迎刃而解
日本出版協會貢獻獎得主──結城浩！
什麼東西靜止不動，加速度卻非０？
解開向量的大小、方向、角度與加速度！
為什麼人站在地上
不會因為重力而陷入地面？
在三維空間中，確定一條直線的方向，就能決定平面的方向；
在三維空間中，確定一條直線的方向，再點出一個點的位置，便能得到一個平面！
從向量到內積、平面方程式，再到球面方程式！
學習基礎力學、等價與相等、內積的運算、向量的平均
掌握向量與函數空間、切線方程式的關係
馬上開竅，輕鬆解題！
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前師範大學數學系教授兼主任 洪萬生 審訂
目錄
獻給你iii
序章ix
第1章助我一臂之力1
1.1 我的房間1
1.2 站在地面上的人3
1.3 力6
1.4 等速度直線運動13
1.5 人有兩隻腳15
1.6 「力」是什麼？ 16
1.7 用線吊掛重物18
1.8 力的相加26
1.9 張力的相加27
第1 章的問題36
第2章無數相同的箭號41
2.1 在圖書室41
2.2 「相等」的定義46
2.3 彎彎的向量49
2.4 無數相同的箭號53
2.5 繪製向量60
2.6 「等價」與「相等」的定義68
2.7 月曆70
2.8 向量74
第2 章的問題80
第3章向量的乘法85
3.1 我的房間85
3.2 cos 91
3.3 思考內積的定義100
3.4 影子的方向102
3.5 內積的定義104
3.6 看起來像乘法嗎？ 107
3.7 交換律與內積108
3.8 分配律與內積110
3.9 結合律與內積111
3.10 具體的例子119
第3 章的問題127
第4章看透圖形的本質131
4.1 在圖書室131
4.2 作圖幫助思考137
4.3 向量的內積142
4.4 直線的參數式152
4.5 求切線160
4.6 米爾迦165
4.7 函數空間166
第4 章的問題180
第5章向量的平均183
5.1 我的房間183
5.2 向量186
5.3 向量的平均190
5.4 為什麼可以這樣算197
5.5 m:n 的內分點204
5.6 由梨的疑問215
5.7 證明220
第5 章的問題225
尾聲229
解答235
獻給想要深入思考的你271
後記283
索引287
序／導讀
序
嘿，你在哪裡？
我看著腳下說。
嘿，你往哪裡去？
我看向遠方說。
加速度與力，使向量現身；
平移與旋轉，使向量舞動；
方向與大小，使向量成形。
時而相加、時而相減、時而相乘。
嘿，你在哪裡？
我？我就在這裡。
嘿，你往哪裡去？
我？我無所不往
不論前往何處，都和你一起。
不論前往何方，都與我一起。
讓我們啟程尋找向量吧。
試閱
由梨：「哥哥！由梨想到一個很有趣的東西喔！」
我：「什麼啊？這麼突然。」
我的表妹由梨是國中生，她常跑到我的房間找我玩，一起研究如何解開她帶來的數學謎題。
由梨：「有沒有哪個東西是『靜止不動，加速度卻不是0』呢？」
我：「靜止不動，加速度卻不是0？」
由梨：「快告訴我！」
我：「這個嘛……的確是有這種東西啦。」
由梨：「果然沒錯！」
我：「舉例來說，當我們把球直直往上拋，球一開始會向上移動，但速度越來越慢。在往上的速度消失的那一瞬間，球靜止不動，下一秒便開始下落。」
由梨：「嗯嗯。」
我：「不過，這顆球的加速度不是0。地球在這顆球上施加了重力，這股力量使球產生加速度。之前我不是有提過嗎？力會產生加速度*。」
由梨：「沒錯。」
我：「地球重力造成的加速度稱作g。當然，g不等於0。雖然球的速度一直在改變，但加速度不會變，因為地球的重力不會隨時間改變。」
由梨：「原來是這樣啊……」
我：「所以，就算加速度不是0，物體也可能靜止不動，雖然這現象只會出現一瞬間。」
由梨：「嗯……」
我：「但如果物體『一直』保持靜止，就表示它的速度一直是0。既然速度都沒變，那麼加速度當然也是0囉。」
由梨：「這樣不是很奇怪嗎？」
我：「由梨有什麼想法呢？」
1.2 站在地面上的人
由梨：「假設，地面上站著一個人。」
我：「嗯。」
由梨：「之前哥哥說明力和加速度，有提到『加速度是位置的微分再微分』，以及『力會產生加速度』等……」
我：「嗯，是啊。」
由梨：「重力也作用在這個站立的人身上吧？重力也是力的一種吧？」
我：「當然囉。」
由梨：「可是這個人是靜止的，不是只有一瞬間靜止，而是一直保持靜止。他的速度一直是0，即表示速度沒改變……所以加速度是0吧？」
我：「喔妳是要問這個問題啊！」
由梨：「我覺得明明有作用力，加速度卻是0……好奇怪！」
我：「原來如此。妳覺得『力作用在物體上，加速度不應該等於0』啊。這個想法很好，由梨果然很聰明呢！」由梨：「沒有啦、沒有啦……不過你可以多稱讚我一點，沒關係。」
我：「我說妳啊……總之，妳是要考我，靜止物體的加速度可不可能『不等於0』，對吧？」
由梨：「沒錯，不過我不是要考你，是真的不懂才問的啦。」
我：「我先說答案吧！這個站在地面上的人，加速度的確是0，而且確實受到重力的作用。」
由梨：「咦！那麼，他為什麼還會靜止不動呢？」
我：「這是因為，作用在這個人身上的力，不只有重力！」
由梨：「真的嗎？除了重力，還有其他的力？例如磁力嗎？」
我：「不是，因為這是一個人，而不是磁鐵，磁力不會作用在人身上。」
由梨：「那是什麼力呢？」
我：「是地面回推這個人的力。這股力量使人靜止喔。」
由梨：「地面？」
我：「沒錯，如果相對於重力把人往下拉的力，地面沒有將這個人往上推，這個人就會漸漸陷入地面。因為和重力互相抵消的力作用在這個人身上，所以這個人才不會陷入地面。重力確實作用於人，但因為地面回推的力也在作用，與重力互相抵消，所以作用在這個人身上的力，全部加起來，總和是0。」
由梨：「嗯……有種似是而非的感覺耶。」我：「我來詳細說明力的性質吧！」
由梨：「好啊！」
1.3 力
我：「接下來，我要用高中物理來說明……我們會運用到力學的基礎知識。」由梨：「很難嗎？」
我：「一點都不難。為了簡化題目，我們把人視為一個質點吧，也就是一個帶有質量的點。」
由梨：「嗯嗯。」
我：「解力學題目最重要的就是，找出作用在質點上的所有力。」
由梨：「找出……所有的力。」
我：「沒錯，由梨剛才說『明明有重力的作用，物體的加速度卻是0好奇怪』。其實，由梨忽略了一些東西。」
由梨：「喔──」
我：「如果能找出所有作用於物體的力，基本的力學題目就難不倒妳了。牛頓的運動方程式是很實用的工具，但在使用方程式之前，最重要的是仔細找出所有作用力。」
由梨：「嗯。」
我：「尋找作用力時，重點在於確認『誰對誰施加作用力』。」
由梨：「咦？可是，這不是理所當然嗎？」
我：「嗯，的確是理所當然，但其實沒有想像的那麼簡單，因為我們平時並不會仔細地觀察所有作用力，不清楚是誰對誰施作用力。」
由梨：「我大概知道你的意思了啦，直接用例子說明給我聽吧！首先是重力吧？」我：「嗯，由梨用一個往下的箭號來表示重力，不過這種表示方式不太恰當。」
由梨：「咦？還要畫出細節嗎？」
我：「不是，要畫出『重點』，哥哥剛才不是才說過嗎？『誰對誰施加作用力』很重要，所以這樣才是正確的畫法……」
我：「這張圖，別人一看就知道是地球對人施加了作用力（重力）。」
由梨：「這樣啊搞清楚『誰對誰施力』原來是這個意思啊！」
我：「是啊，我剛才說的『地面回推人的力』，則是這樣畫。」
由梨：「……可是，哥哥啊，『回推人的力』到底是從哪裡來的？」
我：「『回推人的力』是地面施加的力。假設人對地面施的力稱作『作用力』，則地面回推人的力就是『反作用力』。」
由梨：「反作用力……我有印象。我學過作用、反作用力，意思是用力推別人，自己也會往後倒。」
我：「基本上，作用力與反作用力是相對的稱呼，並沒有規定哪一方作用於哪一方，才能稱為作用力。如果其中一個被稱為作用力，另一個就叫作反作用力。」
由梨：「原來如此，是作用力與反作用力啊！」
我：「不然妳想到什麼了呢？」
由梨：「沒有啦，只是老師講的我都隨便聽聽。你看嘛，用力推別人，自己也會往後倒，這不是廢話嗎！」
我：「嗯，妳這麼說也沒錯啦，作用力與反作用力定律似乎不證自明，不過『誰對誰施力』才是這個定律的重點喔。」
作用力與反作用力定律當質點P 對質點Q 施力，質點Q 也會對質點P 產生一個反方向，但相同大小的力。
由梨：「咦？」
我：「用質點P 和質點Q 來表示，可能太抽象了，很難理解吧！我們回到剛才畫的圖。」
由梨：「喔」
我：「這個例子中，有三個力在作用。(1)地球對人施力（重力）。(2)人對地球施力（腳踩地球的推力）。(3)地球對人施力（地球回推的力）。首先，地球的重力會將地面上的人往下拉，這就是(1)的力；同時，踩在地球上的人也會將地球往下推，這就是(2)的力；而(1)和(2)的大小、方向皆相同。」
由梨：「……」
我：「人將地球往下推，地球也會將人往上推，這就是(3)的力。如果把(2)看成作用力，(3)就是反作用力。(2)與(3)的大小相同、方向相反。因此，(3)的力和(1)的重力也是大小相同、方向相反的力。」
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