囚犯的兩難:賽局理論、數學天才馮紐曼,以及原子彈的謎題
賽局理論是一門「衝突的科學」,戰爭是人類最激烈的衝突 馮紐曼從對遊戲的洞察中,創建了影響深遠的賽局理論 為了贏得賽局,你必須考慮對手的選擇,而對手同時也在考慮你的選擇 & 出身奧匈帝國的馮紐曼,很早就在純數學和數理物理學的領域贏得天才的聲譽,他在二戰期間為曼哈頓計畫效力,冷戰開始之後為蘭德機構服務;他是賽局理論的主要創始人,試圖探索:在每一種利益衝突的情境下,是否都存在著合乎理性的行動方針? & 「囚犯的兩難」是最經典的賽局,在冷戰高峰的一九五○年代由蘭德機構提出,美蘇核武競賽即是典型案例。由於和人類的生存緊密相關,「囚犯的兩難」旋即成為二十世紀最基本的哲學和科學課題,並廣泛應用於生物演化、社會組織、政治決策等涉及利益衝突的領域。 & 暢銷作家龐士東以淺顯易懂的語言解說賽局理論的精要,並穿插馮紐曼的個人軼事,以及理論誕生的時代脈絡。賽局理論可以幫助我們理解衝突情境的本質,進而擬定合理的決策;如何突破「囚犯的兩難」困境,創造促成共同利益的方法,則是當代賽局理論應用者尋求的目標。
反轉千數
享受閱讀、推理、魔數、解謎的樂趣。 這並不是讓人只看一次的書,而是一本會令人在無意間想起的書,會想重溫其中的故事、想複習魔數,也許在人生回望中,都能想起它曾帶出什麼魔幻驚喜,一支筆、一張紙,就能天南地北的說書變魔術,說起一本有淚有笑的奇幻「魔數」故事。 魔數令人理性透徹,故事令人感性安和。 【反轉千數】是繼【逆轉騙數】後的單元式創作小說,內容的時間軸安排為【逆轉騙數】—【魔數術學】—【反轉千數】,即使沒有看過前兩本,閱讀也不會有任何影響,而看過前兩本著作的讀者,會對人物彩蛋會心一笑,並較為瞭解『之前』的人物屬性。 【反轉千數】除了保有讀者喜歡的『魔數』,更加入了親情的心靈雞湯,是改編自作者任教生涯中曾經遇到的人事物,也許有人對巧妙的連環計大呼過癮,也許有人會為劇中貼心的孩子潸然淚下,這是本部短篇小說想帶給大家的新感受。 全書有八章組成: 樹屋—數屋 人心—仁心 百變—百遍 年限—連線 衷情—終情 善財—贍財 行為—形偽 義取—意曲 核心思想就在每章的標題中:『樹人百年、數仁百連;衷善行義、終贍形意』。 教育,是一個長期的投資,以仁為本的教育是千古不變的核心,這是源遠連綿不限時空的重要傳遞。 心存善念,實行德義之事,最終必能反饋到自己的身上,讓自己心靈隨心所欲不糾結,就是善的最終表現。 這本書還有一個小提醒,就是請不要因為數學或是魔術而駐足,請先暢快的欣賞完所有故事,再回頭一篇篇檢視遇到的數學問題、或是練習有趣的數學魔術。這並不是讓人只看一次的書,而是一本會令人在無意間想起的書,會想重溫其中的故事、想複習魔數,甚至把它變成『特色課程』、『彈性課程』,也許在人生回望中,都能想起它曾帶出什麼魔幻驚喜,一支筆、一張紙,就能天南地北的說書變魔術,說起一本有淚有笑的奇幻『魔數』故事。
骰子能扮演上帝嗎?18個不確定性的數學思考
愛因斯坦曾說「上帝不會和宇宙擲骰子」,認為自然法則不包含隨機性。 但骰子有個不可告人的祕密:它們並沒我們想的那麼隨機。 & 最會說故事的數學家 英國皇家學會成員、暢銷書《改變世界的17個方程式》作者伊恩・史都華 將永遠打消你想當個賭徒的念頭! 不確定性隨處可見。任何對未來的猜想都藏有不確定性:天氣、經濟、未出生的胎兒性別,甚至人口、行星運行這些看似能確定的量,都有誤差的可能。 人類一直想定義、理解並限制不確定性。一開始,巫師用肝臟、茶葉和星星占卜。而後,數學家和科學家努力試圖馴服機率和統計學。時至今日,大數據與AI,又成為人類與不確定性搏鬥的最新武器。 在本書中,當代最負盛名的數學教授伊恩.史都華,將以一貫的幽默風趣、深入淺出方式,帶你探索最迷人的不確定性歷史。包括賭博、機率、統計、金融;天氣預測、普查、醫學研究、混沌、量子物理學,以及更多主題的有趣討論。他很清楚地點出一件事:數學告訴你的合理機率就是唯一的確定性。 ☆☆☆各大權威媒體好評力薦☆☆☆ 「史都華是英國最傑出又多產的數學推廣大使。」 ──艾利克斯.貝洛斯(Alex Bellos) 「這不是純粹的數學,這是融合了機敏、智慧與想像的數學……他帶領我們走過一趟從超小細節到深沉探索的奇幻之旅,非常引人入勝!」 ──《新科學家》(New Scientist) 「既讓我們感到自身的渺小,又給予我們莫大的鼓舞。史都華以他一貫的清晰風格表達出純粹思想的力量,如何在過去兩千多年來形塑了我們的世界。」 ──吉姆.艾爾-卡利里(Jim Al-Khalili) 「伊恩.史都華藉著扣人心弦的故事與招牌的清晰風格,告訴我們數學如何推動這個世界與整個宇宙的運行。」 ──史蒂芬.斯托加茨(Steven Strogatz),康乃爾大學數學教授 「極具啟發性,就如同米其林等級的菜單或琳瑯滿目的開胃菜。當然,開胃菜的用意就是讓你還想吃更多!」 ──《衛報》(Guardian)
逆轉騙數
這一本教你看懂騙數(術),解開盲點和難題,並讓人生逆轉勝的勵志小說。 透過文字劇情的描述,經歷懸疑、推理、觀察、破解等闖關關卡,體驗解謎的痛快感。 《逆轉騙數》是推理奇情似的電影情節,刻化人性邪惡、慾望,對比出善良、正直,再再衝擊人類價值觀的寫實奇幻小說。 內容包括「解謎推理、魔術秘密、數學驚嘆、人性省思、努力價值」,每一篇數學戰鬥都像一場舞臺劇的精彩,也許血腥、也許暗黑,但這些陰影都是由於光明被人事物阻擋所成,如果想解決恐懼必需面對恐懼,就像我們?訴孩子有白雪公主必需知道有巫婆與毒蘋果、看到小紅帽就必需知道?存在著隨時覬覦你一切的大野狼! 這部著作每一集都有伏筆,幾位劇中數學天才,將聯手打擊犯罪,留下的伏筆謎團將在下一本書呈現。若讀者還沒看騙數這本書,在此提醒大家,時間有空才進入第三章,因為閱讀第三章之後,就會停不下來整本看完了。 內容值得您一次又一次的品嚐,閱讀可以隨主角推理思考,並為家人朋友變出神奇的魔術;也可以直接瀏覽故事,享受緊張刺激的劇情。不管哪一種,我相信你會看第二次、第三次……,沈浸在這美妙的數學奇蹟中。
一本書講透數學Mathematics
改變對數學的不了解 100個故事帶你暢遊數學的廣闊世界! 在遠古時代就誕生的數學,做為人類文明的結晶,數學和歷史一樣不斷發展,成為人類認識和改造世界的最有力工具之一,數學的發展和研究不但存在在日常生活裡,更擴大到一般人較難以理解的深奧範疇中,因此大多數人無法理解數學的宏大和瑰麗,進而感到害怕排斥。 數學在我們的生活中無所不在,無論是簡單購買商品的算術;理財投資的財務觀念;與物理息息相關的自然現象,到宇宙中的行星及太空船運行軌道計算,數學深深影響著人類文明的發展,幫助人們知識文化愈發進步。 本書中關於數學的一百個故事,涵蓋了傳說的遠古時代、古希臘時期、羅馬帝國時期、文藝復興時期、近代和現代,描述數學知識的誕生,發展和分化,講述上避免了抽象的陳述方式,還原當時人類對數學的思考。這些故事包含了數學中的主要學科,從早期的計數、算數、測量和數論,到中期的分析學和幾何學,再到後期的研究物件的分化和研究方法交叉使用誕生的代數拓撲學、微分幾何等。 書中並收錄了著名的數學家和他們的精彩故事,讓讀者了解這些數學家為人類做出的不朽貢獻。無論是對數學有興趣的專業或非專業人士,或是中小學生、成年人,甚至只是為了看故事的讀者,本書都將帶給你有趣的體驗,翱翔於數學的浩瀚世界中。
來吧!再也不用怕數學:實數的生存法則;上大學前你必須面掌握的數學概念
本系列數學書,預計出版四冊,主題包含《實數的生存法則》、《用代數來思考》、《歡迎來到函數世界》、《形體全攻略》,收錄從國小接觸到數學開始到高中考上大學前,你會遇到的所有數學觀念與考試題型,通通一網打盡!讓你不用再多花錢四處買參考書,只要你把這4本書依序念到精通,算到透徹,任何升學考都難不倒你。 & 1.前半段例題:依應用策略的先後次序,逐一舉例,並不厭其煩地「備註、備註、再備註」。其目的就是要「洗你的腦、又洗你的腦、再洗你的腦」,洗到你很自然地記住這些「策略及相關工具」 2.後半段例題:打散應用策略的次序,隨機安排例題,並減少備註,以利提供在考場面對多變試題時,能在「不預期一定是某段落的某策略應用」的狀態下,有能力自行「看出解題的所以然」來!
如何進入彩虹泡泡中:100個有趣的數學實驗
世界上第一個「摸得到的數學實驗館」 打破你對數學的刻板印象,數學一點也不無聊! 從館中的100個數學實驗,感受動手做數學的全新體驗! 位於德國吉森的數學博物館,是世界第一個讓遊客動手做數學的實驗館,館中有各種饒富興味的數學實驗,如袋鼠拼圖、音樂骰子、混亂鐘擺、消失的孩子、傳真鏡……等,書中透過100個章節,展示各種數學實驗的操作方式、原理,更介紹人類在數學領域中的歷史演進及許多有趣的小故事,帶領讀者們藉由不同的觀點,探索數學的全新境界! 「我從不教導孩子,而是向他們發問,他們就會找到答案。」——蘇格拉底 生物、物理、化學都須要做實驗,那數學呢? 與一般自然科學實驗截然不同的是,數學實驗透過自己動手與裝置產生互動,像是「破解密碼」、「進入肥皂泡泡中」、「蓋一座橋」……等,並觀察裝置前後的狀態變化,進而重新啟發思考,找回對於數學的熱情! ※小朋友也能簡單上手的數學實驗 數學實驗操作簡單且門檻低,任何人都能輕鬆參與,無論男女老少,有無複雜的背景知識都能輕鬆上手! ※彩色相片搭配詳細解說,完整呈現館中千奇百怪的數學實驗 書中亦收錄各種實驗的照片,除了有助於理解操作過程,也能讓未到過數學博物館的讀者,宛如親臨現場般一同參與! 在博物館中,你可以知道: ◆如何被包在肥皂泡泡裡? ◆破解二次大戰時德軍傳遞軍情的密碼機 ◆如何從π中找到自己的生日? ◆什麼樣的計時器完整轉動須花超過1兆年的時間? ◆莫札特發明的特殊骰子能用來作曲 ◆如何讓四方型的輪子平穩地滾動? ◆於911恐怖攻擊中的喪命人數=地球每15分鐘的人口增加數 ◆如何用秤重證明畢氏定理? ◆蘇格拉底的數學課 本書特色 ★ 數學實驗門檻低,無論男女老少、有無知識背景都能輕鬆參與! ★ 除了各類實驗的操作方式,亦附帶解說相關數學原理及歷史故事,或結合日常生活的應用,數學也能有趣又實用! ★ 書中涵蓋各領域的數學實驗,種類豐富多樣,並貼心將實驗做完整歸類,為數學教材的首選!
輕鬆學好高中數學
藉說笑話、講故事、做遊戲來引導讀者進入問題核心; 善用比喻與實例,化抽象為直觀,使讀者易於瞭解吸收。 本書企圖將較艱深的題材,藉由實例配以笑話與故事來提高學生學習的興趣,讓讀者在聽笑話中學習數學,在看故事中培養想像力,以增進學習效果。 書中內容共分為三部分,第一部分「聽我說數學」乃將學生較難徹底瞭解的重要觀念,配以笑話、故事或做遊戲來引導讀者進入問題核心,並能瞭解、吸收討論的內容;第二部分為「數學專題論述」,這些論述的目的在深入探討一些與高中數學有關的數學題材,研究出結果,分別列成定理。第三部分「數學學習輔導」,首先在告訴學生如何往下紮根學好數學,並且依多年教學經驗,提出學生平常解題易犯的錯誤作為借鑒,希望不要重蹈覆轍。 讀者在研讀這本書時,要注重其中思考的「心路歷程」,而非僅記憶研究的結論,相信對數學能力的提升能有所助益。
十個最偉大的數學謎題:解讀說謊者悖論與河內塔問題
謎題╳數學詮釋╳反思╳探索╳延伸閱讀 最讓人瘋魔的思維遊戲! 全世界聰明人公認的頂尖智力謎題,直到今天,人們還在妄圖解開,說謊者悖論、四色難題、柯尼斯堡橋問題、克里特迷宮、阿爾琴的渡河問題、洛書幻方……它們是一切智力題的基礎,唯有解開它們,你才能真正進入聰明人的行列。 挑戰賽現在開始! 你可以解決史上最令人訝異的難題嗎? 自從獅身人面獸向傳說中的英雄伊底帕斯問起傳說的謎語來,各種矛盾和難題便一直帶給人們困惑與歡樂。為何會如此?它們是如何展現出人類的巧思?它們又能對數學研究產生什麼影響呢? 《十個最偉大的數學謎題》解答了這些問題!你將發現世界上長久以來最吸引人的四道謎題,在形塑數學史中扮演了要角。馬塞爾.丹尼西(Marcel Danesi)在本書將向你介紹十大數學名題,詳述其背後的數學,其中也包括了習題和答案──讓你有機會對類似的問題大展身手。當你身陷於難題的迷霧之中時,透過圖形上的錯覺步步去逼近不正確的理論,你會發現堅實數學思想如何源自謎題的架構。從頑強的謎題狂到數學愛好者們,這包羅萬象的難題無疑是深具啟發、充滿娛樂而且令人印象深刻。 獅身人面像之謎盧卡斯的河內塔問題 阿爾琴的渡河問題勞埃德的地球轉動之謎 斐波那契的兔子問題埃庇米尼得斯的說謊者悖論 歐拉的柯尼斯堡橋問題洛書幻方 古德里的四色問題克里特迷宮 本書特色 1.本書會試圖解答十道偉大的謎題,解謎的主要焦點放在某些數學的觀念原本是如何以謎題呈現的。 2.最讓人瘋魔的思維遊戲!全世界聰明人公認的頂尖智力謎題,直到今天,人們還在妄圖解開。
全世界最多人都在學的數學速算法
想要擁有如魔法般的瞬間破題功力、計算機般的快速解題技巧, 還想要體驗遊戲般的趣味學習方法, 最後還能如黑馬般的征服考試嗎? 這本印度速算數學,一次就能滿足你所有的願望喔! 為什麼世界各地不同種族的人們,深深為印度數學著迷? 到現在仍有許多專書與研究者在鑽研這其中的奧秘; 為什麼各企業的頂尖工程師,都是來自於遙遠的印度? 日本、韓國與歐美各國甚至將這系統納入數學的正式課程內; 答案都是因為印度數學是一套有趣、靈活且重思考的演算方法, 丟掉傳統學習數學那些死記、繁雜且枯燥無趣的印象, 且看數學巨擘王擎天博士如何讓數學活起來。 算數學,不再只是為了應付考試; 玩數學,讓您輕鬆學習建立自信心; 瘋數學,您會驚訝地發現數學真的好有趣! 全世界最多人學習的數學速算法則,學一次就能用一輩子的神奇秒算法─印度數學 本書特色 眾所周知,數學是一切科學的基礎,從小培養數字感,建立邏輯思維能力,增進學習興趣,未來不論是求學或就業,都將有效地提升競爭力。美國最佳職業報告顯示,數學家是收入最令人稱羨的職業,想要賺大錢,靠的也是對數字的敏銳度。印度自古就是一個數學相當發達的國家,古印度人留下許多巧妙的解題方法,而我們熟知的印度阿拉伯數字與零,更是創始於印度後傳到阿拉伯地區而廣泛通行於世界,對於數學的發展產生了巨大的影響;而印度的教育方式,就是透過精妙的訓練方式,提高計算、記憶與統籌能力,印度數學的魔力就是這麼神奇! 本書從最簡單的加減乘除四則運算,帶您一窺印度數學神奇之處,只要具備簡單的計算基礎,就可以跟著王博士一步步直搗印度數學的核心。王博士擁有數十年教學經驗,深知台灣學子對於學習數學的盲點與無助感,因此除了速算技巧,王博士更以其獨到的方式說明該方法的原理,讓您知其然更知其所以然。本書不只強化四則運算能力,更增強分數、平方與方根、聯立方程式、三角函數及基礎統計等方面的數學實力,無非是希望幫助同學在各階段的學習都能更有效率。當然,學子們一向擔心害怕的考試測驗,王博士也將大方公開一些征服考試的方法與增加分數的撇步,以期孩子們能正面思考考試的意義與控制恐懼的情緒。書末還收錄了三個有趣的數學遊戲,家長可以和孩子一起玩數學,建立良好的親子互動關係。 本書不僅適合資優的高年級同學學習,更推薦中學生用來提升數學能力,至於成年人,也可以腦力激盪一下,活化僵化的思維。讀完本書,您會發現這條捷徑不僅更快速到達至終點,沿途的美麗景緻更將激盪起您塵封已久的數學魂。
撞球檯邊的數學家:拉拉雜雜扯數學
如果你在7-11 購物結帳時,聽到下一位顧客想買 10 張A4 的白紙,櫃檯小姐說不行,他們只有整包 100 張的。但是顧客說,真的不需要這麼多,寧願貴一點,只要 10 張。於是他們就僵在那裡,無法可想………… 那當時在現場的你,會如何處理這個僵局呢? 在這本新書中,作者為數學正名,寫出了數學教育正向積極的一面,帶領我們體會,數學是一種充滿趣味的生活學習。 數學原本來自生活的需要。所以,把數學的知識與技能用回到生活上去,應該是很自然的。但是,科技的進步,依賴慣了有電腦功能的機器,人反而變笨了。 其實,數學的學習最重要的是讓思考從混亂到具有決定性的解析思維能力,而不是計算。許多人誤以為數學的重點是計算,其實數學家是最不喜歡計算的人。現代人生活所需要的計算,已經可由電算機執行,他們比較需要的是「估算」。本書的用意是從日常生活透過理解問題的意義來解決問題。
賽局好好玩
曾幾何時,賽局理論的字眼已經悄悄的“蔓延”在你我周遭,報章雜誌上,政論家大聲疾呼兩岸競爭不是「零和賽局」,應該追求雙贏,甚至讀者投書都出現了「納許均衡」這種專業術語了。這些都說明身為一個現代公民,不管你是士農工商,都有必要知道賽局理論如何分析發生在我們周遭的人、事、物,並且提供何種改善、解決我們生活環境問題的見解,也許我們永遠不可能成為專家,卻可以理解並知悉事情的本質,而不至於盲從或者徬徨。 1950年代起賽局理論逐漸成長壯大,賽局專家分別獲得1994、2005年諾貝爾經濟學獎,使賽局理論成為主流研究方法之一,不僅如此,近年來在各大專院校的EMBA課程裡,賽局理論也成為管理階層搶修學分之一。 319槍擊案、家樂福大戰大潤發、倚天炒VS屠龍鏟、台灣筆電建奇功、頭文字D競飆…等,全都成為書中實際研究案例,用最直覺、最人性化的鋪陳帶出賽局理論!
隨機過程導論
本書為隨機過程提供一個基礎而清晰的理論基礎,只需微積分與少許線性代數即可研閱,對沒有機率基礎者本書第一章即有相當篇幅簡介,透過大量的例題與習題,書後附有一些證明題的提示,計算題在題後均附有答案可供讀者參考。透過作者精細的學習設計,深信讀者對隨機過程中之一些基本模式,包括卜瓦松過程、更新過程、離散時間馬可夫鏈以及連續時間馬可夫鏈有一較佳的理解,本書除可供作大學高年級或科技大學研一之隨機模型、隨機過程、應用機率學或隨機系統課程教材外,對一些用原文書的讀者而言,本書更是一本不可或缺的參考書。本書特色1.提供隨機過程的教學與讀者自修之用,寫作上力求精簡易讀。2.全書所有例題、習題均經篩選,難度適中且不脫離基本問題之框架。3.例題以題組或一題多解的方式出現,可比較各種解法上之異同並啟發學習與思考靈感。
賽局好好玩
曾幾何時,賽局理論的字眼已經悄悄的“蔓延”在你我周遭,報章雜誌上,政論家大聲疾呼兩岸競爭不是「零和賽局」,應該追求雙贏,甚至讀者投書都出現了「納許均衡」這種專業術語了。這些都說明身為一個現代公民,不管你是士農工商,都有必要知道賽局理論如何分析發生在我們周遭的人、事、物,並且提供何種改善、解決我們生活環境問題的見解,也許我們永遠不可能成為專家,卻可以理解並知悉事情的本質,而不至於盲從或者徬徨。1950年代起賽局理論逐漸成長壯大,賽局專家分別獲得1994、2005年諾貝爾經濟學獎,使賽局理論成為主流研究方法之一,不僅如此,近年來在各大專院校的EMBA課程裡,賽局理論也成為管理階層搶修學分之一。319槍擊案、家樂福大戰大潤發、倚天炒VS屠龍鏟、台灣筆電建奇功、頭文字D競飆…等,全都成為書中實際研究案例,用最直覺、最人性化的鋪陳帶出賽局理論! 本書特色●《人生無處不賽局》較《賽局高手》,提供豐富生活時事應用,讓入門者輕易瞭解賽局的用法。●《人生無處不賽局》較《賽局高手》,不僅取材新穎,更切合時事。●《人生無處不賽局》較《賽局高手》,提供賽局的完整架構,且包括常見應用的優、缺點。
人生無處不賽局
親切指數 挑戰《賽局高手》 學習效果 更勝《囚犯的兩難》 ●《人生無處不賽局》較《賽局高手》,提供豐富生活時事應用,讓入門者輕易瞭解賽局的用法。 ●《人生無處不賽局》較《賽局高手》,不僅取材新穎,更切合時事。 ●《人生無處不賽局》較《賽局高手》,提供賽局的完整架構,且包括常見應用的優、缺點。 大眾新顯學-賽局風潮,悄悄蔓延… 「人生無處不權謀?生活處處是賽局」-巫和懋《賽局高手》 曾幾何時,賽局理論的字眼已經悄悄的“蔓延”在你我周遭,報章雜誌上,政論家大聲疾呼兩岸競爭不是「零和賽局」,應該追求雙贏,甚至讀者投書都出現了「納許均衡」這種專業術語了。這些都說明身為一個現代公民,不管你是士農工商,都有必要知道賽局理論如何分析發生在我們周遭的人、事、物,並且提供何種改善、解決我們生活環境問題的見解,也許我們永遠不可能成為專家,卻可以理解並知悉事情的本質,而不至於盲從或者徬徨。 諾貝爾光環加持,EMBA最“火”課程 1950年代起賽局理論逐漸成長壯大,賽局專家分別獲得1994、2005年諾貝爾經濟學獎,使賽局理論成為主流研究方法之一,不僅如此,近年來在各大專院校的EMBA課程裡,賽局理論也成為管理階層搶修學分之一。 台灣時事體驗版,人人都是賽局高手! 319槍擊案、家樂福大戰大潤發、倚天炒VS屠龍鏟、台灣筆電建奇功、頭文字D競飆…等,全都成為書中實際研究案例,用最直覺、最人性化的鋪陳帶出賽局理論!正因為:人生無處不賽局!
類別與受限依變項的迴歸統計模式
在本書中,Long教授將近年來關於受限及類別依變相最有用的幾個方法,用迴歸統計的架構(一般社會科學學者最熟悉的研究方法)整理出來。用心的讀者們將會發現,在本書中所介紹的所有統計方法,都可以用基礎的線性迴歸觀念為基本向外延伸,Long教授希望能以這種方法讓讀者更能夠親近本書。除此之外,對每一個統計方法,Long教授都清楚地依照「理論推演」,「統計結果的解釋」,「檢定與檢驗」,以及「實際研究的應用」這幾個步驟來依次說明。