1-1 二因子變異數分析的基本概念
二因子變異數分析（two-way ANOVA）主要可用來檢驗兩個不同自變數（因子）對同一個依變數的影響，以及這兩個因子之間是否存在交互作用（interaction effect）。這種分析方法特別適用於比較兩個以上的組別，同時考慮多個影響因素的情形，以試圖提高分析的精確度。
在進行二因子變異數分析的過程中，依實驗設計的方式可分為無重複測量與重複測量兩種。重複測量（repeated measures）指的是同一組受試者（subjects）重複經歷、參與了某一因子（factor，或稱因素，這兩名詞在本書中會視情境而交替使用）內所有水準（level）的實驗處理（不同時間點或不同條件下），且測量同一個依變數。若某因子被設計成重複測量，則該因子就屬組內因子（within-subject factor，又稱為相依因子）。反之，若某因子被設計成無重複測量，那麼該因子就屬於組間因子（between-subject factor，又稱為獨立因子）。
顯見，組間因子與組內因子的主要差異在於變數的「操弄方式」與「受試者的分配方式」。組間因子表示不同組受試者分別接受不同條件，每位受試者僅經歷一個實驗條件，例如：在比較三種教學法對學生考試成績影響的研究中，若每位學生只接受其中一種教學法，那麼「教學法」就屬是組間因子。相對地，組內因子表示同一組受試者在不同條件下接受測試，且每位受試者都經歷了所有的實驗條件，例如：若同一批學生分別在三種教學法下學習並接受測驗，此時「教學法」即為組內因子。組內設計（即重複測量）能有效減少個體內變異，提高統計效能，但可能受學習效果或疲勞效果影響；而組間設計（即無重複測量）雖可避免上述的影響效果，但個體差異可能會增加變異數。這兩種設計方式的選擇，取決於研究目的與受試者的可行性。
想當然，二因子變異數分析的問題是相當複雜的，但若能於分析前釐清問題的類型，再運用適當的分析方法，那麼當可迎刃而解，不用太過於擔心。根據前述因子屬組內（相依）或組間（獨立）設計的交叉組合下，在二因子變異數分析的實驗設計上，大致可分為以下三種類型：
一、 二因子完全獨立變異數分析（two-way between-subjects ANOVA）
意指兩個因子皆為組間因子（between-subject factors），各自具有不同受試者群組，所有受試者僅接受一種因子組合（即處理）的條件，用於檢驗兩個因子對依變數的主要效果及交互作用效果。
二、二因子混合設計變異數分析（two-way mixed-design ANOVA）
本分析會結合組間因子（between-subject factor）與組內因子（within-subject factor），部分因子使用不同受試者群組，部分因子則由同一組受試者反覆測量，適用於檢驗主要效果及交互作用效果。
三、二因子完全相依變異數分析（two-way within-subjects ANOVA）
意指兩個因子皆為組內因子（within-subject factors），所有受試者在每個因子與其水準下均接受測試，適用於檢驗主要效果及交互作用效果，並能有效控制個體差異，提高統計效能。
1-2 二因子變異數分析的相關名詞
在統計學中，變異數分析是一種常用的方法，可用來比較多組樣本之間的平均數是否存在顯著差異。特別是在二因子變異數分析中，研究者需要考量多個變數如何影響依變數，並進一步分析其間的交互作用。為了更好的理解變異數分析的運作機制，首要必須先掌握相關的重要概念，例如：自變數、依變數、因子、水準、處理、組間因子、組內因子、主要效果、交互作用效果及單純主要效果等。這些概念構成了ANOVA分析的基礎，幫助研究者有效設計實驗、分析數據，並準確解釋結果。以下將依序介紹這些關鍵名詞，以加深讀者對變異數分析的理解。
一、自變數
自變數是研究者可操弄或用來分類的變數，常用於檢驗其對依變數的影響。在變異數分析（ANOVA）中，自變數通常稱為因子（factor），可以是實驗操弄的條件（如不同教學法）或分類變數（如性別）。例如：在研究「運動頻率」對「心理健康」的影響時，「運動頻率」即為自變數。ANOVA就可用來比較在不同的自變數水準下，依變數是否有顯著差異，進而可探討變數之間的因果關係。
二、依變數
依變數是受自變數影響的結果變數，通常是可以量化的數據。在ANOVA中，依變數的變異被用來判斷自變數是否產生顯著影響。例如：若研究「不同教學法」對「學生考試成績」的影響，「考試成績」即為依變數。研究者分析各自變數水準間之依變數的平均數是否顯著不同，以推論因果關係。依變數應具備適當的測量尺度（如間距或比率尺度），以確保統計檢定的有效性。
三、因子
因子是變異數分析中用來分類或操弄的自變數。在單因子ANOVA中，研究會僅包含一個因子；而在二因子ANOVA中，則會有兩個因子。例如：在研究「飲食類型」與「運動頻率」對「體重變化」的影響時，「飲食類型」與「運動頻率」即為兩個因子。因子可分為組間因子與組內因子，其不同水準的組合可產生不同的處理條件，以進一步分析各組條件對依變數的影響。
四、水準（level）
水準是因子的具體分類或條件。例如：若因子為「運動頻率」，其可能包含「每週運動0次、3次、5次」等三個水準。在ANOVA中，水準的數量決定了比較的組別數，影響變異數分析的結果。當因子只有兩個水準時，通常可用t檢定進行分析，但當水準多於兩個時，就須使用ANOVA來有效的檢驗多組間的平均數是否顯著不同。此外，不同因子水準的組合會形成處理（treatment），可進一步分析其交互作用對依變數的影響。
五、處理
處理是由一個或多個因子的不同水準組合而成的特定實驗條件。例如：在二因子變異數分析中，若因子A（教學法）有2個水準（傳統教學、線上學習），因子B（學習時數）有3個水準（1小時、2小時、3小時），則會產生2×3=6種處理組合。每個處理代表一種實驗條件，受試者會被分配到某個特定的處理組合，以檢驗不同條件下依變數的變化。
六、組間因子
組間因子指的是受試者被分配到不同組別，每位受試者只接受其中一種實驗條件。例如：在研究「兩種教學法」對「學生學習成效」的影響時，若學生只能接受其中一種教學法時，則「教學法」為組間因子。這種設計可避免學習效果與疲勞效果的影響，但可能會因個體差異而造成額外的變異。顯見，組間變異能反映出不同條件間的差異，統計分析時需檢驗這些組間因子是否會顯著影響依變數。
七、組內因子
組內因子指的是所有受試者皆經歷所有因子水準的測試，即每位受試者在所有的不同條件下接受測量。例如：在研究「不同記憶方法對記憶成效的影響」時，若所有受試者皆接受「圖像記憶、聽覺記憶、文字記憶」等三種記憶方法的測試，顯見，「記憶方法」為組內因子。組內設計能減少個體差異，提高統計效能，但這種設計可能也會受到學習效果或疲勞效果的影響。
八、主要效果（main effect）
主要效果指的是單一因子對依變數的獨立影響，而不考慮其他因子的影響。例如：在探討「教學法」與「學習時數」對「考試成績」的影響時，若發現「教學法」的不同水準間存在顯著差異，則表示「教學法」具有主要效果。同理，若「學習時數」不同水準間也存在顯著差異，則「學習時數」也具有主要效果。在二因子ANOVA中，可能有兩個主要效果，分別對應於兩個自變數的影響。
九、交互作用效果（interaction effect）
交互作用效果指的是兩個因子之間的交互組合處理對依變數的影響，表示一個因子的效果是否因另一個因子的不同水準而改變。例如：在研究「教學法」與「學習時數」對「考試成績」的影響時，若發現「學習時數」對成績的影響在不同教學法下有所不同，則表示兩個因子之間存在交互作用。交互作用效果的存在表示因子間的影響並非獨立，而是相互作用形成不同的結果。
十、單純主要效果（simple main effect）
單純主要效果指的是在某一特定水準下，檢驗另一個因子的主要效果。例如：在探討「教學法」與「學習時數」對「考試成績」的影響時，若已知兩者存在顯著的交互作用，那麼就可進一步的分析「在1小時學習時數的情形下，不同教學法是否影響考試成績」，這就是「教學法」的單純主要效果。單純主要效果分析有助於理解交互作用的細節，進一步釐清變數間的影響模式。
二因子變異數分析（two-way ANOVA）主要可用來檢驗兩個不同自變數（因子）對同一個依變數的影響，以及這兩個因子之間是否存在交互作用（interaction effect）。這種分析方法特別適用於比較兩個以上的組別，同時考慮多個影響因素的情形，以試圖提高分析的精確度。
在進行二因子變異數分析的過程中，依實驗設計的方式可分為無重複測量與重複測量兩種。重複測量（repeated measures）指的是同一組受試者（subjects）重複經歷、參與了某一因子（factor，或稱因素，這兩名詞在本書中會視情境而交替使用）內所有水準（level）的實驗處理（不同時間點或不同條件下），且測量同一個依變數。若某因子被設計成重複測量，則該因子就屬組內因子（within-subject factor，又稱為相依因子）。反之，若某因子被設計成無重複測量，那麼該因子就屬於組間因子（between-subject factor，又稱為獨立因子）。
顯見，組間因子與組內因子的主要差異在於變數的「操弄方式」與「受試者的分配方式」。組間因子表示不同組受試者分別接受不同條件，每位受試者僅經歷一個實驗條件，例如：在比較三種教學法對學生考試成績影響的研究中，若每位學生只接受其中一種教學法，那麼「教學法」就屬是組間因子。相對地，組內因子表示同一組受試者在不同條件下接受測試，且每位受試者都經歷了所有的實驗條件，例如：若同一批學生分別在三種教學法下學習並接受測驗，此時「教學法」即為組內因子。組內設計（即重複測量）能有效減少個體內變異，提高統計效能，但可能受學習效果或疲勞效果影響；而組間設計（即無重複測量）雖可避免上述的影響效果，但個體差異可能會增加變異數。這兩種設計方式的選擇，取決於研究目的與受試者的可行性。
想當然，二因子變異數分析的問題是相當複雜的，但若能於分析前釐清問題的類型，再運用適當的分析方法，那麼當可迎刃而解，不用太過於擔心。根據前述因子屬組內（相依）或組間（獨立）設計的交叉組合下，在二因子變異數分析的實驗設計上，大致可分為以下三種類型：
一、 二因子完全獨立變異數分析（two-way between-subjects ANOVA）
意指兩個因子皆為組間因子（between-subject factors），各自具有不同受試者群組，所有受試者僅接受一種因子組合（即處理）的條件，用於檢驗兩個因子對依變數的主要效果及交互作用效果。
二、二因子混合設計變異數分析（two-way mixed-design ANOVA）
本分析會結合組間因子（between-subject factor）與組內因子（within-subject factor），部分因子使用不同受試者群組，部分因子則由同一組受試者反覆測量，適用於檢驗主要效果及交互作用效果。
三、二因子完全相依變異數分析（two-way within-subjects ANOVA）
意指兩個因子皆為組內因子（within-subject factors），所有受試者在每個因子與其水準下均接受測試，適用於檢驗主要效果及交互作用效果，並能有效控制個體差異，提高統計效能。
1-2 二因子變異數分析的相關名詞
在統計學中，變異數分析是一種常用的方法，可用來比較多組樣本之間的平均數是否存在顯著差異。特別是在二因子變異數分析中，研究者需要考量多個變數如何影響依變數，並進一步分析其間的交互作用。為了更好的理解變異數分析的運作機制，首要必須先掌握相關的重要概念，例如：自變數、依變數、因子、水準、處理、組間因子、組內因子、主要效果、交互作用效果及單純主要效果等。這些概念構成了ANOVA分析的基礎，幫助研究者有效設計實驗、分析數據，並準確解釋結果。以下將依序介紹這些關鍵名詞，以加深讀者對變異數分析的理解。
一、自變數
自變數是研究者可操弄或用來分類的變數，常用於檢驗其對依變數的影響。在變異數分析（ANOVA）中，自變數通常稱為因子（factor），可以是實驗操弄的條件（如不同教學法）或分類變數（如性別）。例如：在研究「運動頻率」對「心理健康」的影響時，「運動頻率」即為自變數。ANOVA就可用來比較在不同的自變數水準下，依變數是否有顯著差異，進而可探討變數之間的因果關係。
二、依變數
依變數是受自變數影響的結果變數，通常是可以量化的數據。在ANOVA中，依變數的變異被用來判斷自變數是否產生顯著影響。例如：若研究「不同教學法」對「學生考試成績」的影響，「考試成績」即為依變數。研究者分析各自變數水準間之依變數的平均數是否顯著不同，以推論因果關係。依變數應具備適當的測量尺度（如間距或比率尺度），以確保統計檢定的有效性。
三、因子
因子是變異數分析中用來分類或操弄的自變數。在單因子ANOVA中，研究會僅包含一個因子；而在二因子ANOVA中，則會有兩個因子。例如：在研究「飲食類型」與「運動頻率」對「體重變化」的影響時，「飲食類型」與「運動頻率」即為兩個因子。因子可分為組間因子與組內因子，其不同水準的組合可產生不同的處理條件，以進一步分析各組條件對依變數的影響。
四、水準（level）
水準是因子的具體分類或條件。例如：若因子為「運動頻率」，其可能包含「每週運動0次、3次、5次」等三個水準。在ANOVA中，水準的數量決定了比較的組別數，影響變異數分析的結果。當因子只有兩個水準時，通常可用t檢定進行分析，但當水準多於兩個時，就須使用ANOVA來有效的檢驗多組間的平均數是否顯著不同。此外，不同因子水準的組合會形成處理（treatment），可進一步分析其交互作用對依變數的影響。
五、處理
處理是由一個或多個因子的不同水準組合而成的特定實驗條件。例如：在二因子變異數分析中，若因子A（教學法）有2個水準（傳統教學、線上學習），因子B（學習時數）有3個水準（1小時、2小時、3小時），則會產生2×3=6種處理組合。每個處理代表一種實驗條件，受試者會被分配到某個特定的處理組合，以檢驗不同條件下依變數的變化。
六、組間因子
組間因子指的是受試者被分配到不同組別，每位受試者只接受其中一種實驗條件。例如：在研究「兩種教學法」對「學生學習成效」的影響時，若學生只能接受其中一種教學法時，則「教學法」為組間因子。這種設計可避免學習效果與疲勞效果的影響，但可能會因個體差異而造成額外的變異。顯見，組間變異能反映出不同條件間的差異，統計分析時需檢驗這些組間因子是否會顯著影響依變數。
七、組內因子
組內因子指的是所有受試者皆經歷所有因子水準的測試，即每位受試者在所有的不同條件下接受測量。例如：在研究「不同記憶方法對記憶成效的影響」時，若所有受試者皆接受「圖像記憶、聽覺記憶、文字記憶」等三種記憶方法的測試，顯見，「記憶方法」為組內因子。組內設計能減少個體差異，提高統計效能，但這種設計可能也會受到學習效果或疲勞效果的影響。
八、主要效果（main effect）
主要效果指的是單一因子對依變數的獨立影響，而不考慮其他因子的影響。例如：在探討「教學法」與「學習時數」對「考試成績」的影響時，若發現「教學法」的不同水準間存在顯著差異，則表示「教學法」具有主要效果。同理，若「學習時數」不同水準間也存在顯著差異，則「學習時數」也具有主要效果。在二因子ANOVA中，可能有兩個主要效果，分別對應於兩個自變數的影響。
九、交互作用效果（interaction effect）
交互作用效果指的是兩個因子之間的交互組合處理對依變數的影響，表示一個因子的效果是否因另一個因子的不同水準而改變。例如：在研究「教學法」與「學習時數」對「考試成績」的影響時，若發現「學習時數」對成績的影響在不同教學法下有所不同，則表示兩個因子之間存在交互作用。交互作用效果的存在表示因子間的影響並非獨立，而是相互作用形成不同的結果。
十、單純主要效果（simple main effect）
單純主要效果指的是在某一特定水準下，檢驗另一個因子的主要效果。例如：在探討「教學法」與「學習時數」對「考試成績」的影響時，若已知兩者存在顯著的交互作用，那麼就可進一步的分析「在1小時學習時數的情形下，不同教學法是否影響考試成績」，這就是「教學法」的單純主要效果。單純主要效果分析有助於理解交互作用的細節，進一步釐清變數間的影響模式。
