第二章 數學怪物與牠們的邏輯產地（節錄）
數學家花了很久的時間，才終於能夠好好欣賞深藏在自然之中的那種出人意表的結構，而啟蒙時代那些著重簡約的公理，也一樣會跟政治現實發生根本的衝突。回想一下之前所說的普魯士和拿破崙法典，裡頭照樣充斥著模糊與矛盾，即使他們努力想要打造一套統攝全局的法律系統，留下的漏洞卻依然多到令人心驚。每一次嘗試精簡規則的時候，似乎反而產生了更多的規則，看來一部法典就是不可能既完備（涵蓋一切情況），同時又一致（規則之間不會相互牴觸）。然後再想想林肯與道格拉斯的辯論，以及裡頭對美國「國家公理」的否定，這幾個國家當時何以遭遇到那樣的困境，在幾十年後才終於得以真正釐清。而這次的關鍵性角色依然還是魏爾斯特拉斯的怪物，或者說是牠所帶來的陰影，反而提供了解答問題的思考契機。
在二十世紀初，各式各樣的悖論不斷出籠，一些數學家便想要打造一套固定的公理體系，期望從中能推導出所有的數學命題。歐幾里得當年也想要建立這樣的系統，不過最後失敗了，因此這次他們要打造出的東西就得要更高大、更穩固、更能抵禦怪物的侵擾。尤其重要的是，這套系統必須具備完備性，這樣才能保證所有為真的命題都可以從這些公理的推導中證明出來；另一方面，這套系統還必須具備一致性，這樣才不會從中證明出兩個彼此衝突的命題。這次的壯舉由哥廷根大學的大衛?希爾伯特（David Hilbert）領銜，因此該研究又稱為「希爾伯特計畫」，目標是要讓數學從原本的直覺基礎中脫離出來--畢竟魏爾斯特拉斯等人已經證明過直覺有多不可靠了，同時也要避免不設定任何「不證自明」的前提，否則所有定理都將無窮後退、無法證明，使數學陷入了邏輯泥淖。
當時有一位正在維也納大學的博士生，名叫庫爾特?哥德爾（Kurt G?del），他希望自己也能為希爾伯特計畫貢獻一己之力。然而沒多久後他反倒找出了一些悖論，而且由此發現他們所面對的問題遠比預想的還要大上許多，因為看來有些關於算術的真命題是沒辦法用算術來證明的。到了隔年，哥德爾發表了自己發現的兩個「不完備定理」（incompleteness theorem），消息迅速傳了出去，大家也知道了這對希爾伯特計畫所造成的巨大衝擊。哥德爾證明，無論公理系統設計得有多細緻周到，還是永遠都會有一些無法涵蓋到的地方。
哥德爾的證明主要著力於分析「自我指涉命題」（self-referential statement），其中最廣為人知的例子就是「說謊者悖論」。想像一下有個人告訴你：「我在說謊。」如果此話為真，那麼根據命題就代表他在說假話，於是就產生了矛盾；可是如果他是謊稱自己在說謊，那就代表他說的反而是真話，這一樣會產生矛盾。哥德爾分析的是另一個與說謊者悖論結構類似的命題，那就是「這個命題無法被證明」。如果這個命題可以被證明的話，那麼這句話就為假，於是就產生了不一致；另一方面來說，如果這個命題無法被證明，那我們的邏輯體系就不完備，因為它包含了至少一個無法證明卻為真的命題。接下來，由於有了康托之前「教壞年輕人」的無限集合研究，哥德爾得以把自己的證明延伸到整個算術體系上。這樣一套證明做下來，他清楚展現了公理體系的侷限，數學不可能兼具完備性和一致性，所以光靠公理來做推演是不夠的。
透過哥德爾的不完備定理，我們也更能理解為什麼腓特烈大帝與拿破崙在制定法典時會碰到那些問題，同時也知道了為什麼現代的官僚體系會一直這麼扶不起，以及軟體工程師在研發決策演算法時為什麼有時候會那麼難。哥德爾的發現告訴大家，只要一個不小心，我們就會制定出一套要麼不夠完整，不然就自相矛盾的規則；如此一來的話，我們面對的或者是規則有所疏漏，不知如何處理的局面；不然就是規則彼此衝突，而我們（或電腦的演算法）卻得設法同時照辦的窘境。
哥德爾本人後來也敏銳地察覺到了自己的說法會造成什麼樣的麻煩。他在一九四七年時準備歸化成為美國公民，所以得要填寫申請表並接受面談。雖然這種面談通常就只是走個形式而已，可是哥德爾卻非常謹慎。他曾仔細研究過美國憲法，然後告訴一位叫做奧斯卡?摩根斯特恩（Oskar Morgenstern）的經濟學家朋友，說自己發現憲法裡頭有個問題。根據摩根斯特恩回憶：「他覺得很苦惱，因為他發現了一些內在矛盾之處，讓某人可以用完全合法的手段成為獨裁者、建立法西斯政權，而且他有辦法證明這個漏洞存在。」
聽證會現場得要有證人，而哥德爾的證人除了摩根斯特恩外，另一位是愛因斯坦。這兩個人事先已經鄭重提醒哥德爾不要多話惹事，可是當法官叫哥德爾儘管放心，說美國不可能像他的故鄉奧地利那樣變成獨裁體制時，讓這位數學家不禁認真了起來，反駁道：「喔，是有這種可能的，我可以證明。」然後表現出很想仔細說明的模樣，摩根斯特恩和愛因斯坦趕忙插話，幸好法官通情達理，知道他們是想盡辦法讓自己的朋友不要出差錯，於是回答道：「天啊，我們就別談這個了吧。」然後趕緊結束這場面談。就這樣，哥德爾順利成為美國公民，至於他究竟在憲法中發現了什麼樣的邏輯漏洞，並沒有被記錄下來。
對這段軼事，法哲學家恩里克?古拉-普霍爾（Enrique Guerra-Pujol）有個看法，也許哥德爾擔心的是美國憲法第五條，因為這個條文允許提出新的修正案。古拉-普霍爾之所以會對這個題目感興趣，是因為傳記作者在講這段歸化往事的時候，通常都會偏向愛因斯坦與摩根斯特恩的觀點，覺得哥德爾的顧慮太離譜了。然而彼時的哥德爾正值腦力顛峰，還是公認的世界級邏輯學家，所以古拉-普霍爾認為「應該對他的話多給一些採信空間」。
在現實中，要直接透過修憲來建立獨裁政權會非常困難，因為要先獲得參眾兩院的批准，並獲得美國多數州的支持。不過其實還有一個迂迴的方法可選，關鍵就在於憲法第五條也可以用來修改自己這個條款，而這或許就是哥德爾發現的漏洞。條文裡原本設置了很多防止輕率修憲的程序規定，但卻可以利用自我修改來慢慢削弱，以方便日後的直接修憲。畢竟哥德爾以前也不是沒看過這種事發生，德國在一九三?年代初的時候也進行了類似的「削減式修憲」，終而一步一步使政權趨於極端。
數學家花了很久的時間，才終於能夠好好欣賞深藏在自然之中的那種出人意表的結構，而啟蒙時代那些著重簡約的公理，也一樣會跟政治現實發生根本的衝突。回想一下之前所說的普魯士和拿破崙法典，裡頭照樣充斥著模糊與矛盾，即使他們努力想要打造一套統攝全局的法律系統，留下的漏洞卻依然多到令人心驚。每一次嘗試精簡規則的時候，似乎反而產生了更多的規則，看來一部法典就是不可能既完備（涵蓋一切情況），同時又一致（規則之間不會相互牴觸）。然後再想想林肯與道格拉斯的辯論，以及裡頭對美國「國家公理」的否定，這幾個國家當時何以遭遇到那樣的困境，在幾十年後才終於得以真正釐清。而這次的關鍵性角色依然還是魏爾斯特拉斯的怪物，或者說是牠所帶來的陰影，反而提供了解答問題的思考契機。
在二十世紀初，各式各樣的悖論不斷出籠，一些數學家便想要打造一套固定的公理體系，期望從中能推導出所有的數學命題。歐幾里得當年也想要建立這樣的系統，不過最後失敗了，因此這次他們要打造出的東西就得要更高大、更穩固、更能抵禦怪物的侵擾。尤其重要的是，這套系統必須具備完備性，這樣才能保證所有為真的命題都可以從這些公理的推導中證明出來；另一方面，這套系統還必須具備一致性，這樣才不會從中證明出兩個彼此衝突的命題。這次的壯舉由哥廷根大學的大衛?希爾伯特（David Hilbert）領銜，因此該研究又稱為「希爾伯特計畫」，目標是要讓數學從原本的直覺基礎中脫離出來--畢竟魏爾斯特拉斯等人已經證明過直覺有多不可靠了，同時也要避免不設定任何「不證自明」的前提，否則所有定理都將無窮後退、無法證明，使數學陷入了邏輯泥淖。
當時有一位正在維也納大學的博士生，名叫庫爾特?哥德爾（Kurt G?del），他希望自己也能為希爾伯特計畫貢獻一己之力。然而沒多久後他反倒找出了一些悖論，而且由此發現他們所面對的問題遠比預想的還要大上許多，因為看來有些關於算術的真命題是沒辦法用算術來證明的。到了隔年，哥德爾發表了自己發現的兩個「不完備定理」（incompleteness theorem），消息迅速傳了出去，大家也知道了這對希爾伯特計畫所造成的巨大衝擊。哥德爾證明，無論公理系統設計得有多細緻周到，還是永遠都會有一些無法涵蓋到的地方。
哥德爾的證明主要著力於分析「自我指涉命題」（self-referential statement），其中最廣為人知的例子就是「說謊者悖論」。想像一下有個人告訴你：「我在說謊。」如果此話為真，那麼根據命題就代表他在說假話，於是就產生了矛盾；可是如果他是謊稱自己在說謊，那就代表他說的反而是真話，這一樣會產生矛盾。哥德爾分析的是另一個與說謊者悖論結構類似的命題，那就是「這個命題無法被證明」。如果這個命題可以被證明的話，那麼這句話就為假，於是就產生了不一致；另一方面來說，如果這個命題無法被證明，那我們的邏輯體系就不完備，因為它包含了至少一個無法證明卻為真的命題。接下來，由於有了康托之前「教壞年輕人」的無限集合研究，哥德爾得以把自己的證明延伸到整個算術體系上。這樣一套證明做下來，他清楚展現了公理體系的侷限，數學不可能兼具完備性和一致性，所以光靠公理來做推演是不夠的。
透過哥德爾的不完備定理，我們也更能理解為什麼腓特烈大帝與拿破崙在制定法典時會碰到那些問題，同時也知道了為什麼現代的官僚體系會一直這麼扶不起，以及軟體工程師在研發決策演算法時為什麼有時候會那麼難。哥德爾的發現告訴大家，只要一個不小心，我們就會制定出一套要麼不夠完整，不然就自相矛盾的規則；如此一來的話，我們面對的或者是規則有所疏漏，不知如何處理的局面；不然就是規則彼此衝突，而我們（或電腦的演算法）卻得設法同時照辦的窘境。
哥德爾本人後來也敏銳地察覺到了自己的說法會造成什麼樣的麻煩。他在一九四七年時準備歸化成為美國公民，所以得要填寫申請表並接受面談。雖然這種面談通常就只是走個形式而已，可是哥德爾卻非常謹慎。他曾仔細研究過美國憲法，然後告訴一位叫做奧斯卡?摩根斯特恩（Oskar Morgenstern）的經濟學家朋友，說自己發現憲法裡頭有個問題。根據摩根斯特恩回憶：「他覺得很苦惱，因為他發現了一些內在矛盾之處，讓某人可以用完全合法的手段成為獨裁者、建立法西斯政權，而且他有辦法證明這個漏洞存在。」
聽證會現場得要有證人，而哥德爾的證人除了摩根斯特恩外，另一位是愛因斯坦。這兩個人事先已經鄭重提醒哥德爾不要多話惹事，可是當法官叫哥德爾儘管放心，說美國不可能像他的故鄉奧地利那樣變成獨裁體制時，讓這位數學家不禁認真了起來，反駁道：「喔，是有這種可能的，我可以證明。」然後表現出很想仔細說明的模樣，摩根斯特恩和愛因斯坦趕忙插話，幸好法官通情達理，知道他們是想盡辦法讓自己的朋友不要出差錯，於是回答道：「天啊，我們就別談這個了吧。」然後趕緊結束這場面談。就這樣，哥德爾順利成為美國公民，至於他究竟在憲法中發現了什麼樣的邏輯漏洞，並沒有被記錄下來。
對這段軼事，法哲學家恩里克?古拉-普霍爾（Enrique Guerra-Pujol）有個看法，也許哥德爾擔心的是美國憲法第五條，因為這個條文允許提出新的修正案。古拉-普霍爾之所以會對這個題目感興趣，是因為傳記作者在講這段歸化往事的時候，通常都會偏向愛因斯坦與摩根斯特恩的觀點，覺得哥德爾的顧慮太離譜了。然而彼時的哥德爾正值腦力顛峰，還是公認的世界級邏輯學家，所以古拉-普霍爾認為「應該對他的話多給一些採信空間」。
在現實中，要直接透過修憲來建立獨裁政權會非常困難，因為要先獲得參眾兩院的批准，並獲得美國多數州的支持。不過其實還有一個迂迴的方法可選，關鍵就在於憲法第五條也可以用來修改自己這個條款，而這或許就是哥德爾發現的漏洞。條文裡原本設置了很多防止輕率修憲的程序規定，但卻可以利用自我修改來慢慢削弱，以方便日後的直接修憲。畢竟哥德爾以前也不是沒看過這種事發生，德國在一九三?年代初的時候也進行了類似的「削減式修憲」，終而一步一步使政權趨於極端。
